Teorema di Fermat

Il teorema di Fermat (sui punti stazionari) stabilisce una condizione necessaria per identificare i possibili candidati a massimi o minimi locali di una funzione derivabile.

Enunciato

Sia $f(x)$ una funzione definita in un intorno di $x_0$. Se $x_0$ è un punto di massimo o minimo locale per $f$ e se la funzione è derivabile in $x_0$, allora la derivata prima si annulla in quel punto: $f'(x_0) = 0$

Punti Stazionari

I punti in cui $f'(x) = 0$ sono detti punti stazionari. Il teorema di Fermat afferma che ogni estremo locale è un punto stazionario (se derivabile), ma non è vero il viceversa: un punto stazionario può essere un flesso a tangente orizzontale anziché un massimo o un minimo.

Casi di Esclusione

Il teorema non si applica se:

• Il punto si trova agli estremi del dominio.
• La funzione non è derivabile nel punto (es. $|x|$ in $x=0$, che è un minimo ma la derivata non esiste).

Significato Ingegneristico

È il fondamento di tutti i problemi di ottimizzazione.

• Progetto strutturale: Trovare le dimensioni che minimizzano il peso o massimizzano la rigidezza.
• Elettronica: Ottimizzazione del punto di lavoro di un transistor per massimizzare il guadagno.
• Logistica: Minimizzazione dei costi di trasporto o dei tempi di percorrenza. Il calcolo delle derivate e la ricerca degli zeri ($f'=0$) è il primo passo operativo in ogni software di ottimizzazione.