Trigonometria sui triangoli: teoremi dei seni e del coseno, esercizi svolti

La trigonometria lega angoli e lati di un triangolo, permettendo di risolverlo a partire da dati parziali. Per i triangoli rettangoli bastano seno, coseno e tangente; per i triangoli qualunque servono il teorema dei seni e il teorema del coseno. Questa scheda allena la risoluzione completa dei triangoli.

1. Relazioni nel triangolo rettangolo

Esercizio. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è $i=10$ e un angolo acuto $\alpha=30^\circ$ . Calcolare i due cateti.

Il cateto opposto e quello adiacente all’angolo:

$c_{opp}=i\sin\alpha=10\sin30^\circ=10\times0{,}5=5,$ $c_{adj}=i\cos\alpha=10\cos30^\circ=10\times0{,}866=8{,}66.$

Nel triangolo rettangolo: cateto opposto $=i\sin$ , cateto adiacente $=i\cos$ . La base di ogni problema goniometrico.

2. Angolo da due lati

Esercizio. In un triangolo rettangolo il cateto opposto è $6$ e l’ipotenusa $10$ . Calcolare l’angolo.

$\sin\alpha=\dfrac{c_{opp}}{i}=\dfrac{6}{10}=0{,}6\ \Rightarrow\ \alpha=\arcsin(0{,}6)=36{,}9^\circ.$

Le funzioni inverse (arcsin, arccos, arctan) ricavano l’angolo dai lati. Qui è il classico triangolo $(6,8,10)$ .

3. Teorema dei seni

Esercizio. Un triangolo ha lato $a=8$ opposto all’angolo $\alpha=40^\circ$ . Calcolare il lato $b$ opposto a $\beta=60^\circ$ .

Il teorema dei seni: i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\alpha}&=\dfrac{b}{\sin\beta},\\ b&=a\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\\ &=8\times\dfrac{\sin60^\circ}{\sin40^\circ}\\ &=8\times\dfrac{0{,}866}{0{,}643} =10{,}8. \end{aligned}

Si usa quando si conosce un lato con il suo angolo opposto, più un altro angolo (casi ALA, AAL).

4. Teorema del coseno

Esercizio. Un triangolo ha lati $b=7$ , $c=5$ e angolo compreso $\alpha=60^\circ$ . Calcolare il terzo lato $a$ .

Il teorema del coseno generalizza Pitagora ai triangoli qualunque:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=49+25-2\times7\times5\times\cos60^\circ=74-70\times0{,}5=74-35=39.$

$a=\sqrt{39}=6{,}24.$

Si usa con due lati e l’angolo compreso (caso LAL) o con tre lati noti (LLL) per trovare un angolo. Per $\alpha=90^\circ$ si riduce a Pitagora ( $\cos90^\circ=0$ ).

5. Area con il seno

Esercizio. Per il triangolo del punto 4 ( $b=7$ , $c=5$ , $\alpha=60^\circ$ ), calcolare l’area.

L’area da due lati e l’angolo compreso:

$A=\dfrac{1}{2} bc\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\times7\times5\times\sin60^\circ=\dfrac{1}{2}\times35\times0{,}866=15{,}2.$

La formula $\dfrac{1}{2} bc\sin\alpha$ evita di calcolare l’altezza: bastano due lati e l’angolo fra essi.

6. Risoluzione completa di un triangolo (LLL)

Esercizio. Un triangolo ha lati $a=6$ , $b=8$ , $c=10$ . Trovare l’angolo $\gamma$ opposto al lato $c$ .

Dal teorema del coseno, isolando il coseno:

$\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{36+64-100}{2\times6\times8}=\dfrac{0}{96}=0\ \Rightarrow\ \gamma=90^\circ.$

L’angolo opposto al lato maggiore è retto: il triangolo $(6,8,10)$ è rettangolo (terna pitagorica). Il teorema del coseno con $\cos\gamma=0$ conferma Pitagora.

7. Caso ambiguo LLA

Esercizio. Un triangolo ha $a=10$ , $b=7$ e angolo $\alpha=40^\circ$ , con $a$ opposto ad $\alpha$ e $b$ opposto a $\beta$ . Stabilire se il dato ammette uno o due triangoli.

Dal teorema dei seni:

\dfrac{\sin\beta}{b}=\dfrac{\sin\alpha}{a} \quad\Rightarrow\quad \sin\beta=\dfrac{b\sin\alpha}{a} =\dfrac{7\sin40^\circ}{10} =0{,}450.

Quindi:

\beta_1=\arcsin(0{,}450)=26{,}7^\circ.

L’altro angolo con lo stesso seno sarebbe:

\beta_2=180^\circ-26{,}7^\circ=153{,}3^\circ.

Ma $\alpha+\beta_2=40^\circ+153{,}3^\circ=193{,}3^\circ>180^\circ$ , impossibile. Esiste quindi un solo triangolo. Nel caso LLA bisogna sempre controllare anche l’angolo supplementare.

8. Raggio circoscritto dal teorema dei seni

Esercizio. In un triangolo un lato $a=12$ è opposto all’angolo $\alpha=45^\circ$ . Calcolare il raggio $R$ della circonferenza circoscritta.

La forma estesa del teorema dei seni è:

\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R.

Quindi:

R=\dfrac{a}{2\sin\alpha} =\dfrac{12}{2\sin45^\circ} =\dfrac{12}{2\times0{,}707} =8{,}49.

Il raggio circoscritto collega la trigonometria del triangolo alla geometria della circonferenza. È utile quando si passa da lati e angoli a costruzioni geometriche globali.

9. Area con formula di Erone e controllo trigonometrico

Esercizio. Calcolare l’area del triangolo con lati $13$ , $14$ , $15$ .

Il semiperimetro è:

s=\dfrac{13+14+15}{2}=21.

Formula di Erone:

A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}.

Poiché $21\cdot8\cdot7\cdot6=7056$ :

A=84.

È un esercizio utile perché non richiede angoli. Se si calcolasse un angolo con il teorema del coseno, si potrebbe poi verificare con $A=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$ .

10. Problema topografico

Esercizio. Da due punti $A$ e $B$ distanti $100\ \text{m}$ si osserva un punto $C$ . Gli angoli alla base sono $\alpha=52^\circ$ in $A$ e $\beta=61^\circ$ in $B$ . Calcolare la distanza $AC$ .

Il terzo angolo è:

\gamma=180^\circ-52^\circ-61^\circ=67^\circ.

Il lato noto $AB=100$ è opposto a $\gamma$ . Per il teorema dei seni:

\dfrac{AC}{\sin\beta}=\dfrac{AB}{\sin\gamma} \quad\Rightarrow\quad AC=100\dfrac{\sin61^\circ}{\sin67^\circ}.

Numericamente:

AC=100\dfrac{0{,}875}{0{,}921}=95{,}0\ \text{m}.

La triangolazione topografica usa proprio questo schema: una base misurata e due angoli permettono di ricavare distanze non direttamente accessibili.

Errori comuni

Usare il teorema dei seni senza una coppia lato-angolo opposto. Serve almeno un lato con il suo angolo opposto; altrimenti si parte dal teorema del coseno.
Sbagliare l’angolo nel teorema del coseno. L’angolo nella formula è quello compreso tra i due lati noti (opposto al lato cercato).
Dimenticare il caso ambiguo (LLA). Con due lati e un angolo non compreso, il teorema dei seni può dare due triangoli: va verificata la coerenza.
Confondere gradi e radianti. Le funzioni trig vanno valutate nell’unità coerente; in molti contesti d’esame si lavora in gradi.
Non verificare la somma degli angoli. Ogni soluzione candidata deve rispettare $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ .
Usare Erone senza controllare l’esistenza. I lati devono rispettare le disuguaglianze triangolari.