Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale stabilisce la connessione profonda tra le due branche principali dell’analisi: il calcolo differenziale e il calcolo integrale.
Parte I: Funzione Integrale
Se f(x) è continua in [a, b], allora la funzione integrale F(x) = \int_a^x f(t) \, dt è derivabile e la sua derivata coincide con la funzione integranda: F'(x) = f(x) Questo dimostra che ogni funzione continua ammette una primitiva.
Parte II: Formula di Leibniz-Newton
Fornisce lo strumento operativo per calcolare l’integrale definito: \int_a^b f(x) \, dx = G(b) - G(a) dove G(x) è una qualunque primitiva di f(x).
Significato
Il teorema trasforma il problema geometrico del calcolo di un’area (difficile) in un problema algebrico di ricerca di una primitiva (più semplice).