Il teorema di Fermat (sui punti stazionari) stabilisce una condizione necessaria per identificare i possibili candidati a massimi o minimi locali di una funzione derivabile.
Enunciato
Sia f(x) una funzione definita in un intorno di x_0. Se x_0 è un punto di massimo o minimo locale per f e se la funzione è derivabile in x_0, allora la derivata prima si annulla in quel punto: f'(x_0) = 0
Punti Stazionari
I punti in cui f'(x) = 0 sono detti punti stazionari. Il teorema di Fermat afferma che ogni estremo locale è un punto stazionario (se derivabile), ma non è vero il viceversa: un punto stazionario può essere un flesso a tangente orizzontale anziché un massimo o un minimo.
Casi di Esclusione
Il teorema non si applica se:
- Il punto si trova agli estremi del dominio.
- La funzione non è derivabile nel punto (es. |x| in x=0, che è un minimo ma la derivata non esiste).
Significato Ingegneristico
È il fondamento di tutti i problemi di ottimizzazione.
- Progetto strutturale: Trovare le dimensioni che minimizzano il peso o massimizzano la rigidezza.
- Elettronica: Ottimizzazione del punto di lavoro di un transistor per massimizzare il guadagno.
- Logistica: Minimizzazione dei costi di trasporto o dei tempi di percorrenza. Il calcolo delle derivate e la ricerca degli zeri (f'=0) è il primo passo operativo in ogni software di ottimizzazione.