Il triangolo è la figura piana fondamentale della geometria euclidea: rigida, scomponibile da ogni poligono, base della trigonometria. Questa scheda allena i teoremi metrici sul triangolo rettangolo (Pitagora, Euclide), il calcolo dell’area e le proprietà che ogni esame di geometria richiede.
1. Teorema di Pitagora
Esercizio. Un triangolo rettangolo ha cateti c_1=3 e c_2=4. Calcolare l’ipotenusa.
Il teorema di Pitagora lega i quadrati dei lati:
i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
È la terna pitagorica (3,4,5), la più nota. Il teorema vale solo per triangoli rettangoli.
2. Cateto da ipotenusa e cateto
Esercizio. Un triangolo rettangolo ha ipotenusa i=13 e un cateto c_1=5. Calcolare l’altro cateto.
Invertendo Pitagora:
c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.
Terna (5,12,13). Quando si conosce l’ipotenusa, il cateto si trova con una sottrazione sotto radice, non una somma.
3. Primo teorema di Euclide
Esercizio. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è i=10 e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è p=3{,}6. Calcolare quel cateto.
Il primo teorema di Euclide: ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la propria proiezione.
c=\sqrt{i\cdot p}=\sqrt{10\times3{,}6}=\sqrt{36}=6.
Il cateto al quadrato eguaglia il prodotto ipotenusa × proiezione: c^2=i\,p. Strumento chiave per i problemi sulle proiezioni.
4. Secondo teorema di Euclide
Esercizio. L’altezza relativa all’ipotenusa divide questa in due proiezioni p_1=4 e p_2=9. Calcolare l’altezza.
Il secondo teorema di Euclide: l’altezza è media proporzionale tra le due proiezioni.
h=\sqrt{p_1\cdot p_2}=\sqrt{4\times9}=\sqrt{36}=6.
L’altezza al quadrato eguaglia il prodotto delle due proiezioni: h^2=p_1 p_2. Verifica: l’ipotenusa è 4+9=13.
5. Area con base e altezza, e formula di Erone
Esercizio. Un triangolo ha lati a=13, b=14, c=15. Calcolare l’area con la formula di Erone.
Passo 1 — semiperimetro: s=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{13+14+15}{2}=21.
Passo 2 — formula di Erone:
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{21\times8\times7\times6}=\sqrt{7056}=84.
Erone calcola l’area dai soli lati, senza conoscere l’altezza. Utile quando non si ha un angolo retto o un’altezza nota.
6. Disuguaglianza triangolare
Esercizio. Tre segmenti misurano 4, 6 e 11. Possono formare un triangolo?
La disuguaglianza triangolare richiede che ogni lato sia minore della somma degli altri due:
4+6=10<11.
La somma dei due lati minori (10) è minore del terzo (11): non formano un triangolo. La condizione va verificata sul lato maggiore: se a_{max}< somma degli altri, il triangolo esiste.
7. Classificazione da tre lati
Esercizio. Un triangolo ha lati 7, 9, 12. Stabilire se è acutangolo, rettangolo o ottusangolo.
Prima verifichiamo l’esistenza:
quindi il triangolo esiste. Confrontiamo il quadrato del lato maggiore con la somma dei quadrati degli altri due:
Poiché:
il triangolo è ottusangolo. Regola: se a_{max}^2 è uguale alla somma, il triangolo è rettangolo; se è minore, acutangolo; se è maggiore, ottusangolo.
8. Area da due lati e angolo compreso
Esercizio. Un triangolo ha lati a=10, b=8 e angolo compreso \gamma=30^\circ. Calcolare l’area.
La formula è:
Sostituendo:
Questa formula è indispensabile quando non si conosce l’altezza ma si conosce l’angolo compreso tra due lati. Se l’angolo non è compreso, va prima ricostruita la configurazione con trigonometria.
9. Baricentro e mediane
Esercizio. In un triangolo una mediana misura 18. A quale distanza dal vertice si trova il baricentro lungo quella mediana?
Il baricentro divide ogni mediana nel rapporto 2:1 a partire dal vertice:
e la distanza dal baricentro al punto medio del lato opposto è:
Il baricentro è il punto di equilibrio geometrico del triangolo: nelle applicazioni meccaniche coincide con il centroide di una lamina triangolare omogenea.
10. Altezza relativa all’ipotenusa
Esercizio. Un triangolo rettangolo ha cateti 6 e 8. Calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa.
Prima troviamo l’ipotenusa:
L’area può essere calcolata in due modi:
ma anche:
Quindi:
Questo metodo evita di dover calcolare subito le proiezioni sull’ipotenusa: usa solo uguaglianza delle aree.
Errori comuni
- Applicare Pitagora a triangoli non rettangoli. Vale solo con un angolo retto; altrimenti serve il teorema del coseno.
- Confondere i due teoremi di Euclide. Primo: cateto medio proporzionale tra ipotenusa e proiezione (c^2=i\,p); secondo: altezza media proporzionale tra le proiezioni (h^2=p_1 p_2).
- Sommare invece di sottrarre per il cateto. Nota l’ipotenusa, il cateto è \sqrt{i^2-c^2} (sottrazione), non somma.
- Dimenticare la disuguaglianza triangolare. Tre lunghezze qualsiasi non formano sempre un triangolo: il lato maggiore deve essere minore della somma degli altri.
- Classificare senza ordinare i lati. Il confronto sui quadrati va fatto usando come riferimento il lato maggiore.