Il cerchio di Mohr rappresenta graficamente lo stato tensionale in un punto, permettendo di trovare tensioni normali e tangenziali su qualunque piano. La spinta delle terre applica questi concetti al calcolo delle forze su muri di sostegno e pareti di scavo. Questa scheda allena entrambi, strumenti centrali della geotecnica applicata.
1. Centro e raggio del cerchio di Mohr
Esercizio. Le tensioni principali sono \sigma_1=100\ \text{kPa} e \sigma_3=40\ \text{kPa}. Calcolare centro e raggio del cerchio di Mohr.
Il centro (tensione media) e il raggio:
c=\dfrac{\sigma_1+\sigma_3}{2}=\dfrac{100+40}{2}=70\ \text{kPa},\qquad r=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\dfrac{100-40}{2}=30\ \text{kPa}.
Il cerchio di Mohr ha centro sull’asse \sigma a 70 kPa e raggio 30 kPa. Ogni punto del cerchio rappresenta le tensioni (\sigma,\tau) su un piano del materiale.
2. Tensione di taglio massima
Esercizio. Per lo stesso stato tensionale, calcolare la massima tensione tangenziale.
La \tau massima è il raggio del cerchio di Mohr:
\tau_{max}=r=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=30\ \text{kPa}.
Si verifica sul piano a 45° rispetto alle direzioni principali. È la massima sollecitazione di taglio nel punto: spesso il piano di rottura è vicino a questa orientazione (modulata dall’attrito).
3. Tensioni su un piano inclinato
Esercizio. Calcolare \sigma e \tau su un piano inclinato di \theta=30° rispetto al piano principale maggiore (\sigma_1=100, \sigma_3=40\ \text{kPa}).
Le equazioni del cerchio di Mohr (angolo 2\theta):
\sigma=c+r\cos2\theta=70+30\cos60°=70+30\times0{,}5=85\ \text{kPa}, \tau=r\sin2\theta=30\sin60°=30\times0{,}866=26\ \text{kPa}.
Sul piano a 30°: \sigma=85\ \text{kPa}, \tau=26\ \text{kPa}. Il cerchio di Mohr usa l’angolo doppio (2\theta): un piano fisico a 30° corrisponde a 60° sul cerchio.
4. Coefficiente di spinta attiva
Esercizio. Un terreno ha angolo d’attrito \varphi'=30°. Calcolare il coefficiente di spinta attiva di Rankine.
Il coefficiente di spinta attiva:
K_a=\dfrac{1-\sin\varphi'}{1+\sin\varphi'}=\dfrac{1-0{,}5}{1+0{,}5}=\dfrac{0{,}5}{1{,}5}=0{,}333.
La spinta attiva è quella che il terreno esercita su un muro che cede leggermente (allontanandosi). K_a<1: la spinta orizzontale è una frazione di quella verticale.
5. Spinta attiva su un muro
Esercizio. Un muro alto H=4\ \text{m} sostiene terreno con \gamma=18\ \text{kN/m}^3 e K_a=0{,}333. Calcolare la spinta attiva totale per metro di muro.
La spinta attiva è la risultante del diagramma triangolare di pressione:
S_a=\dfrac{1}{2} K_a\,\gamma\,H^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}333\times18\times4^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}333\times18\times16=47{,}9\ \text{kN/m}.
La spinta cresce con il quadrato dell’altezza: muri alti subiscono spinte molto maggiori. Il punto di applicazione è a H/3 dalla base (baricentro del triangolo).
6. Coefficiente di spinta passiva
Esercizio. Per lo stesso terreno (\varphi'=30°), calcolare il coefficiente di spinta passiva e confrontarlo con quello attivo.
Il coefficiente passivo è il reciproco di quello attivo:
K_p=\dfrac{1+\sin\varphi'}{1-\sin\varphi'}=\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3{,}0.
La spinta passiva (K_p=3) è quella necessaria a spingere il terreno (muro che avanza contro il terreno), molto maggiore dell’attiva (K_a=0{,}333). Il rapporto K_p/K_a=9 mostra quanto è più difficile comprimere il terreno che farlo cedere: principio degli ancoraggi e dei piedi di fondazione.
7. Spinta attiva con sovraccarico uniforme
Esercizio. Sul terreno dietro il muro del punto 5 agisce un sovraccarico uniforme q=10\ \text{kPa}. Con H=4\ \text{m} e K_a=0{,}333, calcolare la spinta totale.
La spinta del terreno resta:
Il sovraccarico produce un diagramma rettangolare:
Totale:
Il sovraccarico non modifica solo il valore massimo in testa: aggiunge una pressione uniforme lungo tutta l’altezza. Veicoli, depositi e fondazioni vicine devono essere inclusi nella spinta.
8. Spinta idrostatica dietro un muro
Esercizio. Se dietro un muro alto H=4\ \text{m} si accumula acqua fino in sommità, calcolare la spinta idrostatica per metro di muro.
La pressione dell’acqua è triangolare:
È maggiore della spinta attiva del terreno asciutto del punto 5 (47{,}9\ \text{kN/m}). Il drenaggio non è un accessorio: spesso è la differenza tra un muro stabile e uno sovraccaricato.
9. Rottura Mohr-Coulomb in compressione triassiale
Esercizio. Un terreno ha c'=10\ \text{kPa} e \varphi'=30^\circ. In prova triassiale drenata la tensione principale minore efficace è \sigma'_3=40\ \text{kPa}. Calcolare \sigma'_1 a rottura.
Per Mohr-Coulomb in compressione triassiale:
Con \sin30^\circ=0{,}5 e \cos30^\circ=0{,}866:
La differenza \sigma'_1-\sigma'_3 è il deviatore a rottura. La prova triassiale traduce il criterio sul piano di taglio in una relazione tra tensioni principali.
Errori comuni
- Usare l’angolo semplice nel cerchio di Mohr. Il cerchio lavora con l’angolo doppio 2\theta: un piano a \theta fisico è a 2\theta sul cerchio.
- Confondere spinta attiva e passiva. Attiva (K_a<1, muro che cede); passiva (K_p>1, muro che spinge): valori e segni del moto opposti.
- Dimenticare il quadrato dell’altezza. La spinta totale va con H^2: raddoppiare l’altezza quadruplica la spinta.
- Sbagliare il punto di applicazione. La spinta da diagramma triangolare agisce a H/3 dalla base, non a metà altezza.
- Dimenticare sovraccarichi e acqua. Traffico, depositi e pressione idrostatica possono superare la spinta del solo terreno.
- Mescolare tensioni totali ed efficaci. I parametri c' e \varphi' richiedono tensioni efficaci, non totali.