Le funzioni con valore assoluto si studiano con una mossa preliminare obbligata: riscrivere la funzione per casi, eliminando il modulo. Ricordando la definizione
|A|=\begin{cases} A & \text{se }A\geq 0\\ -A & \text{se }A<0,\end{cases}
si individuano i valori di x in cui l’argomento del modulo cambia segno e si spezza il dominio in intervalli, su ciascuno dei quali la funzione diventa un’espressione ordinaria (senza modulo) da studiare con i metodi soliti.
Il contributo nuovo di questa famiglia è ai punti di raccordo, dove l’argomento del modulo si annulla. Lì la funzione è continua, ma la derivata può comportarsi in tre modi diversi, che si distinguono calcolando le derivate laterali (il limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra):
- derivate laterali finite e diverse → punto angoloso (il grafico forma uno spigolo);
- derivate laterali finite e uguali → la funzione è derivabile lì (il modulo non lascia traccia);
- in alcuni casi il modulo crea addirittura una discontinuità di salto.
I quattro esercizi seguono lo schema generale, graduando proprio questo aspetto: modulo di una parabola (due punti angolosi), x|x| (raccordo liscio con flesso), modulo in una somma (uno spigolo e un asintoto) e infine un modulo fratto con asintoti verticali.
Esercizio 1 — Modulo di una parabola
Studiare la funzione
f(x)=|x^2-4|.
1. Dominio, simmetrie e riscrittura per casi
D=\mathbb{R}. L’argomento dipende da x^2, quindi f(-x)=|x^2-4|=f(x): funzione pari.
Eliminiamo il modulo studiando il segno dell’argomento x^2-4=(x-2)(x+2), positivo per |x|>2 e negativo per |x|<2:
f(x)=\begin{cases} x^2-4 & \text{se } x\leq -2 \text{ o } x\geq 2,\\ 4-x^2 & \text{se } -2<x<2.\end{cases}
Geometricamente: dove la parabola x^2-4 starebbe sotto l’asse x (tra -2 e 2), il modulo la ribalta verso l’alto.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=|{-4}|=4, punto (0,4). Asse x: |x^2-4|=0 in x=\pm2. Essendo un valore assoluto, f(x)\geq 0 sempre: la funzione non è mai negativa.
3. Limiti e asintoti
Per x\to\pm\infty vale il ramo x^2-4\to+\infty. Nessun asintoto.
4. Derivata prima e punti angolosi
Deriviamo ciascun ramo:
f'(x)=\begin{cases} 2x & \text{se } |x|>2,\\ -2x & \text{se } |x|<2.\end{cases}
Studiamo il segno e il comportamento:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-2) | 2x<0 | decrescente |
| (-2,0) | -2x>0 | crescente |
| (0,2) | -2x<0 | decrescente |
| (2,+\infty) | 2x>0 | crescente |
In x=0 la derivata passa da + a -: massimo relativo (0,4), raccordo liscio (i due rami provengono dalla stessa parabola 4-x^2, derivabile).
Nei punti di raccordo x=\pm2 calcoliamo le derivate laterali. In x=2:
f'_-(2)=-2\cdot 2=-4\quad(\text{dal ramo } 4-x^2),\qquad f'_+(2)=2\cdot 2=+4\quad(\text{dal ramo } x^2-4).
Sono finite e diverse (-4\neq+4): x=2 è un punto angoloso. La derivata passa da - a +, quindi è anche un minimo (assoluto, f=0). Per simmetria, x=-2 è identico: punto angoloso e minimo (-2,0).
5. Derivata seconda
f''(x)=\begin{cases} 2 & \text{se } |x|>2,\\ -2 & \text{se } |x|<2.\end{cases}
La concavità è verso il basso nella «gobba» centrale (|x|<2) e verso l’alto nei due rami esterni. Non ci sono flessi in senso proprio: la concavità cambia solo attraversando i punti angolosi \pm2, dove la funzione non è derivabile.
6. Grafico
Esercizio 2 — La funzione x·|x|
Studiare la funzione
f(x)=x\,|x|.
Qui il modulo, sorprendentemente, non crea spigoli: il raccordo è liscio. Lo verifichiamo con le derivate laterali.
1. Dominio, simmetrie e riscrittura per casi
D=\mathbb{R}. f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x): funzione dispari.
Eliminiamo il modulo:
f(x)=\begin{cases} x\cdot x=x^2 & \text{se } x\geq 0,\\ x\cdot(-x)=-x^2 & \text{se } x<0.\end{cases}
A destra dell’origine è una parabola x^2, a sinistra la parabola ribaltata -x^2.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0. Asse x: solo x=0. Segno: |x|\geq 0, quindi il segno di f è quello di x — negativa per x<0, positiva per x>0.
3. Limiti e asintoti
Per x\to+\infty, x^2\to+\infty; per x\to-\infty, -x^2\to-\infty. Nessun asintoto.
4. Derivata prima e raccordo
Deriviamo i due rami:
f'(x)=\begin{cases} 2x & \text{se } x>0,\\ -2x & \text{se } x<0.\end{cases}
Nel punto di raccordo x=0 le derivate laterali sono
f'_-(0)=-2\cdot 0=0,\qquad f'_+(0)=2\cdot 0=0.
Sono finite e uguali (entrambe 0): la funzione è derivabile in x=0, con f'(0)=0. Il modulo non lascia spigolo. In sintesi f'(x)=2|x|\geq 0: la derivata è sempre \geq 0 e si annulla solo in x=0 senza cambiare segno, quindi la funzione è sempre crescente e in x=0 ha tangente orizzontale ma non un estremo.
5. Derivata seconda
f''(x)=\begin{cases} 2 & \text{se } x>0,\\ -2 & \text{se } x<0.\end{cases}
La concavità è verso il basso per x<0 e verso l’alto per x>0: in x=0 cambia segno. Poiché lì la tangente è orizzontale e la concavità si inverte, (0,0) è un flesso a tangente orizzontale. (La f'' non esiste esattamente in 0, ma il cambio di concavità con tangente orizzontale identifica il flesso.)
6. Grafico
Esercizio 3 — Modulo in una somma
Studiare la funzione
f(x)=x+|x-2|.
L’argomento del modulo si annulla in un punto diverso dall’origine; un ramo risulta costante e genera un asintoto orizzontale.
1. Dominio e riscrittura per casi
D=\mathbb{R}. L’argomento x-2 è \geq 0 per x\geq 2. Quindi
f(x)=\begin{cases} x+(x-2)=2x-2 & \text{se } x\geq 2,\\ x-(x-2)=2 & \text{se } x<2.\end{cases}
A sinistra di 2 la funzione è costante (=2); a destra è la retta 2x-2. (Nessuna simmetria: dominio e forma non lo consentono.)
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=2. Asse x: il ramo costante vale 2\neq 0; il ramo 2x-2 si annulla in x=1, che però appartiene all’altro ramo (1<2): nessuno zero. La funzione è sempre positiva (f\geq 2).
3. Limiti e asintoti
Per x\to-\infty vale il ramo costante: f\to 2. La retta y=2 è asintoto orizzontale a -\infty (anzi, la funzione coincide con y=2 su tutto (-\infty,2)). Per x\to+\infty, 2x-2\to+\infty: nessun asintoto a destra.
4. Derivata prima e punto angoloso
f'(x)=\begin{cases} 0 & \text{se } x<2,\\ 2 & \text{se } x>2.\end{cases}
Nel raccordo x=2:
f'_-(2)=0,\qquad f'_+(2)=2.
Derivate laterali finite e diverse: punto angoloso in (2,2). La funzione non decresce mai (a sinistra è costante, a destra cresce), quindi (2,2) è un minimo assoluto — raggiunto, in realtà, su tutto l’intervallo (-\infty,2], dove f vale costantemente 2.
5. Derivata seconda
Su entrambi i rami f è lineare (o costante), quindi f''(x)=0 ovunque tranne nel punto angoloso. Nessun flesso: il grafico è una spezzata, fatta di due segmenti rettilinei.
6. Grafico
Esercizio 4 — Modulo fratto con asintoti verticali
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{|x|}{x^2-1}.
Caso culminante: il modulo a numeratore e un denominatore che si annulla producono insieme un punto angoloso e due asintoti verticali.
1. Dominio, simmetrie e riscrittura
Denominatore non nullo: x^2-1\neq 0, cioè x\neq\pm1. Quindi D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}. La funzione è pari: f(-x)=\dfrac{|-x|}{(-x)^2-1}=\dfrac{|x|}{x^2-1}=f(x).
Eliminiamo il modulo:
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{x^2-1} & \text{se } x\geq 0\ (x\neq 1),\\[2mm] \dfrac{-x}{x^2-1} & \text{se } x<0\ (x\neq -1).\end{cases}
Per la simmetria pari studiamo il ramo x\geq 0 e ribaltiamo.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{0}{-1}=0, l’origine. Asse x: solo x=0.
Segno: il numeratore |x|\geq 0; il segno dipende dal denominatore x^2-1 (positivo per |x|>1, negativo per |x|<1):
| Zona | f(x) |
|---|---|
| \lvert x\rvert>1 | + |
| 0<\lvert x\rvert<1 | - |
| x=0 | 0 |
3. Limiti e asintoti
All’infinito: \dfrac{|x|}{x^2-1}\sim\dfrac{|x|}{x^2}=\dfrac{1}{|x|}\to 0. La retta y=0 è asintoto orizzontale bilatero.
Nei bordi x=\pm1. Sul ramo destro, vicino a x=1 il numeratore tende a 1>0:
\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x}{x^2-1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 1^-}\dfrac{x}{x^2-1}=-\infty.
La retta x=1 è asintoto verticale; per simmetria pari, anche x=-1 (con i segni speculari). Due asintoti verticali.
4. Derivata prima e punto angoloso
Sul ramo x>0 (x\neq1) deriviamo \dfrac{x}{x^2-1} con la regola del quoziente:
f'(x)=\dfrac{(x^2-1)-x\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}<0.
Sul ramo destro la funzione è quindi sempre decrescente (sia in (0,1) sia in (1,+\infty)). Per simmetria pari, sul ramo sinistro è sempre crescente.
Nel raccordo x=0 calcoliamo le derivate laterali. Da destra, la formula sopra dà f'_+(0)=-\dfrac{0+1}{(0-1)^2}=-1. Da sinistra, derivando il ramo \dfrac{-x}{x^2-1} si ottiene il valore opposto, f'_-(0)=+1. Derivate laterali finite e diverse (+1 e -1): punto angoloso nell’origine. La derivata passa da + a -, quindi (0,0) è un massimo relativo (uno spigolo verso l’alto).
5. Derivata seconda
Sul ramo x>0 deriviamo f'(x)=-(x^2+1)(x^2-1)^{-2}:
f''(x)=-\Big[2x(x^2-1)^{-2}+(x^2+1)(-2)(x^2-1)^{-3}\cdot 2x\Big]=\dfrac{2x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.
Per x>0 i fattori 2x e x^2+3 sono positivi, quindi il segno è quello di (x^2-1)^3:
| Intervallo (ramo destro) | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (0,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Nessun flesso (il numeratore non si annulla per x>0): la concavità cambia solo attraversando l’asintoto x=1. Il ramo sinistro è speculare per simmetria.
6. Grafico
Sintesi: il metodo per i moduli
Per ogni funzione con valore assoluto la procedura è sempre la stessa:
- Trova i punti critici del modulo: i valori di x in cui ogni argomento |A(x)| si annulla. Sono i possibili punti di raccordo.
- Riscrivi per casi, sostituendo |A|=A dove A\geq 0 e |A|=-A dove A<0. La funzione diventa un’espressione ordinaria su ciascun intervallo.
- Studia ogni ramo con i metodi standard (dominio già noto, segno, limiti, derivate).
- Analizza i raccordi con le derivate laterali f'_- e f'_+:
- finite e diverse → punto angoloso;
- finite e uguali → derivabile (raccordo liscio);
- se anche i valori laterali f(x_0^-) e f(x_0^+) differiscono → discontinuità di salto.
L’errore tipico è derivare «attraverso» il modulo come se fosse una funzione liscia: i punti di raccordo vanno sempre esaminati a parte con le derivate laterali, perché è lì che il valore assoluto manifesta i suoi spigoli.