La geomeccanica studia il comportamento di terreni e rocce sotto carico. Il concetto cardine è il principio delle tensioni efficaci di Terzaghi: solo la parte di tensione sostenuta dallo scheletro solido (al netto dell’acqua) controlla la resistenza. Il criterio di Mohr-Coulomb stabilisce quando il terreno si rompe. Questa scheda allena questi calcoli, base della stabilità di scavi e pendii.
Tensione efficace: \;\sigma'=\sigma-u (tensione totale meno pressione interstiziale).
1. Tensione verticale totale
Esercizio. A profondità z=6\ \text{m} in un terreno con peso di volume \gamma=18\ \text{kN/m}^3. Calcolare la tensione verticale totale.
\sigma_v=\gamma\,z=18\times6=108\ \text{kPa}.
La tensione totale è il peso della colonna di terreno sovrastante. Cresce linearmente con la profondità: è il carico geostatico.
2. Pressione interstiziale
Esercizio. Se la falda è a piano campagna, calcolare la pressione interstiziale a z=6\ \text{m} (\gamma_w=9{,}81\ \text{kN/m}^3).
La pressione dell’acqua nei pori è idrostatica:
u=\gamma_w\,z=9{,}81\times6=58{,}9\ \text{kPa}.
L’acqua interstiziale “sostiene” parte del carico, riducendo lo sforzo sullo scheletro solido. È la chiave del principio di Terzaghi.
3. Tensione efficace (Terzaghi)
Esercizio. Calcolare la tensione verticale efficace a z=6\ \text{m} (dai punti 1-2).
\sigma'_v=\sigma_v-u=108-58{,}9=49{,}1\ \text{kPa}.
La tensione efficace (49{,}1\ \text{kPa}) è quella effettivamente trasmessa tra i grani: governa resistenza e deformazione. È molto minore della totale per effetto dell’acqua: per questo l’innalzamento della falda riduce la resistenza e può causare frane.
4. Effetto dell’abbassamento di falda
Esercizio. Se la falda si abbassa a 3\ \text{m} di profondità, come cambia la tensione efficace a z=6\ \text{m} (terreno saturo sotto falda)?
La pressione interstiziale ora agisce solo sui 3 m sotto falda:
u=\gamma_w\times(6-3)=9{,}81\times3=29{,}4\ \text{kPa}.
\sigma'_v=\sigma_v-u=108-29{,}4=78{,}6\ \text{kPa}.
Abbassando la falda, la tensione efficace aumenta (da 49 a 79 kPa): il terreno diventa più resistente ma si comprime (cedimenti). Il drenaggio è una tecnica di consolidamento, ma va controllato.
5. Criterio di Mohr-Coulomb
Esercizio. Un terreno ha coesione c'=10\ \text{kPa} e angolo d’attrito \varphi'=30°. Calcolare la resistenza al taglio su un piano con tensione efficace normale \sigma'=50\ \text{kPa}.
Il criterio di Mohr-Coulomb dà la resistenza al taglio:
\tau_f=c'+\sigma'\tan\varphi'=10+50\times\tan30°=10+50\times0{,}577=10+28{,}9=38{,}9\ \text{kPa}.
Il terreno resiste fino a 38{,}9\ \text{kPa} di taglio su quel piano. La resistenza ha due contributi: la coesione c' (indipendente dal carico) e l’attrito \sigma'\tan\varphi' (proporzionale alla tensione efficace).
6. Verifica di rottura
Esercizio. Sullo stesso piano agisce una tensione tangenziale \tau=45\ \text{kPa}. Il terreno è stabile?
Si confronta la sollecitazione con la resistenza (dal punto 5, \tau_f=38{,}9\ \text{kPa}):
\tau=45\ \text{kPa}>\tau_f=38{,}9\ \text{kPa}.
La sollecitazione supera la resistenza: il terreno si rompe (scorrimento sul piano). Il fattore di sicurezza FS=\tau_f/\tau=38{,}9/45=0{,}86<1 conferma l’instabilità. La progettazione richiede FS>1 con margine.
7. Peso immerso e tensione efficace
Esercizio. Per il terreno saturo dei punti 1-3, con \gamma_{sat}=18\ \text{kN/m}^3 e \gamma_w=9{,}81\ \text{kN/m}^3, calcolare il peso di volume immerso e usarlo per ritrovare \sigma'_v a z=6\ \text{m}.
Il peso di volume immerso è:
La tensione efficace verticale:
È lo stesso risultato ottenuto con \sigma-u. Il peso immerso è una scorciatoia utile sotto falda, quando il terreno è saturo e la pressione interstiziale è idrostatica.
8. Effetto di un aumento di pressione interstiziale
Esercizio. Su un piano la tensione totale normale è \sigma=100\ \text{kPa}, la pressione interstiziale iniziale u=20\ \text{kPa}, c'=10\ \text{kPa} e \varphi'=30^\circ. Calcolare la resistenza al taglio. Poi ripetere con u=40\ \text{kPa}.
Caso iniziale:
Con pressione interstiziale aumentata:
Aumentare u da 20 a 40 kPa riduce la resistenza di circa 11,6 kPa. È il meccanismo con cui piogge, filtrazione e sovrapressioni non drenate destabilizzano pendii e fronti di scavo.
9. Gradiente idraulico critico
Esercizio. Un terreno saturo ha peso specifico dei grani G_s=2{,}65 e indice dei vuoti e=0{,}65. Calcolare il gradiente idraulico critico per sifonamento. Se il gradiente ascendente è i=0{,}70, calcolare un fattore di sicurezza semplificato.
Il gradiente critico è:
Il fattore di sicurezza:
Quando il gradiente ascendente si avvicina a i_c, la tensione efficace verticale tende a zero: il terreno perde contatto granulare e può bollire o sifonare. È una verifica essenziale per scavi sotto falda e opere idrauliche.
Errori comuni
- Usare la tensione totale nella resistenza. Mohr-Coulomb usa la tensione efficace \sigma': l’acqua riduce la resistenza, non la aumenta.
- Dimenticare la pressione interstiziale. \sigma'=\sigma-u: trascurare u sovrastima la resistenza, errore grave per la sicurezza.
- Confondere coesione e attrito. La coesione c' è costante; il termine d’attrito \sigma'\tan\varphi' cresce con il carico.
- Pensare che alzare la falda stabilizzi. L’innalzamento di falda riduce la tensione efficace e la resistenza: è causa frequente di frane.
- Dimenticare il peso immerso. Sotto falda il contributo efficace del terreno saturo è \gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w.
- Ignorare il filtraggio ascendente. Anche senza cambiare il peso totale, un gradiente verso l’alto può annullare le tensioni efficaci.