Teoremi limite: legge dei grandi numeri e TLC, esercizi svolti

I teoremi limite spiegano perché la statistica funziona: la legge dei grandi numeri garantisce che la media campionaria converge alla media vera, e il teorema del limite centrale (TLC) dice che la somma di molte variabili indipendenti è approssimativamente normale, qualunque sia la loro distribuzione. Questa scheda applica questi risultati a problemi di approssimazione.

TLC: per $n$ grande, $\;\bar X\approx N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ .

1. Legge dei grandi numeri

Esercizio. Lanciando una moneta equa $n$ volte, verso cosa converge la frazione di teste al crescere di $n$ ?

La legge dei grandi numeri afferma che la media campionaria converge alla media vera:

$\bar X_n=\dfrac{\text{n.\ teste}}{n}\ \xrightarrow{n\to\infty}\ E[X]=p=0{,}5.$

Per $n$ grande la frequenza relativa si stabilizza su $0{,}5$ . È la giustificazione teorica dell’interpretazione frequentista della probabilità. Attenzione: non garantisce un “riequilibrio” su singole prove (nessuna memoria).

2. Distribuzione della media campionaria

Esercizio. Si mediano $n=36$ misure indipendenti da una popolazione con $\mu=20$ e $\sigma=6$ . Distribuzione approssimata di $\bar X$ ?

Per il TLC, indipendentemente dalla forma della popolazione:

$\bar X\approx N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)=N\!\left(20,\ \dfrac{36}{36}\right)=N(20,\ 1).$

La media campionaria ha media $20$ e deviazione standard $\sigma/\sqrt n=6/6=1$ . Mediare riduce la dispersione e “normalizza” la distribuzione.

3. Probabilità sulla media campionaria

Esercizio. Per la $\bar X$ del punto 2, calcolare $P(\bar X>21{,}5)$ .

Standardizzando con $\sigma_{\bar X}=1$ :

$Z=\dfrac{21{,}5-20}{1}=1{,}5\ \Rightarrow\ P(\bar X>21{,}5)=P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}933=0{,}067.$

Circa il $6{,}7\%$ dei campioni di 36 misure dà media oltre $21{,}5$ . Il TLC permette di calcolarlo anche senza conoscere la distribuzione di partenza.

4. Approssimazione normale della binomiale

Esercizio. Si lancia 100 volte una moneta equa. Probabilità di ottenere almeno 60 teste (approssimazione normale)?

Passo 1 — parametri. $X\sim B(100,\ 0{,}5)$ : $\mu=np=50$ , $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{25}=5$ .

Passo 2 — standardizzazione (senza correzione):

$Z=\dfrac{60-50}{5}=2{,}0\ \Rightarrow\ P(X\ge60)\approx P(Z\ge2)=1-0{,}977=0{,}023.$

Circa il $2{,}3\%$ . La binomiale con $n$ grande e $p$ non estremo è ben approssimata dalla normale.

5. Correzione di continuità

Esercizio. Rifare il punto 4 con la correzione di continuità e confrontare.

La binomiale è discreta, la normale continua: per $P(X\ge60)$ si parte da $59{,}5$ :

$Z=\dfrac{59{,}5-50}{5}=1{,}9\ \Rightarrow\ P(X\ge60)\approx P(Z\ge1{,}9)=1-0{,}971=0{,}029.$

Con la correzione si ottiene $0{,}029$ contro $0{,}023$ senza: la correzione di $\pm0{,}5$ avvicina al valore esatto, importante quando $n$ non è grandissimo.

6. Dimensione del campione per una precisione

Esercizio. Quante misure servono affinché la media campionaria disti da $\mu$ meno di $0{,}5$ con probabilità $0{,}95$ , sapendo $\sigma=4$ ?

Per il TLC, $P(|\bar X-\mu|<0{,}5)=0{,}95$ richiede $0{,}5=1{,}96\,\sigma/\sqrt n$ :

$\sqrt n=\dfrac{1{,}96\times4}{0{,}5}=15{,}68\ \Rightarrow\ n=15{,}68^2=246.$

Servono circa $246$ misure. Il fattore $1{,}96$ è il quantile della normale al $95\%$ bilaterale. (Confronto: Chebyshev ne chiedeva molte di più, perché non sfrutta la forma normale.)

7. Somma di variabili non normali

Esercizio. Si sommano $n=50$ tempi di servizio indipendenti, ciascuno esponenziale con media $2$ min (quindi $\sigma=2$ min). Probabilità che il tempo totale superi $110$ min?

Passo 1 — parametri della somma $\displaystyle S=\sum X_i$ :

$E[S]=n\mu=50\times2=100,\qquad \sigma_S=\sigma\sqrt n=2\sqrt{50}=14{,}14.$

Passo 2 — TLC (la somma è circa normale anche se i singoli tempi sono esponenziali):

$Z=\dfrac{110-100}{14{,}14}=0{,}707\ \Rightarrow\ P(S>110)\approx P(Z>0{,}71)=1-0{,}761=0{,}239.$

Circa il $24\%$ . Notevole: pur sommando esponenziali (molto asimmetriche), per $n=50$ la somma è già ben approssimata da una normale.

8. Distribuzione della proporzione campionaria

Esercizio. In un processo con proporzione vera di pezzi conformi $p=0{,}40$ , si osservano campioni di ampiezza $n=900$ . Approssimare

P(0{,}37\le \hat p\le 0{,}43).

La proporzione campionaria è una media di variabili Bernoulli. Per il TLC:

\hat p\approx N\!\left(p,\dfrac{p(1-p)}{n}\right).

Qui

E[\hat p]=0{,}40,\qquad \sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0{,}40\cdot0{,}60}{900}} =\sqrt{0{,}0002667}=0{,}0163.

Standardizziamo gli estremi:

z_1=\dfrac{0{,}37-0{,}40}{0{,}0163}=-1{,}84,\qquad z_2=\dfrac{0{,}43-0{,}40}{0{,}0163}=1{,}84.

Quindi

P(0{,}37\le \hat p\le0{,}43) \approx \Phi(1{,}84)-\Phi(-1{,}84) =2\Phi(1{,}84)-1 \approx 2(0{,}967)-1=0{,}934.

Circa il $93{,}4\%$ dei campioni produce una proporzione entro tre punti percentuali dal valore vero.

9. Quantile della media campionaria

Esercizio. Una popolazione ha media $\mu=100$ e deviazione standard $\sigma=15$ . Per campioni di ampiezza $n=64$ , trovare il valore $k$ tale che

P(\bar X\le k)\approx0{,}90.

Per il TLC:

\bar X\approx N\!\left(100,\dfrac{15^2}{64}\right), \qquad \sigma_{\bar X}=\dfrac{15}{8}=1{,}875.

Il quantile normale al $90\%$ è $z_{0{,}90}=1{,}282$ . Allora

\dfrac{k-100}{1{,}875}=1{,}282 \quad\Rightarrow\quad k=100+1{,}282\cdot1{,}875=102{,}40.

Quindi

P(\bar X\le102{,}40)\approx0{,}90.

Il TLC non serve solo a calcolare probabilità dirette: permette anche di progettare soglie e quantili operativi.

10. Quando la normale non è una buona approssimazione

Esercizio. Per $X\sim B(100,0{,}02)$ , valutare se l’approssimazione normale è adeguata.

I parametri della binomiale sono

np=100\cdot0{,}02=2,\qquad n(1-p)=100\cdot0{,}98=98.

La regola pratica per l’approssimazione normale richiede entrambi almeno circa $5$ o $10$ , a seconda della convenzione. Qui $np=2$ è troppo piccolo: la distribuzione è molto asimmetrica e concentrata vicino a $0$ .

In questo caso è più naturale usare l’approssimazione di Poisson con

\lambda=np=2.

Per esempio

P(X=0)\approx e^{-2}=0{,}135.

La lezione è operativa: il TLC è potente, ma non cancella le condizioni di scala. Per proporzioni rare o campioni moderati, la normale può produrre stime grossolane.

Errori comuni

Confondere $\sigma$ con $\sigma/\sqrt n$ . Il TLC riguarda la media campionaria, con deviazione $\sigma/\sqrt n$ : usare $\sigma$ della singola misura dà probabilità completamente errate.
Dimenticare la correzione di continuità. Approssimando una discreta con la normale, lo scarto di $\pm0{,}5$ migliora sensibilmente la stima per $n$ moderato.
Applicare il TLC a campioni troppo piccoli. L’approssimazione normale richiede $n$ sufficiente; per distribuzioni molto asimmetriche servono $n$ più grandi.
Interpretare male la LGN. Non c’è “legge del riequilibrio”: dopo molte teste, la moneta resta equa: la convergenza è della media, non delle singole prove.
Usare la normale per eventi rari senza controlli. Nelle binomiali con $p$ molto piccolo serve verificare $np$ ; spesso Poisson è più adatta.
Dimenticare che una proporzione è una media. $\hat p$ si tratta con il TLC come media di Bernoulli, con errore standard $\sqrt{p(1-p)/n}$ .