Trasformazioni di grafico — ingegnerismo.it

Spesso non serve studiare da zero una funzione: se è ottenuta da una funzione già nota $f(x)$ tramite operazioni semplici, il suo grafico si ricava da quello di $f$ con una trasformazione geometrica. Riconoscerle fa risparmiare tempo e rende lo studio di funzione molto più rapido. Le regole fondamentali:

Operazione	Effetto sul grafico di $f$
$f(x)+k$	traslazione verticale di $k$ (su se $k>0$ )
$f(x-k)$	traslazione orizzontale di $k$ (a destra se $k>0$ )
$-f(x)$	riflessione rispetto all’asse $x$
$f(-x)$	riflessione rispetto all’asse $y$
$\lvert f(x)\rvert$	le parti sotto l’asse $x$ vengono ribaltate sopra
$f(\lvert x\rvert)$	si tiene il ramo $x\geq 0$ e lo si specchia a sinistra
$\dfrac{1}{f(x)}$	zeri $\to$ asintoti verticali; estremi si invertono

I quattro esercizi applicano queste regole a partire da funzioni note, seguendo la logica dello schema generale ma sfruttando le scorciatoie geometriche.

Esercizio 1 — Traslazioni e riflessioni

Partendo dalla parabola nota $g(x)=x^2-2x$ , tracciare i grafici di $g(x)+1$ , $g(x-1)$ , $-g(x)$ e $g(-x)$ .

1. La funzione di partenza

$g(x)=x^2-2x=x(x-2)$ : parabola con concavità verso l’alto, zeri in $x=0$ e $x=2$ , vertice (minimo) in $V(1,-1)$ . Scegliamo questa base perché è asimmetrica rispetto all’asse $y$ , così le quattro trasformazioni risultano tutte distinte.

2. Traslazione verticale: g(x) + 1

$g(x)+1=x^2-2x+1=(x-1)^2.$

Tutto il grafico sale di $1$ : il vertice passa da $(1,-1)$ a $(1,0)$ , e la parabola diventa tangente all’asse $x$ . Gli zeri si fondono nello zero doppio $x=1$ .

3. Traslazione orizzontale: g(x − 1)

$g(x-1)=(x-1)^2-2(x-1)=x^2-4x+3.$

Tutto il grafico si sposta a destra di $1$ : il vertice passa da $(1,-1)$ a $(2,-1)$ , gli zeri da $\{0,2\}$ a $\{1,3\}$ . (Attenzione: $f(x-1)$ trasla a destra, non a sinistra — è l’errore di segno più comune.)

4. Riflessione rispetto all’asse x: −g(x)

$-g(x)=-x^2+2x.$

Il grafico si ribalta rispetto all’asse $x$ : la concavità diventa verso il basso, il vertice $(1,-1)$ — che era un minimo — diventa il massimo $(1,1)$ . Gli zeri restano $\{0,2\}$ (i punti sull’asse $x$ non si muovono nella riflessione rispetto all’asse $x$ ).

5. Riflessione rispetto all’asse y: g(−x)

$g(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x.$

Il grafico si ribalta rispetto all’asse $y$ : il vertice $(1,-1)$ va in $(-1,-1)$ , gli zeri da $\{0,2\}$ a $\{0,-2\}$ . Lo zero in $x=0$ resta fisso (sull’asse di riflessione).

6. Grafico (esempio: g(x) + 1)

Traslazione verticale: g(x) + 1 = (x − 1)² (linea piena) è la base g(x) = x² − 2x (tratteggiata) alzata di 1. Il vertice sale da (1, −1) a (1, 0); la parabola diventa tangente all'asse x.

Esercizio 2 — Valore assoluto: |f(x)| contro f(|x|)

Sempre da $g(x)=x^2-2x$ , tracciare $|g(x)|$ e $g(|x|)$ , mettendo in evidenza la differenza tra le due operazioni.

1. Modulo della funzione: |g(x)|

L’operazione $|g(x)|$ agisce sui valori della funzione: dove $g(x)\geq 0$ il grafico resta invariato, dove $g(x)<0$ viene ribaltato verso l’alto. La parabola $g(x)=x^2-2x$ è negativa tra i suoi zeri, in $(0,2)$ : quella «pancia» sotto l’asse $x$ si ribalta sopra.

$|g(x)|=\begin{cases} x^2-2x & \text{se } x\leq 0 \text{ o } x\geq 2,\\ -(x^2-2x)=2x-x^2 & \text{se } 0<x<2.\end{cases}$

Nei punti dove $g$ si annulla ( $x=0$ e $x=2$ ) il grafico ribaltato forma due punti angolosi: la funzione resta continua ma non derivabile lì. Il vecchio minimo $(1,-1)$ diventa un massimo locale $(1,1)$ della parte ribaltata.

2. Modulo dell’argomento: g(|x|)

L’operazione $g(|x|)$ agisce invece sull’argomento: poiché $|x|=x$ per $x\geq 0$ , sul semiasse destro il grafico coincide con $g$ ; sul semiasse sinistro, essendo $|x|=-x$ , si ha $g(|x|)=g(-x)$ , cioè il ramo destro specchiato rispetto all’asse $y$ . Il risultato è sempre una funzione pari.

$g(|x|)=\begin{cases} x^2-2x & \text{se } x\geq 0,\\ x^2+2x & \text{se } x<0.\end{cases}$

Il ramo destro ha minimo in $(1,-1)$ ; specchiandolo, compare un secondo minimo in $(-1,-1)$ . (Anche qui un punto angoloso, ma stavolta in $x=0$ .)

3. La differenza in una frase

$|g(x)|$ ribalta verso l’alto ciò che sta sotto l’asse $x$ ; $g(|x|)$ butta via il ramo sinistro e lo sostituisce con lo specchio del destro. Sono trasformazioni completamente diverse, da non confondere.

4. Grafico (esempio: |g(x)|)

Modulo della funzione: |x² − 2x| (linea piena) coincide con la base (tratteggiata) dove questa è ≥ 0, e la ribalta verso l'alto dove è < 0 (tra 0 e 2). Due punti angolosi negli zeri (0, 0) e (2, 0).

Esercizio 3 — Il reciproco 1/f(x)

Partendo da $g(x)=x^2-1$ , tracciare il grafico di $\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{x^2-1}$ ragionando per trasformazione.

1. Le regole del reciproco

Passando da $g$ a $\dfrac{1}{g}$ , valgono alcune corrispondenze sistematiche:

dove $g(x)=0$ (zeri di $g$ ), il reciproco esplode: nascono asintoti verticali;
dove $|g(x)|\to\infty$ , il reciproco $\to 0$ : nasce un asintoto orizzontale $y=0$ ;
il segno si conserva ( $g>0\Rightarrow\dfrac{1}{g}>0$ );
gli estremi si invertono: un minimo positivo di $g$ diventa un massimo di $\dfrac{1}{g}$ , e viceversa.

2. Applicazione a g(x) = x² − 1

La base $g(x)=x^2-1$ è una parabola con zeri in $x=\pm1$ e minimo in $(0,-1)$ .

Zeri di $g$ in $\pm1$ $\Rightarrow$ il reciproco ha asintoti verticali $x=\pm1$ .
$g\to+\infty$ per $x\to\pm\infty$ $\Rightarrow$ $\dfrac{1}{g}\to 0^+$ : asintoto orizzontale $y=0$ .
Segno: $g>0$ per $|x|>1$ (quindi $\dfrac{1}{g}>0$ ), $g<0$ per $|x|<1$ (quindi $\dfrac{1}{g}<0$ ).
Minimo di $g$ in $(0,-1)$ $\Rightarrow$ poiché $g$ vale $-1$ (il suo massimo in valore nella zona negativa, cioè il più vicino a $0$ ), il reciproco ha lì un massimo locale $\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{-1}\right)=(0,-1)$ .

3. Verifica con la derivata

Da $\displaystyle \dfrac{1}{x^2-1}=(x^2-1)^{-1}$ si ha $\left(\dfrac{1}{g}\right)'=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$ , che si annulla in $x=0$ : conferma il massimo locale in $(0,-1)$ . Tutto il resto del comportamento (rami che salgono verso gli asintoti verticali, code che si appiattiscono su $y=0$ ) segue dalle regole del reciproco senza ulteriori conti.

4. Grafico

Reciproco di g(x) = x² − 1: gli zeri ±1 della base diventano asintoti verticali; all'infinito il reciproco tende a 0 (asintoto orizzontale). Il minimo (0, −1) della base diventa un massimo locale (0, −1) del reciproco. Segno conservato.

Esercizio 4 — Composizione di trasformazioni

Costruire il grafico di

$f(x)=1+\dfrac{1}{x+2}$

partendo dall’iperbole nota $y=\dfrac{1}{x}$ e applicando le trasformazioni una alla volta.

1. Decomposizione

Riconosciamo $f$ come una catena di trasformazioni a partire da $y=\dfrac{1}{x}$ :

$y=\dfrac{1}{x}$ — iperbole equilatera, asintoti $x=0$ e $y=0$ .
$y=\dfrac{1}{x+2}$ — è $\displaystyle \dfrac{1}{x-(-2)}$ , cioè traslazione orizzontale a sinistra di $2$ : l’asintoto verticale passa da $x=0$ a $x=-2$ (l’orizzontale resta $y=0$ ).
$y=1+\dfrac{1}{x+2}$ — traslazione verticale verso l’alto di $1$ : l’asintoto orizzontale passa da $y=0$ a $y=1$ (il verticale resta $x=-2$ ).

2. Lettura diretta del grafico finale

Applicate le trasformazioni, senza derivare leggiamo:

Dominio: $x\neq -2$ (l’unico punto problematico, ereditato dall’asintoto verticale).
Asintoti: verticale $x=-2$ , orizzontale $y=1$ .
Monotonia: l’iperbole $\dfrac{1}{x}$ è decrescente su ciascun ramo; traslazioni e innalzamenti non cambiano la monotonia, quindi $f$ è decrescente su entrambi i rami. Nessun estremo.
Intersezioni: asse $y$ in $f(0)=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ ; asse $x$ dove $\displaystyle 1+\dfrac{1}{x+2}=0$ , cioè $\displaystyle \dfrac{1}{x+2}=-1$ , $x+2=-1$ , $x=-3$ .

3. Verifica algebrica

Mettendo a denominatore comune, $f(x)=\dfrac{(x+2)+1}{x+2}=\dfrac{x+3}{x+2}$ : una funzione omografica, il cui asintoto orizzontale è il rapporto dei coefficienti direttori $\dfrac{1}{1}=1$ e il verticale è $x=-2$ — esattamente quanto dedotto per via grafica.

4. Grafico

Composizione: l'iperbole 1/x traslata a sinistra di 2 (asintoto verticale x = −2) e poi in alto di 1 (asintoto orizzontale y = 1). Decrescente su entrambi i rami; taglia gli assi in (0, 3/2) e (−3, 0).

Sintesi: l’ordine delle trasformazioni

Per costruire un grafico per trasformazioni conviene:

Riconoscere la funzione base (una retta, una parabola, $\dfrac{1}{x}$ , $\sqrt x$ , $e^x$ , $\ln x$ , …) di cui si conosce già il grafico.
Decomporre la funzione data in una catena di operazioni elementari, applicandole nell’ordine corretto: prima le trasformazioni interne all’argomento (traslazioni orizzontali, riflessione $f(-x)$ , $f(|x|)$ ), poi quelle esterne sui valori (traslazioni verticali, riflessione $-f$ , $|f|$ , reciproco).
Tracciare passo per passo, aggiornando ogni volta asintoti, zeri ed estremi.

Le insidie ricorrenti: $f(x-k)$ trasla a destra (segno controintuitivo); $|f(x)|$ e $f(|x|)$ sono diverse; nel reciproco gli zeri diventano asintoti e gli estremi si invertono. Una volta acquisite, queste regole trasformano molti studi di funzione in pochi secondi di ragionamento geometrico.