Variogramma

Il variogramma è lo strumento fondamentale della geostatistica per descrivere quantitativamente la struttura spaziale della variabilità di una proprietà del sottosuolo (tenore di un metallo, spessore di uno strato, permeabilità di un acquifero). Il variogramma misura come la somiglianza tra valori osservati in punti diversi diminuisce all’aumentare della distanza tra quei punti. È il cuore matematico del kriging, il metodo di stima geostatistica delle risorse minerarie.

Definizione

Dato un campo aleatorio stazionario $Z(\mathbf{x})$ (es. il tenore di rame in ogni punto $\mathbf{x}$ del giacimento), il variogramma sperimentale $\hat{\gamma}(h)$ per una distanza di separazione $h$ è:

$$\hat{\gamma}(h) = \frac{1}{2N(h)} \sum_{i=1}^{N(h)} [Z(\mathbf{x}_i + h) - Z(\mathbf{x}_i)]^2$$

dove $N(h)$ è il numero di coppie di campioni separati dalla distanza $h$ (all’interno di una tolleranza angolare e di distanza). Il fattore 1/2 normalizza la definizione rispetto alla varianza.

Struttura e parametri del variogramma

Il variogramma sperimentale si adatta con un modello analitico (sferico, esponenziale, gaussiano, con pepita). Il modello sferico è il più usato in mineraria:

$$\gamma(h) = \begin{cases} C_0 + C_1 \left[\dfrac{3h}{2a} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{h}{a}\right)^3\right] & h \leq a \\ C_0 + C_1 & h > a \end{cases}$$

I parametri fondamentali sono:

• Pepita (nugget, $C_0$): variabilità a scala sub-campionamento (errore di misura + variabilità a corto raggio non campionata). Rappresenta la discontinuità all’origine del variogramma.
• Struttura (sill, $C_0 + C_1$): valore a cui il variogramma si stabilizza, corrispondente alla varianza totale del campo.
• Portata (range, $a$): distanza oltre la quale i campioni non sono più correlati spazialmente. Fornisce il raggio di influenza di ciascun campione nella stima kriging.

Anisotropia

Nella maggior parte dei giacimenti, la struttura spaziale è anisotropa: la correlazione è maggiore lungo la direzione di allungamento del corpo mineralizzato (es. direzione stratigrafica) e minore in direzione perpendicolare. Il variogramma si calcola e si modella separatamente in più direzioni per catturare questa anisotropia, che poi si riflette nella forma ellissoidale del volume di stima del kriging.

Il kriging

Il variogramma è l’input essenziale del kriging (da D.G. Krige, ingegnere minerario sudafricano). Il kriging è un interpolatore lineare ponderato:

$$Z^*(\mathbf{x}_0) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i Z(\mathbf{x}_i)$$

che determina i pesi $\lambda_i$ minimizzando la varianza dell’errore di stima $\sigma_K^2$ tramite il sistema delle equazioni del kriging, basate sui valori del variogramma tra tutti i campioni e tra campioni e punto di stima. Il kriging è il metodo di riferimento per la classificazione delle risorse minerali nelle categorie Inferred, Indicated e Measured degli standard internazionali (JORC, NI 43-101).