Formulario di geomeccanica, dedicato al comportamento meccanico di rocce e terreni sotto sforzo: quando cedono, come si distribuiscono le tensioni, come restano stabili scavi, gallerie e pareti. È la disciplina alla base della coltivazione mineraria sotterranea e a cielo aperto, e condivisa con la geotecnica civile. Il trattamento dei minerali e la coltivazione del giacimento sono in formulari dedicati.
Ogni sezione spiega il perché delle formule e include esempi commentati. Le grandezze sono nel Sistema Internazionale; si assume nota la meccanica dei solidi di base.
L’ordine consigliato è:
- stato tensionale nel terreno;
- tensioni efficaci (Terzaghi);
- criterio di Mohr-Coulomb;
- cerchio di Mohr;
- spinta delle terre e stabilità degli scavi.
Mappa di lettura operativa:
| Problema | Strumento principale | Controllo |
|---|---|---|
| tensione a una data profondità | peso degli strati sovrastanti | densità e profondità |
| effetto dell’acqua | tensioni efficaci di Terzaghi | pressione interstiziale |
| la roccia cede? | criterio di Mohr-Coulomb | coesione e attrito |
| stato di sforzo su un piano | cerchio di Mohr | tensioni principali |
| spinta su un muro | coefficiente di spinta | attivo o passivo |
| stabilità di uno scavo | confinamento e resistenza | rimozione di materiale |
1. Stato tensionale nel terreno
Tensione litostatica
A una data profondità z, il terreno è compresso dal peso di tutto ciò che gli sta sopra. La tensione verticale (litostatica) è:
con \gamma peso specifico del terreno (kN/m³) e z profondità. È il punto di partenza di ogni analisi: più si scava in profondità, maggiore è la compressione naturale. La tensione orizzontale è legata a quella verticale dal coefficiente di spinta a riposo K_0: \sigma_h = K_0\, \sigma_v.
2. Tensioni efficaci (Terzaghi)
Il principio di Terzaghi
Nei terreni saturi d’acqua, una parte della tensione è sopportata dall’acqua nei pori, non dallo scheletro solido. Il principio delle tensioni efficaci di Terzaghi — fondamento di tutta la geotecnica — separa i due contributi:
dove \sigma è la tensione totale, u la pressione interstiziale (dell’acqua nei pori) e \sigma' la tensione efficace (quella effettivamente trasmessa tra i grani solidi). Il punto cruciale: solo la tensione efficace governa la resistenza e la deformazione del terreno. L’acqua, che non resiste al taglio, “alleggerisce” lo scheletro solido.
Conseguenza pratica
Questo spiega perché l’acqua è il principale nemico della stabilità: aumentare la pressione interstiziale u (pioggia, falda, ristagno) riduce la tensione efficace \sigma', e con essa la resistenza del terreno. È il meccanismo di moltissime frane e cedimenti: non è il peso dell’acqua, ma la riduzione delle tensioni efficaci che fa cedere il pendio. Il drenaggio è la contromisura fondamentale.
3. Criterio di Mohr-Coulomb
La condizione di rottura
Il criterio di rottura più usato per terreni e rocce è quello di Mohr-Coulomb, che lega lo sforzo di taglio resistente \tau alla tensione normale efficace \sigma'_n sul piano di rottura:
dove c' è la coesione (resistenza intrinseca, anche senza compressione) e \varphi' l’angolo di attrito interno (il contributo che cresce col confinamento). Il terreno cede quando lo sforzo di taglio applicato raggiunge questo valore resistente.
Interpretazione dei due parametri
I due parametri descrivono due meccanismi di resistenza diversi:
- la coesione c' è il “collante” tra i grani (cementazione, forze elettrostatiche nelle argille): resiste anche senza compressione. Le sabbie pulite hanno c' \approx 0; le argille e le rocce cementate hanno c' alta.
- l’attrito \varphi' è la resistenza per incastro e sfregamento tra i grani: cresce con la compressione \sigma'_n. Le sabbie hanno \varphi' alto (35-45°), le argille molli basso.
Compare \sigma'_n (efficace, non totale): di nuovo, l’acqua riducendo \sigma'_n riduce direttamente la resistenza al taglio.
4. Cerchio di Mohr
Rappresentazione dello stato di sforzo
Il cerchio di Mohr rappresenta graficamente lo stato di tensione in un punto: su un piano (\sigma, \tau), le tensioni su tutti i possibili piani passanti per quel punto giacciono su un cerchio. Gli estremi del cerchio sull’asse orizzontale sono le tensioni principali \sigma_1 (massima) e \sigma_3 (minima); il raggio è (\sigma_1 - \sigma_3)/2 (il massimo sforzo di taglio).
Rottura: cerchio tangente all’inviluppo
La condizione di rottura di Mohr-Coulomb diventa geometrica: la retta \tau = c' + \sigma'_n \tan\varphi' è l’inviluppo di rottura, e il terreno cede quando il cerchio di Mohr (che cresce all’aumentare del carico) diventa tangente all’inviluppo. Finché il cerchio sta sotto la retta, il terreno regge; quando la tocca, su quel piano si raggiunge la rottura. È uno strumento intuitivo per capire come variano stato di sforzo e margine di sicurezza, e per progettare prove di laboratorio (triassiali) che determinano c' e \varphi'.
5. Spinta delle terre e stabilità degli scavi
Spinta attiva e passiva
Un muro che sostiene del terreno ne subisce la spinta. Il coefficiente di spinta lega tensione orizzontale e verticale:
| Stato | Coefficiente | Quando |
|---|---|---|
| A riposo | K_0 | muro immobile |
| Attivo | K_a = \dfrac{1-\sin\varphi'}{1+\sin\varphi'} | il terreno spinge, il muro cede leggermente |
| Passivo | K_p = \dfrac{1+\sin\varphi'}{1-\sin\varphi'} | il muro spinge contro il terreno |
La spinta attiva (minima) si sviluppa quando il muro cede appena, lasciando “rilassare” il terreno; la passiva (massima) quando è il muro a comprimere il terreno. Si noti che K_a e K_p sono uno l’inverso dell’altro: la spinta passiva è molto maggiore dell’attiva. Un angolo di attrito \varphi' alto riduce la spinta attiva (il terreno “si regge” di più da solo).
Stabilità degli scavi
Scavare una galleria o una parete rimuove materiale e quindi riduce il confinamento (\sigma'_n) sulle superfici esposte. Per Mohr-Coulomb, meno confinamento significa meno resistenza al taglio: lo scavo può innescare crolli proprio perché si toglie la compressione che teneva insieme la roccia. È un risultato controintuitivo ma centrale: il pericolo non è solo il peso che grava, ma la perdita di confinamento. Le contromisure (armature, bulloni, rivestimenti, betoncino proiettato) servono a ripristinare il confinamento sulle pareti, riportando il terreno in condizioni di stabilità.
Note d’uso ed errori comuni
- Usare sempre le tensioni efficaci (\sigma' = \sigma - u) per resistenza e deformazione: è la pressione tra i grani, non quella totale, a contare.
- L’acqua è il principale nemico della stabilità: aumenta u, riduce \sigma', abbassa la resistenza (drenare!).
- In Mohr-Coulomb, coesione e attrito sono meccanismi diversi: sabbie ~solo attrito, argille/rocce anche coesione.
- La rottura si ha quando il cerchio di Mohr è tangente all’inviluppo c' + \sigma'_n\tan\varphi'.
- Spinta attiva (muro che cede) minima, passiva (muro che spinge) massima: K_p = 1/K_a.
- Scavare riduce il confinamento e quindi la resistenza: il rischio di crollo nasce anche dalla perdita di \sigma'_n (servono armature per ripristinarlo).