La formula di Taylor in più variabili approssima una funzione f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} di classe C^k con un polinomio in un intorno di un punto \mathbf{x}_0.
Formula al Secondo Ordine
Per f di classe C^2 in un intorno di \mathbf{x}_0: f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)^T \mathbf{h} + \frac{1}{2} \mathbf{h}^T H_f(\mathbf{x}_0)\, \mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|^2)
dove \nabla f è il gradiente e H_f è la matrice Hessiana.
Formula Generale con Multiindici
Usando la notazione dei multiindici \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) con |\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n: f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \leq k} \frac{\partial^\alpha f(\mathbf{x}_0)}{\alpha!}\, \mathbf{h}^\alpha + o(\|\mathbf{h}\|^k)
Applicazione alla Classificazione dei Punti Critici
In un punto stazionario \mathbf{x}_0 (con \nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}), il comportamento locale è determinato dalla forma quadratica \mathbf{h}^T H_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{h}:
| Hessiana | Tipo di punto |
|---|---|
| Definita positiva | Minimo locale |
| Definita negativa | Massimo locale |
| Indefinita | Punto di sella |
| Semidefinita | Test inconcludente |
Linearizzazione
Il termine al primo ordine f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)^T \mathbf{h} è l’approssimazione lineare (piano tangente al grafico di f), usata in controllo automatico per linearizzare sistemi non lineari.