Teorema di Cauchy

Il teorema di Cauchy (o teorema del valor medio generalizzato) mette in relazione le variazioni di due diverse funzioni in un medesimo intervallo.

Enunciato

Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni tali che:

1. Siano continue in $[a, b]$.
2. Siano derivabili in $(a, b)$.
3. $g'(x) \neq 0$ per ogni $x \in (a, b)$.

Allora esiste almeno un punto $c \in (a, b)$ tale che: $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

Relazione con Lagrange

Se poniamo $g(x) = x$, il teorema di Cauchy si riduce esattamente al teorema di Lagrange.

Significato Ingegneristico

L’applicazione più nota del teorema di Cauchy è la dimostrazione rigorosa della regola di De l’Hôpital, utilizzata per risolvere forme indeterminate del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$ nel calcolo dei limiti. In ingegneria, questo è essenziale per lo studio del comportamento asintotico di sistemi dinamici e per l’analisi di stabilità.