Formulario di Telecomunicazioni

Formulario completo di telecomunicazioni per i corsi di ingegneria. Lo scopo è offrire un riferimento autosufficiente e ragionato che parta dalla rappresentazione dei segnali, sviluppi l’analisi spettrale e il campionamento, e arrivi alle modulazioni, al rumore e ai limiti fondamentali di capacità di un canale.

Tutta la disciplina ruota attorno a una tensione di fondo: trasmettere quanta più informazione possibile, nel modo più affidabile, attraverso un canale che è limitato in banda e disturbato dal rumore. Capire questo compromesso — banda, potenza, rumore, velocità — è capire le telecomunicazioni. Ogni sezione spiega il perché delle formule e include esempi commentati.

Le grandezze sono nel Sistema Internazionale; potenze in watt (W) o in decibel, frequenze in hertz (Hz). Si assume nota l’analisi dei segnali di base.

L’ordine consigliato è:

segnali, potenza ed energia;
analisi di Fourier e spettro;
campionamento e teorema di Nyquist;
modulazioni analogiche;
modulazioni digitali;
rumore e rapporto segnale-rumore;
capacità del canale (Shannon);
decibel e bilancio di collegamento.

Mappa di lettura operativa:

Problema	Strumento principale	Controllo
contenuto in frequenza	trasformata di Fourier	segnale periodico o no
frequenza di campionamento	teorema di Nyquist	banda massima del segnale
banda di una modulazione	regola di Carson (FM), $2f_{max}$ (AM)	frequenza max del modulante
velocità di trasmissione	bit per simbolo × baud	numero di livelli
qualità del segnale	rapporto segnale-rumore	potenze omogenee
massima capacità	teorema di Shannon	banda e SNR
portata di un link	bilancio di collegamento	tutto in decibel

1. Segnali, potenza ed energia

Energia e potenza di un segnale

Per caratterizzare un segnale si parte dalla sua “intensità” complessiva. L’energia è l’integrale del suo quadrato:

E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2\, dt

Ma un segnale che dura per sempre (come una sinusoide) ha energia infinita: per esso si usa la potenza media, l’energia per unità di tempo:

P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2\, dt

La distinzione è netta e utile: i segnali a energia finita sono transitori (un impulso, un lampo), quelli a potenza finita sono persistenti (una portante radio, un segnale periodico). Per i primi ha senso l’energia, per i secondi la potenza. Questa classificazione decide quale grandezza usare nei calcoli successivi.

2. Analisi di Fourier e spettro

L’idea centrale delle telecomunicazioni è guardare i segnali in frequenza, non nel tempo: è la frequenza che determina come un segnale occupa il canale, si propaga e si filtra.

Serie di Fourier (segnali periodici)

Un segnale periodico è la somma di sinusoidi a frequenze multiple della fondamentale $f_0$ (le armoniche):

x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\, e^{j 2\pi n f_0 t}

Le frequenze presenti sono discrete: lo spettro è “a righe”, una riga per ogni armonica. I coefficienti $c_n$ dicono quanta di ciascuna armonica è presente. Un’onda quadra, per esempio, contiene la fondamentale più le armoniche dispari decrescenti.

Trasformata di Fourier (segnali non periodici)

Per un segnale non periodico le righe si infittiscono fino a diventare un continuo: lo spettro è una funzione continua data dalla trasformata di Fourier:

X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, e^{-j2\pi f t}\, dt

Il modulo $|X(f)|$ (spettro di ampiezza) mostra a colpo d’occhio le frequenze contenute nel segnale e quanto spazio occupa: la sua banda. È l’informazione che decide tutto il resto.

Convoluzione e filtraggio

Un risultato di enorme valore pratico: la convoluzione nel tempo equivale al prodotto in frequenza:

x(t) * h(t) \;\longleftrightarrow\; X(f)\cdot H(f)

Questo è il principio del filtraggio. Far passare un segnale attraverso un filtro (operazione di convoluzione, complicata nel tempo) equivale a moltiplicarne lo spettro per la risposta in frequenza $H(f)$ del filtro: per togliere una banda di frequenze, basta che $H(f)$ sia zero lì. Tutto il progetto di filtri (passa-basso, passa-banda) vive nel dominio della frequenza grazie a questa equivalenza.

3. Campionamento e teorema di Nyquist

Teorema del campionamento

Per elaborare un segnale al calcolatore bisogna campionarlo: prenderne valori a istanti discreti. La domanda fondamentale è: ogni quanto? Il teorema del campionamento risponde: un segnale a banda limitata $B$ si ricostruisce esattamente dai campioni se la frequenza di campionamento soddisfa:

f_c \ge 2B

La soglia $2B$ è la frequenza di Nyquist. La ragione intuitiva: per “catturare” un’oscillazione servono almeno due campioni per periodo (uno sul picco, uno sulla valle); meno di due e l’oscillazione sfugge. Esempio: l’audio CD campiona a 44,1 kHz perché l’udito arriva a ~20 kHz, e $2 \times 20 < 44{,}1$ .

Aliasing

Cosa succede se si campiona troppo lentamente ( $f_c < 2B$ )? Le componenti oltre $f_c/2$ si ripiegano (alias) su frequenze più basse, mescolandosi al segnale vero e distorcendolo in modo irreversibile — l’informazione persa non si recupera. È lo stesso effetto per cui le ruote di un’auto, al cinema, sembrano girare al contrario. Per evitarlo si pone prima del campionatore un filtro anti-aliasing passa-basso che taglia le frequenze sopra $f_c/2$ . Filtrare dopo non serve: il danno è già fatto.

4. Modulazioni analogiche

Perché modulare? Un segnale audio (pochi kHz) non si può irradiare: servirebbe un’antenna chilometrica, e tutti i segnali si sovrapporrebbero sulle stesse frequenze. La modulazione sposta il segnale su una portante ad alta frequenza, risolvendo entrambi i problemi.

Modulazione di ampiezza (AM)

Nell’AM l’ampiezza della portante varia seguendo il segnale modulante $m(t)$ :

s(t) = A_c\,[1 + k\, m(t)]\cos(2\pi f_c t)

L’inviluppo dell’onda riproduce il segnale, quindi basta un rivelatore d’inviluppo (un diodo e un condensatore) per demodulare: economico, motivo del successo storico dell’AM. La banda occupata è il doppio della frequenza massima del modulante:

B_{AM} = 2 f_{max}

(il doppio perché la modulazione crea due bande laterali simmetriche attorno alla portante). Difetti dell’AM: il rumore si somma all’ampiezza — proprio dove sta l’informazione — quindi si sente come fruscio; inoltre gran parte della potenza è nella portante, che non porta informazione.

Modulazione di frequenza (FM)

Nell’FM è la frequenza istantanea a variare col segnale, mentre l’ampiezza resta costante. La banda si stima con la regola di Carson:

B_{FM} \approx 2(\Delta f + f_{max})

con $\Delta f$ deviazione di frequenza. Il vantaggio decisivo: poiché l’informazione è nella frequenza e non nell’ampiezza, i disturbi che colpiscono l’ampiezza si possono eliminare senza perdere informazione — da qui l’audio pulito della radio FM. Il prezzo è una banda molto maggiore (Carson): è un esempio diretto del compromesso banda/qualità.

5. Modulazioni digitali

Velocità di simbolo e di bit

Trasmettendo dati digitali, si inviano simboli, ciascuno scelto tra $M$ possibili. La velocità di simbolo (baud) è quanti simboli al secondo; la velocità di bit dipende da quanti bit porta ogni simbolo:

R_b = R_s \, \log_2 M

Ogni simbolo trasporta $\log_2 M$ bit perché con $M$ livelli si distinguono $\log_2 M$ bit (es. 4 livelli = 2 bit, 16 livelli = 4 bit). Aumentare $M$ alza la velocità a parità di baud, ma i livelli diventano più “vicini” e quindi più facili da confondere col rumore: ancora il compromesso velocità/robustezza.

Schemi di modulazione digitale

Schema	Parametro variato	Bit per simbolo tipici
ASK	ampiezza	1 (on/off)
FSK	frequenza	1
PSK	fase	1–3
QAM	ampiezza e fase insieme	4–10

La QAM (Quadrature Amplitude Modulation) combina variazioni di ampiezza e fase, disponendo i simboli su una “costellazione” nel piano: 16-QAM porta 4 bit/simbolo, 256-QAM ben 8. È la modulazione di Wi-Fi, 4G/5G, TV digitale e modem via cavo. Più la costellazione è densa, più bit per simbolo, ma più i punti sono vicini e vulnerabili al rumore — la qualità del canale (SNR) decide quanta QAM si può usare.

6. Rumore e rapporto segnale-rumore

Rapporto segnale-rumore

Il rumore è l’avversario fondamentale di ogni comunicazione. La qualità di un segnale si misura col rapporto segnale-rumore (SNR), rapporto tra le potenze:

SNR = \frac{P_{segnale}}{P_{rumore}}

In decibel:

SNR_{dB} = 10\log_{10}\frac{P_{segnale}}{P_{rumore}}

Un SNR alto significa segnale pulito e ben distinguibile; basso, segnale immerso nel rumore. È il parametro che, insieme alla banda, fissa il limite di Shannon.

Rumore termico

Una sorgente di rumore è inevitabile: l’agitazione termica delle cariche in ogni resistenza e componente. La sua potenza in una banda $B$ è:

N = k_B\, T\, B

con $k_B$ costante di Boltzmann e $T$ temperatura assoluta. La formula contiene una lezione importante: il rumore cresce con la banda. Allargare la banda per trasmettere più dati raccoglie anche più rumore — un altro motivo per cui la banda non si può allargare a piacere. Per questo i ricevitori sensibili si raffreddano (abbassando $T$ ) e limitano la banda allo stretto necessario.

7. Capacità del canale (Shannon)

Teorema di Shannon-Hartley

Qual è il massimo assoluto di informazione trasmissibile senza errori su un canale? La risposta, uno dei risultati più profondi dell’ingegneria, è il teorema di Shannon-Hartley:

C = B \log_2(1 + SNR)

con $B$ banda (Hz) e $SNR$ rapporto segnale-rumore lineare (non in dB). $C$ è la capacità in bit al secondo: un limite invalicabile, nessuno schema di modulazione o codifica può superarlo. Sotto $C$ esiste sempre un modo di trasmettere con errore arbitrariamente piccolo; sopra, l’errore è inevitabile.

La formula racchiude il compromesso fondamentale delle telecomunicazioni. Si aumenta la capacità in due modi: allargando la banda $B$ (effetto lineare: raddoppiare la banda raddoppia la capacità) o migliorando l’SNR (effetto solo logaritmico: per raddoppiare il contributo dell’SNR bisogna elevarlo al quadrato). Per questo, quando la banda è scarsa e costosa, si punta su modulazioni dense (alta QAM) che sfruttano l’SNR; quando la banda abbonda, conviene allargarla. Esempio: con $B = 1$ MHz e $SNR = 1000$ (30 dB), $C = 10^6 \log_2(1001) \approx 10\ \text{Mbit/s}$ .

8. Decibel e bilancio di collegamento

Decibel

Le potenze in un sistema di trasmissione spaziano su molti ordini di grandezza (dal watt del trasmettitore al picowatt al ricevitore): si usa quindi la scala logaritmica dei decibel:

G_{dB} = 10\log_{10}\frac{P_{out}}{P_{in}}

Il vantaggio: lungo una catena, guadagni e perdite si sommano invece di moltiplicarsi (perché il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi). Per le potenze assolute si usa il dBm, riferito a 1 mW:

P_{dBm} = 10\log_{10}\frac{P}{1\ \text{mW}}

così $0$ dBm $= 1$ mW, $30$ dBm $= 1$ W.

Bilancio di collegamento

Il bilancio di collegamento (link budget) calcola la potenza che arriva al ricevitore sommando, in dB, tutti i guadagni e sottraendo tutte le perdite lungo il percorso:

P_{rx} = P_{tx} + G_{tx} + G_{rx} - L_{percorso}

dove $P_{tx}$ è la potenza trasmessa, $G_{tx}$ , $G_{rx}$ i guadagni delle antenne, $L_{percorso}$ l’attenuazione di tratta. La forma additiva (tutto in dB) lo rende un semplice conto in colonna. L’attenuazione in spazio libero cresce col quadrato di distanza e frequenza:

L_{fs} = \left(\frac{4\pi d f}{c}\right)^2

Il fatto che cresca con la frequenza spiega perché i collegamenti a frequenze alte (5G mmWave, satellitari) richiedano antenne più direttive o distanze minori. Il collegamento “chiude” se $P_{rx}$ supera la sensibilità del ricevitore con un margine di sicurezza (per pioggia, ostacoli, fading).

Note d’uso ed errori comuni

Nel teorema di Shannon l’SNR è il valore lineare, non in decibel: convertire ( $SNR = 10^{SNR_{dB}/10}$ ) prima di applicare la formula. È l’errore più frequente.
Campionare sempre sopra Nyquist ( $f_c \ge 2B$ ) e mettere il filtro anti-aliasing prima del campionatore: dopo è inutile.
L’AM occupa $2f_{max}$ , l’FM molto di più (Carson): la banda è una risorsa finita e contesa.
Aumentare i livelli $M$ di una modulazione digitale alza la velocità ( $R_b = R_s\log_2 M$ ) ma riduce l’immunità al rumore: serve SNR adeguato.
Nei calcoli con decibel i guadagni si sommano: non moltiplicare valori già in dB.
Distinguere dB (rapporto adimensionale) da dBm (potenza assoluta riferita a 1 mW).
Più banda = più capacità (lineare) ma anche più rumore termico raccolto ( $N = k_B T B$ ): non sempre conviene allargarla.
L’attenuazione di spazio libero cresce con la frequenza: a parità di distanza, le frequenze alte arrivano più deboli.