Questa scheda raccoglie tre studi di funzione completi, nello stile dei temi d’esame, in cui ogni funzione combina elementi di più famiglie viste nelle schede precedenti. Sono pensati come prova di sintesi: si applica per intero lo schema generale — dominio, simmetrie, segno, limiti, asintoti, derivata prima e seconda, grafico — riconoscendo di volta in volta quali tecniche servono.
Per orientarsi tra gli strumenti, ogni esercizio richiama le schede di riferimento: razionali fratte, esponenziali, logaritmiche, valore assoluto.
Tema 1 — Esponenziale fratta
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{e^x}{x}.
Combina il comportamento esponenziale (gerarchia degli infiniti) con quello di una frazione (asintoto verticale dal denominatore).
1. Dominio e simmetrie
Il denominatore impone x\neq 0, quindi D=\mathbb{R}\setminus\{0\}. Calcolando f(-x)=\dfrac{e^{-x}}{-x}, non è né f(x) né -f(x): nessuna simmetria.
2. Intersezioni e segno
Asse y escluso. Asse x: \displaystyle \dfrac{e^x}{x}=0 richiederebbe e^x=0, impossibile: nessuno zero. Poiché e^x>0 sempre, il segno di f è quello del denominatore x: negativa per x<0, positiva per x>0.
3. Limiti e asintoti
Verso +\infty: la gerarchia degli infiniti dà \dfrac{e^x}{x}\to+\infty (l’esponenziale batte la potenza). Nessun asintoto a destra.
Verso -\infty: e^x\to 0^+ e x\to-\infty, quindi \dfrac{e^x}{x}\to 0^-. La retta y=0 è asintoto orizzontale a -\infty (avvicinato da sotto).
Nel punto escluso x=0: il numeratore tende a e^0=1>0, mentre il denominatore cambia segno:
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{e^x}{x}=\dfrac{1}{0^-}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+}\dfrac{e^x}{x}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty.
La retta x=0 è asintoto verticale.
4. Derivata prima
Regola del quoziente, con (e^x)'=e^x:
f'(x)=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}.
Il fattore \displaystyle \dfrac{e^x}{x^2} è sempre positivo, quindi il segno è quello di x-1 (tenendo presente che x=0 è escluso):
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | decrescente |
| (0,1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
In x=1 la derivata passa da - a +: minimo relativo, di valore f(1)=\dfrac{e^1}{1}=e\approx 2{,}72. Sul ramo negativo non ci sono estremi (la funzione decresce sempre).
5. Derivata seconda
Derivando f'(x)=e^x(x-1)x^{-2} (prodotto di tre fattori, oppure quoziente):
f''(x)=\dfrac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}.
Il fattore x^2-2x+2 ha discriminante 4-8=-4<0, quindi è sempre positivo; anche e^x>0. Il segno di f'' è dunque quello di x^3, cioè di x:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | verso il basso |
| (0,+\infty) | + | verso l’alto |
Nessun flesso (il cambio di concavità avviene solo sull’asintoto x=0, escluso).
6. Grafico
Tema 2 — Logaritmica con polinomio
Studiare la funzione
f(x)=x-\ln x.
Combina un termine polinomiale e uno logaritmico: dominio dal logaritmo, comportamenti agli estremi dalla gerarchia.
1. Dominio e simmetrie
Il logaritmo richiede x>0, quindi D=(0,+\infty). Dominio non simmetrico: nessuna parità.
2. Intersezioni e segno
Asse y escluso. Asse x: l’equazione x-\ln x=0, cioè x=\ln x, non ha soluzioni, perché si dimostra (vedi passo 4) che la funzione ha minimo 1>0: quindi f>0 sempre e nessuno zero.
3. Limiti e asintoti
Verso 0^+: x\to 0 e -\ln x\to+\infty, quindi f\to+\infty. La retta x=0 è asintoto verticale.
Verso +\infty: x\to+\infty domina su \ln x (la potenza batte il logaritmo), quindi f\to+\infty. Asintoto obliquo? Si avrebbe \displaystyle m=\lim\dfrac{x-\ln x}{x}=1, ma \displaystyle q=\lim(f-x)=\lim(-\ln x)=-\infty: nessun asintoto obliquo.
4. Derivata prima
f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}.
Nel dominio x>0 il denominatore è positivo, quindi il segno è quello di x-1:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (0,1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
In x=1 un minimo assoluto, di valore f(1)=1-\ln 1=1-0=1. Conferma che f\geq 1>0 ovunque (quindi nessuno zero, come anticipato).
5. Derivata seconda
f''(x)=\dfrac{1}{x^2}>0\quad\text{per ogni }x>0.
La funzione è convessa su tutto il dominio, nessun flesso.
6. Grafico
Tema 3 — Valore assoluto ed esponenziale
Studiare la funzione
f(x)=|x|\,e^{-|x|}.
Caso di sintesi che combina tre ingredienti: la parità, il valore assoluto (con un punto angoloso) e l’esponenziale (gerarchia e asintoto).
1. Dominio, simmetrie e riscrittura
D=\mathbb{R}. Poiché compare solo |x|, si ha f(-x)=|-x|\,e^{-|-x|}=|x|\,e^{-|x|}=f(x): la funzione è pari. Studiamo il ramo x\geq 0 e ribaltiamo. Su x\geq 0, |x|=x, quindi
f(x)=x\,e^{-x}\qquad (x\geq 0),
che è la funzione del primo esercizio sulle esponenziali, qui ristretta al semiasse positivo e poi specchiata.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0. Asse x: |x|e^{-|x|}=0 solo dove |x|=0, cioè x=0. Poiché |x|\geq 0 e l’esponenziale è positiva, f(x)\geq 0 sempre: non negativa, nulla solo nell’origine.
3. Limiti e asintoti
Per x\to+\infty, sul ramo xe^{-x} la gerarchia dà f\to 0^+. Per parità, lo stesso a x\to-\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}|x|\,e^{-|x|}=0^+.
La retta y=0 è asintoto orizzontale bilatero. Nessun asintoto verticale (dominio reale).
4. Derivata prima e punto angoloso
Sul ramo x>0 deriviamo xe^{-x}: f'(x)=e^{-x}(1-x) (segno di 1-x). Per parità, sul ramo x<0 la derivata è l’opposto riflesso. Riassumendo:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | crescente |
| (-1,0) | - | decrescente |
| (0,1) | + | crescente |
| (1,+\infty) | - | decrescente |
In x=1 e (per simmetria) x=-1 ci sono massimi relativi e assoluti, di valore f(\pm1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}368.
Nel raccordo x=0 calcoliamo le derivate laterali: da destra f'_+(0)=e^{0}(1-0)=+1; da sinistra, per la riflessione pari, f'_-(0)=-1. Derivate laterali finite e diverse (+1 e -1): punto angoloso nell’origine. La derivata passa da - (a sinistra) a + (a destra), quindi (0,0) è un minimo assoluto, realizzato sullo spigolo.
5. Derivata seconda
Sul ramo x>0, derivando f'(x)=e^{-x}(1-x) si ottiene f''(x)=e^{-x}(x-2) (segno di x-2):
| Intervallo (ramo destro) | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (0,2) | - | verso il basso |
| (2,+\infty) | + | verso l’alto |
In x=2 un flesso, f(2)=2e^{-2}\approx 0{,}27; per simmetria, anche in x=-2. Tra i due flessi (e attorno all’origine) la funzione ha forma a doppia gobba.
6. Grafico
Come affrontare un tema d’esame
Davanti a una funzione «mista», la strategia è riconoscere a quali famiglie appartengono i suoi pezzi e applicare lo strumento giusto a ogni passo:
- Dominio: intersecare i vincoli di tutti gli ingredienti (radicandi \geq 0, argomenti dei logaritmi \gt 0, denominatori \neq 0).
- Simmetrie: controllare f(-x); la presenza di |x|, x^2, \cos x suggerisce parità, quella di termini dispari suggerisce disparità.
- Limiti: all’infinito decide la gerarchia (esponenziale \gg potenza \gg logaritmo); nei punti esclusi si distinguono asintoti verticali, salti e discontinuità eliminabili.
- Derivate: usare prodotto, quoziente e catena; per potenze a esponente variabile o prodotti complessi, la derivazione logaritmica; nei punti con valore assoluto, le derivate laterali.
- Sintesi: raccogliere tutto in una tabella dei segni di f' e f'' e tracciare il grafico coerente, controllando che asintoti, estremi e flessi trovati siano compatibili tra loro.
Con queste schede — dalle polinomiali ai temi misti — lo studio di funzione diventa un procedimento sistematico: cambiano le funzioni, resta lo schema in otto passi.