Campionamento e teorema di Nyquist: esercizi svolti

Il campionamento converte un segnale continuo in una sequenza di campioni: è il primo passo della trasmissione digitale. Il teorema di Nyquist stabilisce la frequenza minima per non perdere informazione; al di sotto compare l’aliasing, distorsione irreversibile. Questa scheda allena il dimensionamento del campionamento e della quantizzazione.

Teorema di Nyquist: per un segnale a banda $B$ , serve $\;f_s\ge2B$ .

1. Frequenza minima di campionamento

Esercizio. Un segnale audio ha banda $B=20\ \text{kHz}$ . Qual è la frequenza minima di campionamento?

$f_s\ge2B=2\times20\ \text{kHz}=40\ \text{kHz}.$

Per questo i CD usano $44{,}1\ \text{kHz}$ : poco sopra il minimo teorico, con margine per il filtro anti-aliasing. Campionare a frequenza inferiore perde definitivamente le frequenze alte.

2. Aliasing: frequenza apparente

Esercizio. Un segnale a $f=30\ \text{kHz}$ viene campionato a $f_s=40\ \text{kHz}$ . Si ha aliasing? A quale frequenza apparente?

Nyquist richiede $f<f_s/2=20\ \text{kHz}$ . Poiché $30>20$ , si ha aliasing. La frequenza apparente:

$f_{alias}=|f_s-f|=|40-30|=10\ \text{kHz}.$

Il segnale a $30\ \text{kHz}$ “appare” come uno a $10\ \text{kHz}$ : indistinguibile dopo il campionamento. Per evitarlo serve un filtro anti-aliasing prima di campionare.

3. Margine di guardia

Esercizio. Perché si campiona spesso a frequenza maggiore di $2B$ (es. $2{,}2B$ )?

Il filtro anti-aliasing reale non taglia in modo ideale a $B$ : ha una transizione graduale. Campionando a $f_s=2{,}2B$ si lascia una banda di guardia:

$f_{guardia}=\dfrac{f_s}{2}-B=1{,}1B-B=0{,}1B.$

Questa banda dà spazio alla pendenza del filtro. Il margine evita che le code del filtro generino aliasing residuo. È un compromesso costo filtro / frequenza di campionamento.

4. Livelli di quantizzazione

Esercizio. Un convertitore A/D a $n=8$ bit. Quanti livelli di quantizzazione e qual è il passo su un fondo scala di $5\ \text{V}$ ?

$\text{livelli}=2^n=2^8=256.$

$\Delta=\dfrac{V_{FS}}{2^n}=\dfrac{5}{256}=19{,}5\ \text{mV}.$

Ogni campione viene approssimato al livello più vicino: più bit ⇒ più livelli ⇒ passo più fine ⇒ minore errore di quantizzazione.

5. Bit-rate di un segnale PCM

Esercizio. Un segnale telefonico ( $B=4\ \text{kHz}$ ) è campionato a $f_s=8\ \text{kHz}$ e quantizzato a $8$ bit/campione. Calcolare il bit-rate.

Il bit-rate è frequenza di campionamento per bit per campione:

$R_b=f_s\times n=8000\times8=64\,000\ \text{bit/s}=64\ \text{kbit/s}.$

È il classico canale telefonico PCM a $64\ \text{kbit/s}$ . Aumentare bit o frequenza migliora la qualità ma alza il bit-rate richiesto dal canale.

6. Rapporto segnale-rumore di quantizzazione

Esercizio. Stimare l’SNR di quantizzazione di un convertitore a $n=8$ bit.

Per un quantizzatore uniforme con segnale a fondo scala, l’SNR cresce di circa $6\,$ dB per bit:

$SNR_q\approx6{,}02\,n+1{,}76=6{,}02\times8+1{,}76=48{,}2+1{,}76=50\ \text{dB}.$

Ogni bit aggiunto migliora l’SNR di $\approx6\,$ dB (fattore 4 in potenza). È la regola “ $6\,$ dB per bit”, chiave nel dimensionamento dei convertitori.

7. Alias con più ripiegamenti

Esercizio. Un tono a $f=70\ \text{kHz}$ viene campionato a $f_s=40\ \text{kHz}$ . Quale frequenza apparente produce?

Le frequenze campionate sono indistinguibili se differiscono di multipli di $f_s$ . Cerchiamo un intero $k$ tale che:

f_{alias}=|f-kf_s|

cada nell’intervallo di Nyquist:

0\leq f_{alias}\leq \dfrac{f_s}{2}=20\ \text{kHz}.

Con $k=2$ :

f_{alias}=|70-2\cdot40|=|70-80|=10\ \text{kHz}.

Risultato:

\boxed{f_{alias}=10\ \text{kHz}}.

Non basta sottrarre una sola volta $f_s$ : per frequenze molto superiori a Nyquist possono esserci più ripiegamenti.

8. Filtro anti-aliasing e banda di transizione

Esercizio. Un segnale audio utile arriva a $B=18\ \text{kHz}$ e viene campionato a $f_s=44{,}1\ \text{kHz}$ . Calcolare la banda di transizione disponibile per il filtro anti-aliasing.

La frequenza di Nyquist è:

f_N=\dfrac{f_s}{2}=\dfrac{44{,}1}{2}=22{,}05\ \text{kHz}.

La banda di transizione è lo spazio tra la fine della banda utile e Nyquist:

B_T=f_N-B=22{,}05-18=4{,}05\ \text{kHz}.

Risultato:

\boxed{B_T=4{,}05\ \text{kHz}}.

Il filtro deve lasciar passare la banda utile fino a $18\ \text{kHz}$ e attenuare sufficientemente prima di $22{,}05\ \text{kHz}$ . Più stretta è la banda di transizione, più ripido e complesso deve essere il filtro.

9. Errore massimo e rumore RMS di quantizzazione

Esercizio. Un quantizzatore uniforme ha passo $\Delta=20\ \text{mV}$ . Calcolare errore massimo e valore RMS del rumore di quantizzazione.

L’errore di quantizzazione, se si arrotonda al livello più vicino, è compreso tra:

-\dfrac{\Delta}{2} \quad\text{e}\quad +\dfrac{\Delta}{2}.

Quindi l’errore massimo in valore assoluto è:

e_{\max}=\dfrac{\Delta}{2}=10\ \text{mV}.

Assumendo errore uniforme nell’intervallo, il valore RMS è:

e_{rms}=\dfrac{\Delta}{\sqrt{12}}.

Sostituendo:

e_{rms}=\dfrac{20\ \text{mV}}{\sqrt{12}}\approx5{,}77\ \text{mV}.

Risultato:

\boxed{e_{\max}=10\ \text{mV},\qquad e_{rms}\approx5{,}77\ \text{mV}}.

Il passo di quantizzazione determina sia la risoluzione sia il rumore introdotto dal convertitore.

10. Numero di bit richiesto da un SNR

Esercizio. Quanti bit servono per ottenere almeno $72\ \text{dB}$ di SNR di quantizzazione?

Usiamo:

SNR_q\approx6{,}02n+1{,}76.

Imponiamo:

6{,}02n+1{,}76\geq72.

Quindi:

n\geq\dfrac{72-1{,}76}{6{,}02} = \dfrac{70{,}24}{6{,}02} \approx11{,}67.

Il numero di bit deve essere intero, quindi:

\boxed{n=12\ \text{bit}}.

Arrotondare per difetto non basta: con $11$ bit si resterebbe sotto la soglia richiesta.

11. Bit-rate PCM stereo

Esercizio. Calcolare il bit-rate di un audio PCM stereo campionato a $44{,}1\ \text{kHz}$ , con $16$ bit per campione per canale.

Il bit-rate è:

R_b=f_s\cdot n\cdot N_c,

dove $N_c$ è il numero di canali. Sostituendo:

R_b=44100\cdot16\cdot2.

Calcoliamo:

44100\cdot32=1\,411\,200\ \text{bit/s}.

Quindi:

\boxed{R_b=1{,}4112\ \text{Mbit/s}}.

È il bit-rate grezzo del formato CD audio non compresso. Compressione e codifica di sorgente servono proprio a ridurre questo flusso mantenendo una qualità accettabile.

12. Sovracampionamento

Esercizio. Perché un convertitore può campionare internamente molto sopra Nyquist, per esempio a $8f_s$ ?

Il sovracampionamento non viola Nyquist: lo supera intenzionalmente. I vantaggi principali sono:

aumenta la distanza tra banda utile e immagini spettrali;
rende meno ripido il filtro analogico anti-aliasing;
permette di spostare parte del rumore di quantizzazione fuori banda nei convertitori sigma-delta.

Se la banda utile è $B$ , Nyquist richiede almeno $2B$ . Campionare a una frequenza molto maggiore crea una banda di guardia più ampia, semplificando il filtraggio pratico.

Il punto essenziale è che Nyquist dà un minimo teorico, non una scelta progettuale ottimale.

Errori comuni

Campionare esattamente a $2B$ . È il limite teorico: in pratica serve $f_s>2B$ per la banda di guardia del filtro anti-aliasing.
Pensare l’aliasing reversibile. Una volta campionato sotto Nyquist, l’informazione è persa: il filtro va applicato prima del campionamento.
Confondere bit-rate e frequenza di campionamento. Il bit-rate è $f_s\times n$ bit/campione, molto maggiore di $f_s$ .
Sottostimare i bit per la qualità. L’SNR cresce di $\sim6\,$ dB/bit: pochi bit danno rumore di quantizzazione udibile/visibile.
Dimenticare i canali. Nel PCM multicanale il bit-rate va moltiplicato anche per il numero di canali.