Teorema di Green

Il teorema di Green mette in relazione l’integrale di linea di un campo vettoriale lungo una curva chiusa semplice nel piano con l’integrale doppio delle sue derivate parziali sulla regione racchiusa dalla curva stessa.

Enunciato

Sia $D$ una regione regolare del piano e $\partial D$ il suo bordo orientato positivamente. Se $\mathbf{F} = (P, Q)$ è un campo vettoriale con derivate parziali continue, allora: $\oint_{\partial D} (P dx + Q dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy$

Calcolo delle Aree

Una conseguenza notevole del teorema è la possibilità di calcolare l’area $A$ di una regione $D$ integrando lungo il suo bordo: $A = \iint_D 1 \, dA = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (x dy - y dx)$

Significato Ingegneristico

• Planimetria: Gli strumenti chiamati planimetri calcolano l’area di una figura irregolare semplicemente seguendo il suo perimetro, basandosi esattamente sulla formula di Green.
• Fluidodinamica: Permette di trasformare lo studio del flusso attraverso una sezione piana nello studio della circuitazione lungo il suo bordo, semplificando il calcolo della portanza.
• Meccanica: Calcolo delle proprietà geometriche di sezioni trasversali (baricentri, momenti d’inerzia) tramite integrali di bordo.