Successioni Ricorsive

Una successione ricorsiva (o definita per ricorrenza) è una successione $a_n$ in cui il termine $(n+1)$-esimo è espresso in funzione del termine $n$-esimo (o dei precedenti): $a_{n+1} = f(a_n)$.

Studio della Convergenza

Per determinare il limite $L$ di una successione ricorsiva, si seguono solitamente due passi:

1. Ricerca dei candidati: Se il limite esiste ed è finito, esso deve soddisfare l’equazione del punto fisso: $L = f(L)$.
2. Verifica dell’esistenza: Si dimostra che la successione è monotona e limitata, oppure si utilizza il teorema delle contrazioni.

Significato Ingegneristico

• Algoritmi Numerici: Molti metodi di risoluzione (es. il metodo di Newton-Raphson per trovare gli zeri di una funzione) sono definiti da successioni ricorsive.
• Sistemi Discreti: In ingegneria dell’automazione, i sistemi a tempo discreto sono modellati tramite equazioni alle differenze, che non sono altro che definizioni ricorsive dello stato del sistema.
• Informatica: La ricorsione è un paradigma fondamentale della programmazione. Molte strutture dati (alberi, grafi) e algoritmi (ordinamento, ricerca) sono analizzati tramite relazioni di ricorrenza.
• Dinamica di Popolazioni: Modelli come la crescita logistica o la serie di Fibonacci descrivono l’evoluzione di sistemi biologici o economici nel tempo.