Teorema di Casorati-Weierstrass

Il teorema di Casorati-Weierstrass descrive il comportamento caotico di una funzione olomorfa in prossimità di una singolarità essenziale isolata.

Enunciato

Sia $f$ olomorfa in $\Omega \setminus \{z_0\}$ con $z_0$ singolarità essenziale isolata. Allora per ogni $\varepsilon > 0$: $f\!\left(\{z : 0 < |z - z_0| < \varepsilon\}\right)$ è densa in $\mathbb{C}$: l’immagine di ogni intorno bucato di $z_0$ è densa nell’intero piano complesso.

Classificazione delle Singolarità Isolate

Una singolarità isolata $z_0$ di $f$ si classifica in base al comportamento di $f(z)$ per $z \to z_0$:

Tipo	Comportamento	Esempio
Eliminabile	$\lim_{z\to z_0} f(z) \in \mathbb{C}$	$\frac{\sin z}{z}$ in $z=0$
Polo di ordine $m$	$	f (z)
Essenziale	limite non esiste (né finito né $\infty$)	$e^{1/z}$ in $z=0$

Serie di Laurent e Singolarità

Nella serie di Laurent $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n$:

• Singolarità eliminabile: $c_n = 0$ per $n < 0$
• Polo di ordine $m$: $c_{-m} \neq 0$ e $c_n = 0$ per $n < -m$
• Singolarità essenziale: infiniti coefficienti $c_n \neq 0$ con $n < 0$

Teorema di Picard (versione forte)

Il risultato di Casorati-Weierstrass viene rafforzato dal teorema di Picard: in un intorno di una singolarità essenziale, $f$ assume ogni valore complesso con al più una eccezione, e questo con molteplicità infinita.