Il test chi-quadro è una famiglia di test in cui la statistica ha, esattamente o asintoticamente, distribuzione \chi^2 sotto l’ipotesi nulla.
Nelle tabelle di contingenza e nei test di adattamento la forma tipica è:
Il test confronta conteggi osservati e conteggi attesi. È usato per bontà di adattamento, indipendenza, omogeneità e, nel caso normale, per inferenza sulla varianza.
Nel test di bontà di adattamento, O_i sono le frequenze osservate nelle categorie ed E_i quelle previste dal modello teorico. Nel test di indipendenza, invece, i conteggi attesi in una tabella di contingenza sono:
Sotto l’ipotesi nulla, la statistica assume approssimativamente una distribuzione chi-quadro con gradi di libertà che dipendono dal problema. Per una tabella r\times c:
I residui di Pearson mostrano quali categorie o celle contribuiscono di più alla statistica \chi^2, perché ogni termine della somma è il quadrato di un residuo locale.
L’approssimazione richiede frequenze attese non troppo piccole. Quando le frequenze sono basse, soprattutto in tabelle 2\times2, può essere più appropriato il test esatto di Fisher. Anche l’indipendenza delle osservazioni è un’ipotesi essenziale: conteggi duplicati, misure ripetute o campioni dipendenti invalidano il test elementare.
Il risultato del test indica se lo scostamento dai conteggi attesi è compatibile con la variabilità casuale, non misura da solo l’importanza pratica dell’effetto. Per questo si affiancano spesso dimensioni dell’effetto, analisi dei residui e interpretazione del contesto.
Un errore comune è applicare il test a percentuali invece che a conteggi. La statistica chi-quadro nasce su frequenze assolute; le percentuali possono essere usate per leggere il fenomeno, ma il calcolo richiede i conteggi e il totale campionario.
Vedi anche: residuo di Pearson, residuo standardizzato, tabella di contingenza, test esatto di Fisher.