Variabili aleatorie continue: esercizi svolti

Una variabile aleatoria continua assume valori in un intervallo e la sua probabilità è descritta da una densità $f(x)$ : le probabilità si ottengono integrando, non sommando. Per una continua la probabilità di un singolo punto è nulla; conta solo la probabilità su intervalli. Questa scheda allena integrali di densità, ripartizione, momenti e quantili.

Vincoli della densità: $\;f(x)\ge0\;$ e $\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$ .

1. Normalizzazione di una densità

Esercizio. Una densità è $f(x)=c\,x$ su $[0,2]$ , nulla altrove. Trovare $c$ .

Imponendo l’integrale unitario:

$\int_0^2 c\,x\,dx=c\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=c\cdot2=1\ \Rightarrow\ c=\dfrac{1}{2}.$

Quindi $f(x)=x/2$ su $[0,2]$ . La costante si determina sempre dalla condizione di area unitaria.

2. Probabilità su un intervallo

Esercizio. Per la $f(x)=x/2$ del punto 1, calcolare $P(1\le X\le2)$ .

\begin{aligned} P(1\le X\le2) &=\int_1^2 \dfrac{x}{2}\,dx\\ &=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^2\\ &=\dfrac{1}{2}\left(2-\dfrac{1}{2}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2} =\dfrac{3}{4} =0{,}75. \end{aligned}

La probabilità è l’area sotto la densità nell’intervallo. La densità cresce con $x$ , quindi la metà destra è più probabile.

3. Funzione di ripartizione

Esercizio. Ricavare $F(x)=P(X\le x)$ per la $f(x)=x/2$ su $[0,2]$ .

$F(x)=\int_0^x \dfrac{t}{2}\,dt=\dfrac{x^2}{4}\quad\text{per }0\le x\le2,$

con $F(x)=0$ per $x<0$ e $F(x)=1$ per $x>2$ . Verifica: $F(2)=4/4=1$ . ✓ La ripartizione di una continua è continua e crescente; la sua derivata è la densità.

4. Probabilità dalla ripartizione

Esercizio. Usando $F(x)=x^2/4$ , ricalcolare $P(1\le X\le2)$ .

$P(1\le X\le2)=F(2)-F(1)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=0{,}75.$

Coerente con il punto 2. Per una continua $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$ , e gli estremi aperti o chiusi sono indifferenti ( $P(X=a)=0$ ).

5. Valore atteso

Esercizio. Calcolare $E[X]$ per la $f(x)=x/2$ su $[0,2]$ .

\begin{aligned} E[X] &=\int_0^2 x\cdot\dfrac{x}{2}\,dx\\ &=\dfrac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx\\ &=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{8}{3} =\dfrac{4}{3} =1{,}33. \end{aligned}

Il valore atteso è spostato verso destra (1,33 > 1, centro dell’intervallo): coerente con la densità crescente che pesa di più i valori grandi.

6. Varianza

Esercizio. Calcolare $\operatorname{Var}(X)$ per la stessa densità.

Passo 1 — momento secondo:

$E[X^2]=\int_0^2 x^2\cdot\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2 x^3\,dx=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2=\dfrac{1}{2}\times4=2.$

Passo 2 — varianza:

$\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=2-\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=2-\dfrac{16}{9}=\dfrac{18-16}{9}=\dfrac{2}{9}=0{,}222.$

Deviazione standard $\sigma=\sqrt{0{,}222}=0{,}47$ . La formula operativa vale identica al caso discreto, con integrali al posto di somme.

7. Mediana e quantili

Esercizio. Trovare la mediana della distribuzione con $F(x)=x^2/4$ su $[0,2]$ .

La mediana $m$ soddisfa $F(m)=0{,}5$ :

$\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ m^2=2\ \Rightarrow\ m=\sqrt2\approx1{,}41.$

La mediana ( $1{,}41$ ) è maggiore del centro geometrico ( $1$ ) ma diversa dalla media ( $1{,}33$ ): in una distribuzione asimmetrica media e mediana non coincidono. Per il quantile $q$ -esimo si risolve $F(x_q)=q$ .

8. Densità uniforme

Esercizio. $X$ uniforme su $[a,b]$ con $a=2$ , $b=6$ . Calcolare densità, media e varianza.

La densità uniforme è costante:

$f(x)=\dfrac{1}{b-a}=\dfrac{1}{4}\quad\text{su }[2,6].$

Media e varianza dalle formule note:

$E[X]=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{2+6}{2}=4,\qquad \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{16}{12}=1{,}33.$

L’uniforme modella l’incertezza “senza preferenze” su un intervallo: ogni punto ha la stessa densità.

9. Densità esponenziale e probabilità di coda

Esercizio. Una variabile $X$ ha densità

f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge0,

con $\lambda=0{,}2$ . Calcolare $P(X>10)$ e la mediana.

La funzione di ripartizione dell’esponenziale è

F(x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge0.

Quindi la probabilità di coda è

P(X>10)=1-F(10)=e^{-0{,}2\cdot10}=e^{-2}=0{,}135.

La mediana $m$ soddisfa $F(m)=0{,}5$ :

1-e^{-0{,}2m}=0{,}5 \quad\Rightarrow\quad e^{-0{,}2m}=0{,}5.

Prendendo il logaritmo:

-0{,}2m=\ln(0{,}5)=-\ln2 \quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{\ln2}{0{,}2}=3{,}47.

La mediana è minore della media $1/\lambda=5$ : l’esponenziale è asimmetrica a destra.

10. Trasformazione monotona di una variabile

Esercizio. Sia $X$ uniforme su $[0,1]$ e $Y=X^2$ . Trovare la funzione di ripartizione e la densità di $Y$ .

Il supporto di $Y$ è ancora $[0,1]$ . Per $0\le y\le1$ :

F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^2\le y).

Poiché su $[0,1]$ la funzione $x\mapsto x^2$ è crescente:

P(X^2\le y)=P(X\le\sqrt y)=\sqrt y.

Quindi

F_Y(y)= \begin{cases} 0 & y<0,\\ \sqrt y & 0\le y\le1,\\ 1 & y>1. \end{cases}

Derivando nel tratto interno:

f_Y(y)=F_Y'(y)=\dfrac{1}{2\sqrt y},\qquad 0<y<1.

La densità cresce molto vicino a $0$ : il quadrato comprime i valori piccoli e concentra probabilità verso sinistra.

11. Densità definita a tratti

Esercizio. Sia

f(x)= \begin{cases} c x & 0\le x\le1,\\ c(2-x) & 1<x\le2,\\ 0 & \text{altrove}. \end{cases}

Trovare $c$ e calcolare $P(0{,}5\le X\le1{,}5)$ .

Normalizziamo:

\int_0^1 cx\,dx+\int_1^2 c(2-x)\,dx =c\dfrac{1}{2}+c\dfrac{1}{2}=c.

Imponendo area $1$ , otteniamo $c=1$ . La densità è triangolare, simmetrica rispetto a $x=1$ .

Ora:

P(0{,}5\le X\le1{,}5) =\int_{0{,}5}^{1}x\,dx+\int_1^{1{,}5}(2-x)\,dx.

Il primo contributo è

\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0{,}5}^{1} =\dfrac{1}{2}-\dfrac{0{,}25}{2} =0{,}375.

Il secondo:

\left[2x-\dfrac{x^2}{2}\right]_1^{1{,}5} =(3-1{,}125)-(2-0{,}5) =1{,}875-1{,}5=0{,}375.

Quindi

P(0{,}5\le X\le1{,}5)=0{,}75.

Con densità a tratti bisogna spezzare l’integrale nei punti in cui cambia formula.

Errori comuni

Trattare $f(x)$ come una probabilità. La densità non è una probabilità (può superare 1): solo il suo integrale su un intervallo lo è.
Distinguere estremi aperti e chiusi. Per una continua $P(X=a)=0$ , quindi $P(a<X<b)=P(a\le X\le b)$ : nessuna differenza.
Dimenticare i limiti di integrazione. Integrare oltre il supporto della densità (dove $f=0$ ) o ometterne una parte falsa media e varianza.
Confondere media e mediana. Coincidono solo per distribuzioni simmetriche; in generale vanno calcolate separatamente.
Trasformare una densità senza Jacobiano. Per una trasformazione conviene partire dalla ripartizione o usare la formula con derivata inversa.
Non spezzare le densità a tratti. Ogni intervallo in cui cambia formula richiede il proprio integrale.