Questa è la scheda di riferimento per ogni studio di funzione. Prima fissa l’ordine dei passi — sempre lo stesso, qualunque sia la funzione — poi lo applica per intero a una funzione modello, commentando ogni mossa. Le altre schede di esercizi (funzioni razionali fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, e così via) seguono tutte questo stesso schema: cambia la famiglia di funzioni, non il metodo.
Lo schema in otto passi
Studiare una funzione y=f(x) significa ricostruirne il grafico senza disegnarlo a caso, ma deducendolo da un’analisi ordinata. I passi sono:
- Dominio. Dove la funzione è definita. Si escludono i punti che annullano un denominatore, rendono negativo l’argomento di una radice di indice pari o di un logaritmo, ecc.
- Simmetrie e periodicità. Si verifica se la funzione è pari (f(-x)=f(x), grafico simmetrico rispetto all’asse y), dispari (f(-x)=-f(x), simmetrico rispetto all’origine) o periodica. Una simmetria dimezza il lavoro.
- Intersezioni con gli assi e segno. Si trovano i punti in cui il grafico taglia gli assi e gli intervalli in cui la funzione sta sopra o sotto l’asse x.
- Limiti agli estremi del dominio. Si calcolano i limiti agli estremi di ogni intervallo del dominio: a \pm\infty e in prossimità dei punti esclusi.
- Asintoti. Dai limiti si deducono gli asintoti verticali (limite infinito in un punto finito), orizzontali (limite finito all’infinito) e obliqui (limite infinito all’infinito, con la retta y=mx+q trovata dai limiti di f(x)/x e f(x)-mx).
- Derivata prima: monotonia ed estremi. Si calcola f'(x), se ne studia il segno: dove f'>0 la funzione cresce, dove f'<0 decresce. I punti in cui f' si annulla cambiando segno sono massimi o minimi relativi.
- Derivata seconda: concavità e flessi. Si calcola f''(x), se ne studia il segno: dove f''>0 il grafico volge la concavità verso l’alto, dove f''<0 verso il basso. I punti in cui f'' cambia segno sono flessi.
- Grafico. Si mettono insieme tutte le informazioni in un unico disegno coerente.
Nota sull’ordine. I passi 1–5 descrivono lo «scheletro» della funzione (dove vive, dove va, a quali rette si appoggia); i passi 6–7 ne descrivono la «forma fine» (salite, discese, gobbe). Si possono talvolta anticipare alcuni limiti, ma conviene non saltare il dominio: ogni passo successivo si svolge solo dentro il dominio trovato al passo 1.
Studio completo di una funzione modello
Applichiamo lo schema, passo per passo, alla funzione
f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}.
È una funzione razionale fratta scelta apposta perché esibisce quasi tutti i fenomeni dello studio: dominio reale, una simmetria, un asintoto orizzontale, un massimo, un minimo e — fatto raro tra le fratte semplici — tre flessi reali. L’unico fenomeno assente è l’asintoto verticale, e vedremo subito perché.
1. Dominio
Una frazione è definita dove il denominatore non si annulla. Studiamo quindi l’equazione
x^2+1=0.
Il primo membro è la somma di un quadrato (x^2\geq 0) e di 1: vale sempre almeno 1, quindi non si annulla mai. Non ci sono punti da escludere e il dominio è tutta la retta reale:
D=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).
Già qui possiamo anticipare una conseguenza importante: poiché il denominatore non si annulla in alcun punto finito, la funzione non avrà asintoti verticali. Gli asintoti verticali nascono dai punti esclusi dal dominio, e qui non ce ne sono.
2. Simmetrie
Calcoliamo f(-x) sostituendo -x al posto di x:
f(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2+1}=\dfrac{-x}{x^2+1}=-\dfrac{x}{x^2+1}=-f(x).
Abbiamo ottenuto f(-x)=-f(x): la funzione è dispari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. Questo dimezza il lavoro: tutto ciò che troviamo per x>0 si ribalta automaticamente per x<0 cambiando segno a entrambe le coordinate.
3. Intersezioni e segno
Intersezione con l’asse y (si pone x=0):
f(0)=\dfrac{0}{0^2+1}=\dfrac{0}{1}=0.
Il grafico passa per l’origine O(0,0).
Intersezioni con l’asse x (si pone f(x)=0): una frazione è nulla solo dove si annulla il numeratore, quindi x=0. L’unica intersezione con gli assi è dunque l’origine.
Segno. Il denominatore x^2+1 è sempre positivo, quindi il segno di f coincide con il segno del numeratore x:
| Intervallo | Segno di x | Segno di x^2+1 | f(x) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | + | - |
| (0,+\infty) | + | + | + |
La funzione è negativa per x<0 e positiva per x>0, in accordo con la simmetria dispari.
4. Limiti agli estremi del dominio
Il dominio è tutto \mathbb{R}, quindi gli unici estremi sono -\infty e +\infty. Per x\to+\infty numeratore e denominatore tendono entrambi a +\infty: è una forma indeterminata \displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, che si risolve confrontando i gradi. Il denominatore ha grado 2, il numeratore grado 1: il denominatore «vince» e la frazione tende a 0. In modo esplicito, raccogliamo la potenza dominante a denominatore:
Il limite è 0 e l’avvicinamento avviene dall’alto (0^+), perché per x>0 la funzione è positiva. Per simmetria dispari,
\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^2+1}=0^-,
cioè da sotto.
5. Asintoti
- Verticali: nessuno, come anticipato al passo 1 (dominio senza punti esclusi).
- Orizzontali: dai limiti del passo 4, la retta y=0 (l’asse x) è asintoto orizzontale sia a +\infty sia a -\infty.
- Obliqui: assenti. Un asintoto obliquo e uno orizzontale si escludono a vicenda nella stessa direzione, e qui il limite all’infinito è finito (0): la funzione è già «schiacciata» sull’asse x, non può crescere come una retta inclinata.
6. Derivata prima: monotonia ed estremi
Deriviamo con la regola del quoziente, \left(\dfrac{N}{D}\right)'=\dfrac{N'D-ND'}{D^2}, con N=x (quindi N'=1) e D=x^2+1 (quindi D'=2x):
f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.
Il denominatore (x^2+1)^2 è un quadrato, sempre positivo: il segno di f' è quello del numeratore 1-x^2=(1-x)(1+x), una parabola con la concavità verso il basso, positiva tra le radici -1 e 1:
| Intervallo | Segno di 1-x^2 | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | - | decrescente |
| (-1,1) | + | + | crescente |
| (1,+\infty) | - | - | decrescente |
In x=-1 la derivata passa da - a +: minimo relativo. In x=1 passa da + a -: massimo relativo. I valori:
f(-1)=\dfrac{-1}{(-1)^2+1}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2},\qquad f(1)=\dfrac{1}{1^2+1}=\dfrac{1}{2}.
Quindi minimo m\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right) e massimo M\left(1,\dfrac{1}{2}\right), simmetrici rispetto all’origine come previsto. Si nota inoltre che la funzione è limitata: non supera mai \dfrac{1}{2} né scende sotto -\dfrac{1}{2}.
7. Derivata seconda: concavità e flessi
Deriviamo f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2} ancora con la regola del quoziente. Poniamo N=1-x^2 (quindi N'=-2x) e D=(x^2+1)^2. Per D' usiamo la regola della catena:
D'=2(x^2+1)\cdot 2x=4x(x^2+1).
Allora
f''(x)=\dfrac{(-2x)(x^2+1)^2-(1-x^2)\cdot 4x(x^2+1)}{(x^2+1)^4}.
Raccogliamo a numeratore il fattore comune -2x(x^2+1):
f''(x)=\dfrac{-2x(x^2+1)\big[(x^2+1)+2(1-x^2)\big]}{(x^2+1)^4}.
Semplifichiamo un fattore (x^2+1) tra numeratore e denominatore e sviluppiamo la parentesi quadra, (x^2+1)+2(1-x^2)=x^2+1+2-2x^2=3-x^2:
f''(x)=\dfrac{-2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}=\dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}.
Il denominatore (x^2+1)^3 è sempre positivo: il segno di f'' è quello del numeratore 2x(x^2-3), prodotto che si annulla in x=0, x=-\sqrt{3} e x=+\sqrt{3}. Studiamo il segno dei due fattori x e x^2-3 (quest’ultimo positivo fuori da [-\sqrt3,\sqrt3]):
| Intervallo | Segno di x | Segno di x^2-3 | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|---|---|
| (-\infty,-\sqrt{3}) | - | + | - | verso il basso |
| (-\sqrt{3},0) | - | - | + | verso l’alto |
| (0,\sqrt{3}) | + | - | - | verso il basso |
| (\sqrt{3},+\infty) | + | + | + | verso l’alto |
La derivata seconda cambia segno in tutti e tre i punti: ci sono quindi tre flessi, in x=-\sqrt3, x=0 e x=+\sqrt3. Le ordinate:
f(0)=0,\qquad f(\pm\sqrt3)=\dfrac{\pm\sqrt3}{3+1}=\pm\dfrac{\sqrt3}{4}.
I tre flessi sono F_0(0,0), F_1\left(-\sqrt3,-\dfrac{\sqrt3}{4}\right) e F_2\left(\sqrt3,\dfrac{\sqrt3}{4}\right), con \displaystyle \dfrac{\sqrt3}{4}\approx 0{,}43. Il flesso nell’origine è quello che molte simmetrie dispari possiedono: lì il grafico attraversa l’asintoto orizzontale y=0 passando da concavo a convesso.
8. Grafico
Mettiamo tutto insieme. La funzione: è dispari; parte da 0^- a -\infty; scende fino al minimo \left(-1,-\dfrac{1}{2}\right); risale attraversando l’origine (flesso); raggiunge il massimo \left(1,\dfrac{1}{2}\right); poi decresce di nuovo verso 0^+. La concavità si inverte ai tre flessi. Tutto resta confinato nella fascia -\dfrac{1}{2}\leq y\leq\dfrac{1}{2}.
Riepilogo: la tabella-tipo
Un modo compatto per presentare lo studio in sede d’esame è la tabella dei segni, che incolonna f', f'' e l’andamento del grafico sugli stessi intervalli. Per la funzione modello:
| -\sqrt3 | -1 | 0 | 1 | \sqrt3 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | - | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - |
| f''(x) | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 | + |
| f(x) | flesso | ↘ | min | ↗ | flesso | ↗ | max | ↘ | flesso | ↘ |
Le frecce combinano monotonia (da f') e concavità (da f''): ↗ con concavità verso l’alto è una salita «a scodella», ↘ con concavità verso il basso è una discesa «a cupola», e così via. Questo schema rende immediato tracciare il grafico ed è il formato atteso in molti temi d’esame.
Come usare questa scheda
Le altre schede di studio di funzione affrontano una famiglia per volta e mettono a fuoco i passi più delicati per quella famiglia:
- nelle funzioni razionali fratte il cuore è il passo 5 (asintoti) e la divisione polinomiale;
- nelle funzioni irrazionali il passo 1 (dominio da disequazione) e i punti a tangente verticale;
- nelle funzioni esponenziali e logaritmiche i limiti notevoli del passo 4;
- nelle funzioni con valore assoluto i punti angolosi e le derivate laterali del passo 6.
In ogni caso l’ossatura resta questa: otto passi, sempre nello stesso ordine, sempre dentro il dominio.