Superficie Parametrica

Una superficie parametrica è l’insieme dei punti dello spazio descritti da una funzione vettoriale $\mathbf{r}(u, v)$ definita su un dominio piano $D$.

Definizione

La funzione mappa ogni coppia di parametri $(u, v) \in D$ in un punto dello spazio $(x, y, z)$: $\mathbf{r}(u, v) = \begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{cases}$ Per essere considerata regolare, i vettori derivata parziale $\mathbf{r}_u$ e $\mathbf{r}_v$ devono essere linearmente indipendenti in ogni punto (ovvero il loro prodotto vettoriale non deve annullarsi).

Area di una Superficie

L’area di una superficie parametrica si calcola integrando il modulo del prodotto vettoriale delle derivate parziali: $A(S) = \iint_D \|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\| \, du \, dv$

Significato Ingegneristico

• Modellazione CAD: Rappresentazione di carrozzerie automobilistiche, fusoliere d’aereo e componenti complessi tramite superfici di Bézier o NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines).
• Computer Graphics: Creazione di modelli 3D tramite “patch” parametriche per il rendering in tempo reale.
• Analisi Strutturale (Guscio): Modellazione di serbatoi, cupole e membrane dove lo spessore è trascurabile rispetto alle dimensioni superficiali.
• Fluidodinamica: Definizione dei contorni solidi (pelli) sopra i quali calcolare le distribuzioni di pressione e gli sforzi di taglio.