L’attrito è centrale nelle macchine: dissipa energia ma rende possibili frizioni, freni e trasmissioni a cinghia. Questa scheda allena i modelli di attrito nelle coppie meccaniche tipiche — piano inclinato, vite, cinghia — e il calcolo dei rendimenti e delle condizioni di autobloccaggio.
Attrito radente: forza tangenziale F_a=f\,N, con f coefficiente d’attrito e N forza normale. Angolo d’attrito \varphi=\arctan f.
1. Forza d’attrito su un piano
Esercizio. Un blocco preme su una guida orizzontale con forza normale N=500\ \text{N}, coefficiente f=0{,}2. Calcolare la forza d’attrito massima.
F_a=f\,N=0{,}2\times500=100\ \text{N}.
È la forza tangenziale massima prima dello strisciamento. Sotto questo valore il blocco resta fermo (attrito statico); raggiunto, inizia a scorrere.
2. Angolo d’attrito e piano inclinato
Esercizio. Su un piano inclinato con coefficiente f=0{,}3, sotto quale angolo un corpo inizia a scivolare?
Il corpo scivola quando l’inclinazione supera l’angolo d’attrito:
\varphi=\arctan f=\arctan(0{,}3)=16{,}7^\circ.
Per \alpha<\varphi il corpo resta fermo (la componente di gravità non vince l’attrito); per \alpha>\varphi scivola. L’angolo d’attrito è la pendenza critica.
3. Autobloccaggio
Esercizio. Spiegare la condizione di autobloccaggio sul piano inclinato e darne un esempio applicativo.
Un sistema è autobloccante quando l’attrito impedisce il movimento anche sotto carico, cioè quando l’angolo di lavoro è minore dell’angolo d’attrito:
\alpha\le\varphi.
Applicazione: le viti di serraggio e i martinetti restano in posizione sotto carico senza scivolare indietro proprio perché autobloccanti. È una proprietà cercata (sicurezza) o evitata (efficienza) a seconda della funzione.
4. Coppia di una vite di manovra
Esercizio. Una vite di manovra ha diametro medio d_m=20\ \text{mm}, angolo d’elica \alpha=5^\circ, angolo d’attrito \varphi=8^\circ. Stimare la coppia per sollevare un carico assiale F=2000\ \text{N}.
La coppia per sollevare un carico con una vite:
T=F\,\dfrac{d_m}{2}\tan(\alpha+\varphi)=2000\times\dfrac{0{,}020}{2}\times\tan(13^\circ)=2000\times0{,}010\times0{,}231=4{,}62\ \text{N·m}.
L’attrito (\varphi) si somma all’angolo d’elica nella salita: poiché \alpha<\varphi, la vite è autobloccante (non torna indietro da sola sotto carico).
5. Trasmissione a cinghia (Eytelwein)
Esercizio. Una cinghia avvolge una puleggia con angolo d’avvolgimento \theta=\pi\ \text{rad} (180°) e coefficiente d’attrito f=0{,}3. Calcolare il rapporto tra le tensioni dei due rami al limite di slittamento.
La formula di Eytelwein (capstan) lega le tensioni del ramo teso T_1 e lento T_2:
\dfrac{T_1}{T_2}=e^{f\theta}=e^{0{,}3\times\pi}=e^{0{,}942}=2{,}57.
Il ramo teso può sopportare 2{,}57 volte il lento prima dello slittamento. Aumentare l’avvolgimento \theta o l’attrito f aumenta esponenzialmente la capacità di trasmissione.
6. Forza utile trasmessa dalla cinghia
Esercizio. Per la cinghia del punto 5, con tensione del ramo teso T_1=800\ \text{N}, calcolare la forza periferica utile trasmessa.
Passo 1 — tensione ramo lento: T_2=T_1/2{,}57=800/2{,}57=311\ \text{N}.
Passo 2 — forza periferica utile (differenza delle tensioni):
F_u=T_1-T_2=800-311=489\ \text{N}.
La forza che muove effettivamente il carico è la differenza delle tensioni dei due rami. È il massimo trasmissibile prima dello slittamento, con quei valori di avvolgimento e attrito.
7. Coppia frenante di un freno a disco
Esercizio. Un freno a disco ha coefficiente d’attrito \mu=0{,}35, due superfici di attrito, forza normale su ciascuna superficie N=1500\ \text{N} e raggio medio r_m=0{,}12\ \text{m}. Calcolare la coppia frenante.
La coppia vale:
dove z=2 è il numero di superfici attive. La coppia non dipende solo dalla forza di serraggio: il raggio medio della pista e il numero di superfici sono altrettanto determinanti.
8. Vite autobloccante in discesa
Esercizio. Per la vite del punto 4, con F=2000\ \text{N}, d_m=20\ \text{mm}, \alpha=5^\circ e \varphi=8^\circ, stimare la coppia necessaria per far scendere il carico in modo controllato.
Poiché \varphi>\alpha, la vite è autobloccante. La coppia per vincere l’attrito in discesa è:
Il carico non scende spontaneamente: serve una piccola coppia esterna per avviare la discesa. Nei martinetti questo è un vantaggio di sicurezza; nei sistemi di comando ad alta efficienza può invece essere un difetto.
9. Potenza persa in un supporto
Esercizio. Un cuscinetto radente sostiene un carico N=2000\ \text{N}, ha coefficiente d’attrito equivalente f=0{,}04, raggio dell’albero r=25\ \text{mm} e velocità n=1200\ \text{giri/min}. Calcolare coppia resistente e potenza dissipata.
La coppia d’attrito è:
La velocità angolare:
Potenza dissipata:
La potenza persa diventa calore nel supporto. Per questo l’attrito non è solo una verifica di forza: impone lubrificazione, smaltimento termico e limiti di velocità.
Errori comuni
- Confondere coefficiente e angolo d’attrito. \varphi=\arctan f: il coefficiente è la tangente dell’angolo, non l’angolo stesso.
- Sottrarre \varphi in salita. Sollevando un carico con la vite, attrito e angolo d’elica si sommano (\alpha+\varphi); in discesa si sottraggono (\alpha-\varphi).
- Usare Eytelwein con \theta in gradi. L’esponente f\theta richiede \theta in radianti: usare i gradi sbaglia di ordini di grandezza.
- Confondere tensione e forza utile. La cinghia trasmette la differenza T_1-T_2, non la tensione di un singolo ramo.
- Dimenticare il numero di superfici. Nei freni e nelle frizioni la coppia scala con le superfici attive e con il raggio medio.
- Trascurare la potenza dissipata. Una forza d’attrito modesta può produrre molto calore ad alta velocità.