Accelerazione Tangenziale

L’accelerazione tangenziale è una delle componenti fondamentali in cui si può scomporre il vettore accelerazione durante lo studio del moto curvilineo di un punto materiale, calcolata rispetto al sistema di riferimento locale solidale alla particella (terna intrinseca o triedro di Serret-Frenet).

Essa rappresenta la proiezione del vettore accelerazione totale lungo la retta tangente alla traiettoria nel punto considerato, ed è diretta secondo il versore tangente $\hat{u}_t$.

Definizione matematica

L’accelerazione tangenziale si calcola come la derivata scalare rispetto al tempo del modulo della velocità (chiamato propriamente celerità ed indicato con $v$):

$$a_t = \frac{dv}{dt}$$

In termini vettoriali, la componente tangenziale dell’accelerazione si esprime come:

$$\vec{a}_t = a_t \hat{u}_t = \frac{dv}{dt} \hat{u}_t$$

Significato fisico e cinematico

A differenza dell’accelerazione normale (o centripeta), che modifica unicamente la direzione del vettore velocità, l’accelerazione tangenziale è esclusivamente responsabile della variazione della celerità del corpo nel tempo.

• Se $a_t > 0$, il punto materiale sta accelerando (il modulo della sua velocità sta aumentando e vettore velocità ed accelerazione tangenziale sono concordi).
• Se $a_t < 0$, il punto materiale sta decelerando (il modulo della sua velocità diminuisce e i due vettori sono discordi).
• Se $a_t = 0$, il moto possiede un modulo della velocità costante nel tempo e si definisce moto uniforme. È il caso del moto circolare uniforme, che, sebbene sia accelerato (possiede un’accelerazione centripeta per via della curva), mantiene accelerazione tangenziale nulla.

Moto uniformemente accelerato

Un caso fondamentale è il moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA), in cui $a_t = \text{cost}$. Le equazioni orarie sono:

$v(t) = v_0 + a_t\,t \qquad s(t) = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a_t\,t^2$

dove $v_0$ e $s_0$ sono la velocità e la posizione iniziali. Il MRUA è il modello di prima approssimazione per l’accelerazione di un veicolo in un breve tratto, per la caduta libera verticale ($a_t = g$) e per il moto di una particella carica in campo elettrico uniforme.

Applicazioni ingegneristiche

Trasmissioni e frizioni: durante la fase di innesto di una frizione o l’avviamento di un motore, l’accelerazione tangenziale dell’albero cresce da zero al regime nominale. Il profilo $a_t(t)$ è progettato per limitare gli sforzi di torsione sull’albero e le vibrazioni della trasmissione.

Nastri trasportatori e robotica: in un sistema di controllo del moto, la fase di accelerazione tangenziale (rampa) viene pianificata per limitare il jerk $da_t/dt$ e ridurre le vibrazioni residue al termine del movimento.

Dinamica ferroviaria: la normativa di comfort passeggeri impone limiti all’accelerazione tangenziale longitudinale (tipicamente $\leq 1\ \text{m/s}^2$ per treni ad alta velocità) e al jerk (tipicamente $\leq 0{,}5\ \text{m/s}^3$).

Relazione con l’accelerazione totale

L’accelerazione totale $\vec{a}$ di un corpo in un generico moto curvilineo è data dalla somma vettoriale ortogonale della sua componente tangenziale e della sua componente normale $\vec{a}_n$:

$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n = a_t \hat{u}_t + a_n \hat{u}_n$$

Trattandosi di vettori mutuamente perpendicolari (tangente e normale al piano osculatore), il modulo dell’accelerazione totale si ricava semplicemente applicando il teorema di Pitagora alle sue due componenti:

$$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$$

Vedi anche: Accelerazione, Accelerazione Centripeta.