Il teorema di Casorati-Weierstrass descrive il comportamento caotico di una funzione olomorfa in prossimità di una singolarità essenziale isolata.
Enunciato
Sia f olomorfa in \Omega \setminus \{z_0\} con z_0 singolarità essenziale isolata. Allora per ogni \varepsilon > 0: f\!\left(\{z : 0 < |z - z_0| < \varepsilon\}\right) è densa in \mathbb{C}: l’immagine di ogni intorno bucato di z_0 è densa nell’intero piano complesso.
Classificazione delle Singolarità Isolate
Una singolarità isolata z_0 di f si classifica in base al comportamento di f(z) per z \to z_0:
| Tipo | Comportamento | Esempio |
|---|---|---|
| Eliminabile | \lim_{z\to z_0} f(z) \in \mathbb{C} | \frac{\sin z}{z} in z=0 |
| Polo di ordine m | \lvert f(z)\rvert \to \infty come \lvert z-z_0\rvert^{-m} | \frac{1}{z^m} in z=0 |
| Essenziale | limite non esiste (né finito né \infty) | e^{1/z} in z=0 |
Serie di Laurent e Singolarità
Nella serie di Laurent f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n:
- Singolarità eliminabile: c_n = 0 per n < 0
- Polo di ordine m: c_{-m} \neq 0 e c_n = 0 per n < -m
- Singolarità essenziale: infiniti coefficienti c_n \neq 0 con n < 0
Teorema di Picard (versione forte)
Il risultato di Casorati-Weierstrass viene rafforzato dal teorema di Picard: in un intorno di una singolarità essenziale, f assume ogni valore complesso con al più una eccezione, e questo con molteplicità infinita.