Variabile Aleatoria Continua

Una variabile aleatoria $X$ si dice continua se può assumere un’infinità non numerabile di valori, tipicamente corrispondenti a uno o più intervalli della retta reale.

Descrizione Matematica

A differenza delle variabili discrete, la probabilità che una variabile continua assuma esattamente un valore specifico $x$ è sempre pari a zero: $P(X = x) = 0$ . La probabilità è invece definita su intervalli tramite la Funzione di Densità di Probabilità (PDF), $f_X(x)$ : $P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f_X(x) \, dx$

Per essere una PDF valida, deve soddisfare:

$f_X(x) \geq 0$ per ogni $x$ .
$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$ .

La Funzione di Ripartizione (CDF) di una variabile continua è una funzione continua e derivabile (quasi ovunque), tale che $F_X'(x) = f_X(x)$ .

Esempi

La durata di vita di un componente meccanico (Esponenziale o Weibull).
L’errore di misura di uno strumento (Normale).
La tensione ai capi di un resistore dovuta al rumore termico.

Significato Ingegneristico

Ingegneria Civile e Meccanica: Le grandezze fisiche come carichi, deformazioni, temperature e pressioni sono modellate come variabili aleatorie continue.
Telecomunicazioni: Il rumore additivo gaussiano bianco (AWGN) è la variabile continua più importante per lo studio della qualità del segnale.
Ingegneria Chimica: La concentrazione di un reagente o il tempo di permanenza in un reattore.

Vedi anche: Variabile Aleatoria Discreta, Funzione di Densità di Probabilità, Distribuzione Normale.