Il Teorema dei Carabinieri (o Teorema del Confronto) è uno strumento fondamentale per determinare il valore di un limite incognito “costringendolo” tra due funzioni i cui limiti sono noti e coincidenti.
Enunciato
Siano f(x), g(x) e h(x) tre funzioni definite in un intorno di x_0. Se:
- h(x) \le f(x) \le g(x) per ogni x nell’intorno (escluso al più x_0);
- \lim_{x \to x_0} h(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = L;
Allora il limite della funzione “compressa” esiste ed è lo stesso: \lim_{x \to x_0} f(x) = L
Applicazione Classica
Il teorema è celebre per la dimostrazione del limite notevole trigonometrico: \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 In questo caso, la funzione \frac{\sin x}{x} viene schiacciata tra \cos x e 1 in un intorno dello zero.