Verosimiglianza

La verosimiglianza (in inglese likelihood) è una funzione dei parametri di un modello statistico, data l’osservazione di un insieme di dati. Sebbene sia formalmente simile a una probabilità, concettualmente è molto diversa: mentre la probabilità si riferisce a esiti futuri dati parametri fissi, la verosimiglianza si riferisce ai parametri dato un esito già osservato.

Definizione

Dati dei dati osservati $x$ e un parametro $\theta$, la funzione di verosimiglianza $L(\theta)$ è definita come: $L(\theta) = P(x | \theta)$ Se le osservazioni $x_1, x_2, \dots, x_n$ sono indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.), la verosimiglianza totale è il prodotto delle singole verosimiglianze: $L(\theta) = \prod_{i=1}^n P(x_i | \theta)$

Spesso si lavora con il logaritmo della verosimiglianza (log-likelihood), $\ell(\theta) = \ln L(\theta)$, perché trasforma i prodotti in somme, semplificando le operazioni di derivazione.

Significato Ingegneristico

• Stima di Massima Verosimiglianza (MLE): È la tecnica standard in ingegneria per stimare i parametri di un sistema. Consiste nel trovare il valore di $\theta$ che massimizza $L(\theta)$, ovvero il valore che rende i dati osservati “i più probabili possibile”.
• Identificazione dei Sistemi: In automatica, si usa la verosimiglianza per determinare i coefficienti di una funzione di trasferimento a partire dalle misure di ingresso e uscita di un impianto.
• Calibrazione di Sensori: Determinare i parametri di errore (bias, rumore) di un sensore confrontando le sue letture con valori di riferimento noti.

Vedi anche: Massima Verosimiglianza, Teorema di Bayes.