Teorema Fondamentale del Calcolo

Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale stabilisce la connessione profonda tra le due branche principali dell’analisi: il calcolo differenziale e il calcolo integrale.

Parte I: Funzione Integrale

Se $f(x)$ è continua in $[a, b]$, allora la funzione integrale $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ è derivabile e la sua derivata coincide con la funzione integranda: $F'(x) = f(x)$ Questo dimostra che ogni funzione continua ammette una primitiva.

Parte II: Formula di Leibniz-Newton

Fornisce lo strumento operativo per calcolare l’integrale definito: $\int_a^b f(x) \, dx = G(b) - G(a)$ dove $G(x)$ è una qualunque primitiva di $f(x)$.

Significato

Il teorema trasforma il problema geometrico del calcolo di un’area (difficile) in un problema algebrico di ricerca di una primitiva (più semplice).