Formula di Taylor in Più Variabili

Voci di Glossario Analisi Matematica
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    La formula di Taylor in più variabili approssima una funzione f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} di classe CkC^k con un polinomio in un intorno di un punto x0\mathbf{x}_0.

    Formula al Secondo Ordine

    Per ff di classe C2C^2 in un intorno di x0\mathbf{x}_0: f(x0+h)=f(x0)+∇f(x0)Th+12hTHf(x0) h+o(∥h∥2)f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)^T \mathbf{h} + \frac{1}{2} \mathbf{h}^T H_f(\mathbf{x}_0)\, \mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|^2)

    dove ∇f\nabla f è il gradiente e HfH_f è la matrice Hessiana.

    Formula Generale con Multiindici

    Usando la notazione dei multiindici α=(α1,…,αn)\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) con ∣α∣=α1+⋯+αn|\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n: f(x0+h)=∑∣α∣≤k∂αf(x0)α! hα+o(∥h∥k)f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \leq k} \frac{\partial^\alpha f(\mathbf{x}_0)}{\alpha!}\, \mathbf{h}^\alpha + o(\|\mathbf{h}\|^k)

    Applicazione alla Classificazione dei Punti Critici

    In un punto stazionario x0\mathbf{x}_0 (con ∇f(x0)=0\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}), il comportamento locale è determinato dalla forma quadratica hTHf(x0)h\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{h}:

    HessianaTipo di punto
    Definita positivaMinimo locale
    Definita negativaMassimo locale
    IndefinitaPunto di sella
    SemidefinitaTest inconcludente

    Linearizzazione

    Il termine al primo ordine f(x0)+∇f(x0)Thf(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)^T \mathbf{h} è l’approssimazione lineare (piano tangente al grafico di ff), usata in controllo automatico per linearizzare sistemi non lineari.

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