Teorema dei Carabinieri

Il Teorema dei Carabinieri (o Teorema del Confronto) è uno strumento fondamentale per determinare il valore di un limite incognito “costringendolo” tra due funzioni i cui limiti sono noti e coincidenti.

Enunciato

Siano $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ tre funzioni definite in un intorno di $x_0$. Se:

1. $h(x) \le f(x) \le g(x)$ per ogni $x$ nell’intorno (escluso al più $x_0$);
2. $\lim_{x \to x_0} h(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = L$;

Allora il limite della funzione “compressa” esiste ed è lo stesso: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

Applicazione Classica

Il teorema è celebre per la dimostrazione del limite notevole trigonometrico: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ In questo caso, la funzione $\frac{\sin x}{x}$ viene schiacciata tra $\cos x$ e $1$ in un intorno dello zero.