Quando il grado del numeratore supera quello del denominatore esattamente di uno, la divisione polinomiale produce una retta: l’asintoto obliquo. Se invece il grado del numeratore supera quello del denominatore di due o più, il quoziente della divisione è un polinomio di grado almeno due: la funzione non ha più un asintoto rettilineo, ma si avvicina a una parabola (o a una cubica) all’infinito. Si parla allora di ramo parabolico.
Il criterio comune di questa scheda è \deg P\geq \deg Q+2. Lo strumento resta la divisione polinomiale: il quoziente fornisce la curva-guida all’infinito, il resto fratto tende a zero.
Esercizio 1 — Ramo parabolico con un polo
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^3}{x-2}.
1. Dominio
Il denominatore si annulla in x=2, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
2. Divisione polinomiale
Il grado del numeratore è 3, quello del denominatore è 1: la differenza è 2, quindi attendiamo un ramo parabolico. Dividiamo:
x^3=(x-2)(x^2+2x+4)+8.
Quindi
f(x)=x^2+2x+4+\dfrac{8}{x-2}.
Poiché \dfrac{8}{x-2}\to 0 per x\to\pm\infty, la curva-guida è la parabola
y=x^2+2x+4=(x+1)^2+3.
Non esiste asintoto obliquo: all’infinito la funzione cresce come una parabola, non come una retta.
3. Intersezioni e segno
Intersezione con gli assi: il numeratore x^3 si annulla in x=0, quindi il grafico passa per l’origine O(0,0).
Il segno di f(x)=\dfrac{x^3}{x-2} dipende da numeratore e denominatore:
| Intervallo | x^3 | x-2 | f(x) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | - | + |
| (0,2) | + | - | - |
| (2,+\infty) | + | + | + |
4. Asintoto verticale
Nel punto escluso il numeratore vale 2^3=8>0:
\lim_{x\to 2^-}\dfrac{x^3}{x-2}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}\dfrac{x^3}{x-2}=+\infty.
La retta x=2 è un asintoto verticale.
5. Derivata e monotonia
Conviene derivare la frazione iniziale con la regola del quoziente, N=x^3 (N'=3x^2) e D=x-2 (D'=1):
f'(x)=\dfrac{3x^2(x-2)-x^3\cdot 1}{(x-2)^2}.
Sviluppiamo il numeratore: 3x^2(x-2)=3x^3-6x^2, e sottraendo x^3 resta 2x^3-6x^2. Raccogliamo 2x^2:
f'(x)=\dfrac{2x^3-6x^2}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}.
Il fattore x^2 e il denominatore (x-2)^2 sono quadrati, quindi non negativi: il segno di f' dipende solo da (x-3), positivo per x>3:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | decrescente |
| (0,2) | - | decrescente |
| (2,3) | - | decrescente |
| (3,+\infty) | + | crescente |
In x=3 la derivata passa da - a +: minimo relativo. Il valore è
f(3)=\dfrac{3^3}{3-2}=\dfrac{27}{1}=27,
quindi m(3,27).
In x=0 la derivata si annulla (per il fattore x^2) ma non cambia segno: non è un estremo, ma un punto a tangente orizzontale. Lo confermeremo con la concavità.
6. Concavità e flesso
Deriviamo la forma divisa f(x)=x^2+2x+4+8(x-2)^{-1}. La parte polinomiale x^2+2x+4 ha derivata seconda 2; il termine 8(x-2)^{-1} dà f'-parte -8(x-2)^{-2} e poi +16(x-2)^{-3}:
f''(x)=2+\dfrac{16}{(x-2)^3}.
Per studiarne il segno mettiamo tutto su un denominatore comune:
f''(x)=\dfrac{2(x-2)^3+16}{(x-2)^3}=\dfrac{2\,[(x-2)^3+8]}{(x-2)^3}.
Il numeratore contiene (x-2)^3+8, una somma di cubi (a^3+b^3 con a=x-2, b=2), che si scompone con a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2):
(x-2)^3+8=\big[(x-2)+2\big]\big[(x-2)^2-2(x-2)+4\big]=x\,(x^2-6x+12).
Il secondo fattore x^2-6x+12 ha discriminante 36-48=-12<0, quindi è sempre positivo. Il segno del numeratore è perciò quello di x, quello del denominatore è quello di (x-2)^3, cioè di x-2:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | + | verso l’alto |
| (0,2) | - | verso il basso |
| (2,+\infty) | + | verso l’alto |
La derivata seconda si annulla e cambia segno in x=0: c’è un flesso nell’origine (0,0). Poiché anche f'(0)=0, si tratta di un flesso a tangente orizzontale, che spiega il punto critico senza estremo trovato prima.
7. Sintesi
La funzione decresce fino al minimo (3,27) a destra del polo, mentre a sinistra segue la parabola-guida con un flesso a tangente orizzontale nell’origine. Vicino a x=2 diverge (-\infty a sinistra, +\infty a destra) e all’infinito si appoggia alla parabola y=(x+1)^2+3.
7. Grafico
Esercizio 2 — Ramo parabolico con due poli e simmetria pari
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^4}{x^2-1}.
1. Dominio e simmetria
Il denominatore si annulla in x=\pm 1, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\},
che è simmetrico. Calcoliamo:
f(-x)=\dfrac{(-x)^4}{(-x)^2-1}=\dfrac{x^4}{x^2-1}=f(x).
La funzione è pari: basta studiarla per x\geq 0 e riflettere il grafico rispetto all’asse y.
2. Divisione polinomiale
Il numeratore ha grado 4, il denominatore grado 2: differenza 2, quindi ci aspettiamo un ramo parabolico. Invece della divisione in colonna, qui conviene un piccolo trucco: sappiamo che (x^2-1)(x^2+1)=x^4-1 (prodotto notevole), quindi x^4=(x^2-1)(x^2+1)+1. Dividendo per x^2-1:
f(x)=\dfrac{x^4}{x^2-1}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2-1}.
Il termine \dfrac{1}{x^2-1} tende a 0 all’infinito, quindi la curva-guida è la parabola
y=x^2+1.
3. Intersezioni e segno
Il numeratore x^4 si annulla solo in x=0, dove f(0)=\dfrac{0}{0-1}=0: il grafico passa per l’origine.
Il numeratore x^4 è una quarta potenza, sempre \geq 0, quindi il segno di f dipende solo dal denominatore x^2-1:
| Intervallo | x^2-1 | f(x) |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | + |
| (-1,1) | - | - (e 0 in x=0) |
| (1,+\infty) | + | + |
4. Asintoti verticali
Nei punti esclusi x=\pm 1 il numeratore vale 1\neq 0, quindi sono asintoti verticali. Per simmetria (funzione pari) basta studiare il lato destro: vicino a x=1 il numeratore è positivo e il denominatore cambia segno, perciò
\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty,
e in x=-1 i limiti sono speculari. All’infinito f(x)\to +\infty: niente asintoto orizzontale né obliquo, solo il ramo parabolico y=x^2+1.
5. Derivata e monotonia
Deriviamo la forma divisa f(x)=x^2+1+(x^2-1)^{-1}. La derivata di (x^2-1)^{-1} è -1\cdot(x^2-1)^{-2}\cdot 2x=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}, quindi
f'(x)=2x-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}.
Raccogliamo 2x e portiamo a denominatore comune:
f'(x)=2x\left[1-\dfrac{1}{(x^2-1)^2}\right]=\dfrac{2x\,[(x^2-1)^2-1]}{(x^2-1)^2}.
Il pezzo (x^2-1)^2-1 è una differenza di quadrati: \big[(x^2-1)-1\big]\big[(x^2-1)+1\big]=(x^2-2)\,x^2. Sostituendo:
f'(x)=\dfrac{2x\cdot x^2(x^2-2)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{2x^3(x^2-2)}{(x^2-1)^2}.
Il denominatore è un quadrato positivo; il segno dipende da 2x^3(x^2-2), che si annulla in x=0 e x=\pm\sqrt{2}. Tenendo conto che x^3 ha il segno di x e che x^2-2 è positivo fuori da \pm\sqrt2:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-\sqrt{2}) | - | decrescente |
| (-\sqrt{2},-1) | + | crescente |
| (-1,0) | + | crescente |
| (0,1) | - | decrescente |
| (1,\sqrt{2}) | - | decrescente |
| (\sqrt{2},+\infty) | + | crescente |
In x=0 la derivata passa da + a -: massimo relativo M(0,0) (il vertice del ramo centrale). In x=\pm\sqrt{2} ci sono due minimi relativi simmetrici; il valore è
f(\pm\sqrt{2})=\dfrac{(\pm\sqrt{2})^4}{(\pm\sqrt{2})^2-1}=\dfrac{4}{2-1}=4,
(ricordando che (\sqrt2)^2=2 e (\sqrt2)^4=4), cioè m_1(-\sqrt{2},4) e m_2(\sqrt{2},4).
6. Concavità
Derivando ancora la forma divisa si ottiene
f''(x)=2+\dfrac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}.
Questa derivata seconda è una funzione fratta complicata: trovarne gli zeri esatti richiederebbe un’equazione di grado alto, fuori dallo scopo di uno studio qualitativo. Possiamo però leggere il comportamento nelle due zone che contano:
- lontano dai poli (rami esterni) il termine costante 2>0 domina, mentre la frazione \dfrac{6x^2+2}{(x^2-1)^3} diventa piccola: f''>0, quindi i rami esterni che seguono la parabola y=x^2+1 sono convessi (concavità verso l’alto), come ci si aspetta da una parabola;
- nel ramo centrale, intorno al massimo (0,0), in x=0 si ha f''(0)=2+\dfrac{2}{(-1)^3}=2-2=0 e nei dintorni la frazione rende f''<0: la concavità è verso il basso, coerente con un massimo.
In sintesi: rami esterni convessi, ramo centrale concavo verso il basso attorno al massimo, il tutto simmetrico rispetto all’asse y.
7. Sintesi
Il grafico, simmetrico rispetto all’asse y, ha due rami esterni convessi che si appoggiano alla parabola y=x^2+1 e divergono sugli asintoti verticali, e un ramo centrale con massimo in (0,0). I due minimi relativi (\pm\sqrt{2},4) segnano il punto in cui i rami esterni cominciano a risalire seguendo la parabola-guida.
7. Grafico
Esercizio 3 — Ramo cubico
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^4+1}{x}.
1. Dominio e simmetria
Il denominatore si annulla in x=0, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Il dominio è simmetrico. Calcoliamo:
f(-x)=\dfrac{(-x)^4+1}{-x}=-\dfrac{x^4+1}{x}=-f(x).
La funzione è dispari.
2. Divisione e comportamento all’infinito
Qui il numeratore ha grado 4 e il denominatore grado 1: la differenza è 3. La divisione è immediata:
f(x)=\dfrac{x^4+1}{x}=x^3+\dfrac{1}{x}.
Poiché \dfrac{1}{x}\to 0 per x\to\pm\infty, la curva-guida è la cubica
y=x^3.
Quando il grado del numeratore supera quello del denominatore di tre, il ramo all’infinito non è una parabola ma una cubica: il principio è lo stesso, cambia solo il grado della curva-guida.
3. Intersezioni e segno
Il numeratore x^4+1 è sempre positivo, quindi non ci sono intersezioni con l’asse x e il segno di f(x) coincide con quello di \dfrac{1}{x}:
| Intervallo | Segno di f(x) |
|---|---|
| (-\infty,0) | - |
| (0,+\infty) | + |
4. Asintoto verticale
Vicino al polo, il numeratore tende a 1>0:
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x^4+1}{x}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^4+1}{x}=+\infty.
La retta x=0 (l’asse y) è un asintoto verticale. All’infinito non c’è asintoto: domina il ramo cubico.
5. Derivata e monotonia
Deriviamo la forma f(x)=x^3+x^{-1} termine a termine (\dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}):
f'(x)=3x^2-\dfrac{1}{x^2}.
Per studiarne il segno mettiamo a denominatore comune x^2:
f'(x)=\dfrac{3x^2\cdot x^2-1}{x^2}=\dfrac{3x^4-1}{x^2}.
Il denominatore x^2 è positivo nel dominio; il segno dipende da 3x^4-1. Lo poniamo uguale a zero: 3x^4=1, cioè x^4=\dfrac{1}{3}, da cui x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} (la radice quarta, perché l’incognita è elevata alla quarta). Il termine 3x^4-1 è positivo dove x^4>\dfrac{1}{3}, cioè fuori dalle due radici:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| \left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}\right) | + | crescente |
| \left(-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}},0\right) | - | decrescente |
| \left(0,\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}\right) | - | decrescente |
| \left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}},+\infty\right) | + | crescente |
In x=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} la derivata passa da + a -: massimo relativo. In x=\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} passa da - a +: minimo relativo. I due punti sono simmetrici rispetto all’origine (funzione dispari). Per il minimo, sostituendo x=\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}=3^{-1/4} in f=x^3+\dfrac{1}{x} si trova
f\!\left(3^{-1/4}\right)=3^{-3/4}+3^{1/4}=\dfrac{4\sqrt[4]{3}}{3}\approx 1{,}75,
e per simmetria il massimo vale l’opposto, \approx -1{,}75.
6. Concavità
Deriviamo ancora f(x)=x^3+x^{-1} (ora \dfrac{d}{dx}(-x^{-2})=2x^{-3}):
f''(x)=6x+\dfrac{2}{x^3}.
A denominatore comune x^3:
f''(x)=\dfrac{6x\cdot x^3+2}{x^3}=\dfrac{6x^4+2}{x^3}=\dfrac{2(3x^4+1)}{x^3}.
Il numeratore 2(3x^4+1) è sempre positivo, quindi il segno dipende solo da x^3, cioè da x:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | verso il basso |
| (0,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: la derivata seconda non si annulla e cambia segno solo attraversando il polo x=0, che è escluso.
7. Sintesi
Il grafico è dispari: il ramo destro è positivo, ha un minimo relativo e poi sale come la cubica y=x^3; il ramo sinistro è il simmetrico rispetto all’origine. Vicino all’asse y la funzione diverge (+\infty a destra, -\infty a sinistra), mentre all’infinito si appoggia alla cubica-guida. È il caso più estremo della scheda, in cui la curva-guida non è nemmeno una parabola.
7. Grafico
Esercizio 4 — Ramo parabolico senza simmetrie, con flesso
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^3-1}{x}.
Ramo parabolico (guida y=x^2), ma senza la simmetria dei casi precedenti e con un flesso a coordinate semplici.
1. Dominio e forma divisa
Il denominatore x si annulla in x=0:
D=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Dividendo termine a termine:
f(x)=\dfrac{x^3-1}{x}=\dfrac{x^3}{x}-\dfrac{1}{x}=x^2-\dfrac{1}{x}.
Il grado del numeratore (3) supera di due quello del denominatore (1): la curva-guida all’infinito è la parabola
y=x^2,
perché -\dfrac{1}{x}\to 0.
2. Simmetria, intersezioni e segno
f(-x)=x^2+\dfrac{1}{x}: diverso da f(x) e da -f(x), quindi né pari né dispari.
Asse y: escluso. Asse x: numeratore x^3-1=0\implies x=1 (zero semplice). Per il segno studiamo \dfrac{x^3-1}{x}: il numeratore è positivo per x>1, il denominatore per x>0.
| Intervallo | x^3-1 | x | f(x) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | - | + |
| (0,1) | - | + | - |
| (1,+\infty) | + | + | + |
3. Asintoto verticale
Vicino a x=0 il numeratore tende a -1<0:
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x^3-1}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3-1}{x}=-\infty,
(a sinistra \dfrac{(-)}{(-)}=+, a destra \dfrac{(-)}{(+)}=-). La retta x=0 è un asintoto verticale. All’infinito domina il ramo parabolico, nessun asintoto orizzontale o obliquo.
4. Derivata e monotonia
Dalla forma f(x)=x^2-x^{-1}:
f'(x)=2x+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x^3+1}{x^2}.
Il denominatore è positivo; il segno è quello di 2x^3+1, che si annulla per x^3=-\dfrac{1}{2}, cioè x=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\approx -0{,}79:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| \left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt[3]2}\right) | - | decrescente |
| \left(-\dfrac{1}{\sqrt[3]2},0\right) | + | crescente |
| (0,+\infty) | + | crescente |
In x=-\dfrac{1}{\sqrt[3]2} unico estremo, minimo relativo. Il valore numerico è f\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt[3]2}\right)\approx 1{,}89.
5. Concavità e flesso
Dalla forma f(x)=x^2-x^{-1}:
f''(x)=2-\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{2x^3-2}{x^3}=\dfrac{2(x^3-1)}{x^3}.
Il segno dipende da numeratore x^3-1 (positivo per x>1) e denominatore x^3 (segno di x):
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | + | verso l’alto |
| (0,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
La derivata seconda si annulla e cambia segno in x=1: c’è un flesso in (1,0) (dove la curva taglia anche l’asse x). Sul polo x=0 il segno cambia ma non è un flesso (punto escluso).
6. Sintesi
Funzione senza simmetrie, con asintoto verticale x=0 e ramo parabolico y=x^2 all’infinito. Ramo sinistro: scende fino al minimo \approx(-0{,}79,\,1{,}89), poi sale verso +\infty avvicinandosi all’asse y. Ramo destro: scende da -\infty (vicino a 0), attraversa l’asse x in (1,0) con un flesso e risale seguendo la parabola. È il ramo parabolico nella sua forma più generale, senza aiuti di simmetria.