La dinamica delle macchine studia il moto sotto l’azione di coppie motrici e resistenti, tenendo conto dell’inerzia. Quando una macchina ruota, eventuali masse squilibrate generano forze centrifughe che vanno equilibrate per evitare vibrazioni. Questa scheda allena momento d’inerzia ridotto, regolazione tramite volano e equilibratura dei rotori.
1. Energia cinetica di rotazione
Esercizio. Un rotore con momento d’inerzia J=0{,}5\ \text{kg·m}^2 gira a \omega=100\ \text{rad/s}. Calcolare l’energia cinetica.
E_c=\dfrac{1}{2} J\omega^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}5\times100^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}5\times10\,000=2500\ \text{J}.
L’energia cinetica rotazionale è l’analogo di \dfrac{1}{2} mv^2, con J al posto della massa e \omega della velocità. È l’energia “immagazzinata” nella rotazione, alla base del volano.
2. Equazione del moto di una macchina
Esercizio. Su un albero con J=0{,}5\ \text{kg·m}^2 agiscono coppia motrice T_m=80\ \text{N·m} e resistente T_r=50\ \text{N·m}. Calcolare l’accelerazione angolare.
L’equazione del moto rotazionale (T_{net}=J\dot\omega):
\dot\omega=\dfrac{T_m-T_r}{J}=\dfrac{80-50}{0{,}5}=\dfrac{30}{0{,}5}=60\ \text{rad/s}^2.
La coppia netta positiva accelera l’albero. A regime (\dot\omega=0) la coppia motrice eguaglia la resistente.
3. Dimensionamento di un volano
Esercizio. Una macchina deve assorbire un’oscillazione di energia \Delta E=1200\ \text{J} mantenendo il grado di irregolarità \delta=0{,}02 attorno a \omega_m=50\ \text{rad/s}. Calcolare il momento d’inerzia del volano.
Il volano dimensionato in base alla fluttuazione di energia:
J=\dfrac{\Delta E}{\delta\,\omega_m^2}=\dfrac{1200}{0{,}02\times50^2}=\dfrac{1200}{0{,}02\times2500}=\dfrac{1200}{50}=24\ \text{kg·m}^2.
Il volano accumula energia nei picchi e la restituisce nei vuoti, riducendo le oscillazioni di velocità. Un \delta più piccolo (moto più regolare) richiede un volano più grande.
4. Velocità massima e minima con volano
Esercizio. Per il volano del punto 3 (\omega_m=50\ \text{rad/s}, \delta=0{,}02), calcolare le velocità massima e minima.
Il grado di irregolarità è \delta=(\omega_{max}-\omega_{min})/\omega_m:
\omega_{max}-\omega_{min}=\delta\,\omega_m=0{,}02\times50=1\ \text{rad/s}.
Distribuendo simmetricamente attorno a \omega_m:
\omega_{max}=50{,}5\ \text{rad/s},\qquad \omega_{min}=49{,}5\ \text{rad/s}.
L’oscillazione di velocità (\pm0{,}5\ \text{rad/s}) è contenuta dal volano: senza, sarebbe molto maggiore.
5. Forza centrifuga di squilibrio
Esercizio. Un rotore ha una massa squilibrata m=0{,}2\ \text{kg} a distanza r=0{,}1\ \text{m} dall’asse, ruotando a \omega=150\ \text{rad/s}. Calcolare la forza centrifuga.
F_c=m\,\omega^2 r=0{,}2\times150^2\times0{,}1=0{,}2\times22\,500\times0{,}1=450\ \text{N}.
La forza cresce con il quadrato della velocità: a regimi elevati anche piccoli squilibri generano forze enormi, causa di vibrazioni e usura dei cuscinetti.
6. Equilibratura statica
Esercizio. Per equilibrare lo squilibrio del punto 5 (m\,r=0{,}2\times0{,}1=0{,}02\ \text{kg·m}) si aggiunge un contrappeso a r_c=0{,}05\ \text{m} dall’asse, dalla parte opposta. Calcolare la massa del contrappeso.
L’equilibratura statica annulla la risultante delle forze centrifughe, imponendo uguale m\,r dalla parte opposta:
m_c\,r_c=m\,r\ \Rightarrow\ m_c=\dfrac{m\,r}{r_c}=\dfrac{0{,}02}{0{,}05}=0{,}4\ \text{kg}.
Il contrappeso da 0{,}4\ \text{kg} a 5\ \text{cm} produce la stessa m\,r in direzione opposta, annullando la forza centrifuga risultante. L’equilibratura statica basta per rotori sottili (dischi); per rotori lunghi serve anche quella dinamica (annullare i momenti).
7. Momento d’inerzia ridotto attraverso un riduttore
Esercizio. Un motore aziona un carico tramite riduttore con rapporto i=\omega_m/\omega_c=5. Il rotore motore ha J_m=0{,}020\ \text{kg·m}^2, il carico ha J_c=1{,}0\ \text{kg·m}^2. Calcolare l’inerzia equivalente vista dal motore.
L’inerzia del carico si riporta al lato motore dividendo per i^2:
L’inerzia totale vista dal motore è:
Il riduttore riduce fortemente l’inerzia apparente del carico sul lato veloce. È uno dei motivi per cui i servosistemi usano rapporti di riduzione: non aumentano solo la coppia, migliorano anche il matching inerziale.
8. Accelerazione con inerzia equivalente
Esercizio. Con J_{eq}=0{,}060\ \text{kg·m}^2, coppia motrice T_m=4{,}0\ \text{N·m} e coppia resistente equivalente T_r=1{,}0\ \text{N·m}, calcolare l’accelerazione angolare del motore.
La coppia netta è:
Quindi:
Questa accelerazione è lato motore. L’accelerazione del carico è più bassa di un fattore i:
Ogni grandezza va riportata allo stesso lato della trasmissione prima di applicare l’equazione del moto: è l’errore più frequente nei sistemi motore-riduttore-carico.
9. Squilibrio di coppia in un rotore lungo
Esercizio. Due masse uguali m=0{,}10\ \text{kg} sono poste a raggio r=0{,}05\ \text{m} in due piani distanti l=0{,}40\ \text{m}, in posizioni angolari opposte. Il rotore gira a \omega=200\ \text{rad/s}. La risultante delle forze è nulla? Calcolare il momento alterno generato.
Le due forze centrifughe hanno stesso modulo:
Essendo opposte, la risultante delle forze è nulla. Però agiscono in piani diversi e formano una coppia:
Il rotore è staticamente equilibrato ma dinamicamente squilibrato. Questo è il caso che rende necessaria l’equilibratura su due piani: annullare la forza risultante non basta, bisogna annullare anche il momento.
Errori comuni
- Dimenticare il quadrato in F_c. La forza centrifuga è m\omega^2 r: cresce col quadrato della velocità, non linearmente.
- Confondere grado di irregolarità ed energia. \delta è una velocità relativa; \Delta E è l’energia fluttuante. La formula del volano li lega: J=\Delta E/(\delta\omega_m^2).
- Equilibrare con la sola massa. Conta il prodotto m\,r: un contrappeso piccolo a grande raggio equivale a uno grande a piccolo raggio.
- Credere che l’equilibratura statica basti sempre. Per rotori estesi assialmente serve l’equilibratura dinamica, che annulla anche i momenti delle forze centrifughe.
- Non riportare le inerzie allo stesso lato. In presenza di riduttori, carichi e coppie vanno trasformati prima di scrivere T=J\dot\omega.
- Annullare solo la forza risultante. Un rotore lungo può avere forza totale nulla ma coppia di squilibrio non nulla.