Un dominio è simmetrico rispetto all’origine quando, se x appartiene al dominio, anche -x appartiene al dominio. Solo in questo caso ha senso verificare se una funzione è pari o dispari.
I primi tre esercizi sono razionali fratti (pari, dispari, con asintoto obliquo). Gli ultimi due estendono il metodo a due famiglie vicine — una funzione con valore assoluto e una irrazionale con radice al denominatore — per mostrare che lo schema dello studio di funzione resta lo stesso anche fuori dalle frazioni polinomiali pure.
Esercizio 1 — Dominio simmetrico e funzione pari
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}.
1. Dominio
Scomponiamo il denominatore (differenza di quadrati) e imponiamo che non si annulli:
x^2-1=(x-1)(x+1)\neq 0 \implies x\neq -1,\ x\neq 1.
Quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
I due punti esclusi, -1 e 1, sono uno l’opposto dell’altro: il dominio è simmetrico rispetto all’origine, quindi ha senso controllare se la funzione è pari o dispari.
2. Simmetria
Sostituiamo -x al posto di x (ricordando (-x)^2=x^2):
f(-x)=\dfrac{1}{(-x)^2-1}=\dfrac{1}{x^2-1}=f(x).
Poiché f(-x)=f(x), la funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all’asse y.
3. Intersezioni e segno
Asse x: il numeratore è la costante 1, non si annulla mai, quindi nessuna intersezione.
Asse y: f(0)=\dfrac{1}{0-1}=-1.
Per il segno, il numeratore è sempre positivo, quindi f ha lo stesso segno del denominatore x^2-1 (positivo fuori da [-1,1], negativo dentro):
| Intervallo | x^2-1 | f(x) |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | + |
| (-1,1) | - | - |
| (1,+\infty) | + | + |
4. Asintoti e monotonia
Nei punti esclusi x=\pm 1 il numeratore vale 1\neq 0, quindi sono asintoti verticali. Il segno dei limiti si legge dalla tabella del passo 3:
\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty.
Per x\to\pm\infty il denominatore diventa enorme:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^2-1}=0,
quindi y=0 è un asintoto orizzontale.
Per la derivata scriviamo f(x)=(x^2-1)^{-1} e applichiamo la regola della catena (derivata della potenza per derivata dell’interno 2x):
f'(x)=-1\cdot(x^2-1)^{-2}\cdot 2x=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}.
Il denominatore (x^2-1)^2 è un quadrato, sempre positivo: il segno di f' è quello di -2x, cioè opposto a x. La funzione cresce per x<0 e decresce per x>0 (rispettando i punti esclusi). In x=0 la derivata passa da + a -: massimo relativo M(0,-1).
5. Concavità
Deriviamo f'(x)=-2x\,(x^2-1)^{-2} con la regola del prodotto. La derivata di (x^2-1)^{-2} è -2(x^2-1)^{-3}\cdot 2x=-4x(x^2-1)^{-3}, quindi
f''(x)=-2(x^2-1)^{-2}+(-2x)\big[-4x(x^2-1)^{-3}\big]=-2(x^2-1)^{-2}+8x^2(x^2-1)^{-3}.
Mettiamo in evidenza (x^2-1)^{-3} (cioè \dfrac{1}{(x^2-1)^3}):
f''(x)=\dfrac{-2(x^2-1)+8x^2}{(x^2-1)^3}=\dfrac{-2x^2+2+8x^2}{(x^2-1)^3}=\dfrac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}=\dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}.
Il numeratore 2(3x^2+1) è sempre positivo, quindi il segno dipende da (x^2-1)^3, cioè da x^2-1:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | verso l’alto |
| (-1,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: la derivata seconda non si annulla e cambia segno solo sui due poli. Il massimo in (0,-1) cade nel ramo centrale concavo verso il basso.
6. Sintesi
Il grafico ha due rami esterni positivi e simmetrici, più un ramo centrale negativo con massimo relativo in (0,-1).
7. Grafico
Esercizio 2 — Dominio simmetrico e funzione dispari
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}.
1. Dominio e simmetria
Il denominatore è lo stesso dell’esercizio precedente, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\},
ancora simmetrico rispetto all’origine. Verifichiamo la simmetria sostituendo -x:
f(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2-1}=\dfrac{-x}{x^2-1}=-\dfrac{x}{x^2-1}=-f(x).
Stavolta f(-x)=-f(x): la funzione è dispari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’origine.
2. Intersezioni e segno
Assi: il numeratore x si annulla in x=0, dove anche f(0)=0: il grafico passa per l’origine, che è l’unica intersezione con entrambi gli assi.
Per il segno scriviamo f(x)=\dfrac{x}{(x-1)(x+1)} e combiniamo i segni di numeratore x e dei due fattori del denominatore:
| Intervallo | x | x+1 | x-1 | f(x) |
|---|---|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | - | - | - |
| (-1,0) | - | + | - | + |
| (0,1) | + | + | - | - |
| (1,+\infty) | + | + | + | + |
3. Asintoti
Nei punti esclusi x=\pm 1 il numeratore non si annulla, quindi sono asintoti verticali. Dalla tabella dei segni:
\lim_{x\to -1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to -1^+}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty.
Per l’asintoto orizzontale: il grado del denominatore (2) è maggiore di quello del numeratore (1), quindi all’infinito la frazione tende a 0 (il denominatore «vince»):
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2-1}=0.
La retta y=0 è un asintoto orizzontale.
4. Derivata e monotonia
Regola del quoziente con N=x (N'=1) e D=x^2-1 (D'=2x):
f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2-1)-x\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}.
Il numeratore -(x^2+1) è sempre negativo e il denominatore è un quadrato positivo, quindi f'(x)<0 ovunque: la funzione è decrescente su ogni intervallo del dominio (nessun estremo).
5. Concavità e flesso
Deriviamo f'(x)=-(x^2+1)(x^2-1)^{-2} con la regola del prodotto. La derivata di (x^2-1)^{-2} è -4x(x^2-1)^{-3}, e quella di -(x^2+1) è -2x:
f''(x)=-2x\,(x^2-1)^{-2}+\big[-(x^2+1)\big]\big[-4x(x^2-1)^{-3}\big].
Mettiamo in evidenza (x^2-1)^{-3}:
f''(x)=\dfrac{-2x(x^2-1)+4x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}=\dfrac{-2x^3+2x+4x^3+4x}{(x^2-1)^3}=\dfrac{2x^3+6x}{(x^2-1)^3}=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.
Il fattore x^2+3 è sempre positivo, quindi il numeratore ha lo stesso segno di x, mentre il denominatore ha il segno di x^2-1:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | verso il basso |
| (-1,0) | + | verso l’alto |
| (0,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
La derivata seconda si annulla e cambia segno in x=0: c’è un flesso nell’origine (0,0). È un flesso a simmetria centrale, coerente con il fatto che la funzione è dispari. Sui poli x=\pm1 il segno cambia, ma non sono flessi perché i punti sono esclusi dal dominio.
6. Sintesi
Il grafico è simmetrico rispetto all’origine. Il ramo centrale attraversa l’origine con un flesso ed è decrescente; i rami esterni si avvicinano all’asse x all’infinito.
7. Grafico
Esercizio 3 — Dominio simmetrico con asintoto obliquo
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-4}.
1. Dominio e simmetria
Il denominatore x^2-4 è una differenza di quadrati, (x-2)(x+2), e si annulla per
x=-2,\qquad x=2.
Quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\},
simmetrico rispetto all’origine. Verifichiamo la simmetria sostituendo -x (ricordando (-x)^3=-x^3 e (-x)^2=x^2):
f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{(-x)^2-4}=\dfrac{-x^3}{x^2-4}=-f(x).
La funzione è dispari: simmetria rispetto all’origine.
2. Intersezioni e segno
Il numeratore x^3 si annulla per x=0, dove f(0)=0: il grafico passa per l’origine.
Per il segno combiniamo i segni di x^3 (uguale a quello di x) e di x^2-4 (positivo fuori da [-2,2]):
| Intervallo | Segno di x^3 | Segno di x^2-4 | Segno di f(x) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,-2) | - | + | - |
| (-2,0) | - | - | + |
| (0,2) | + | - | - |
| (2,+\infty) | + | + | + |
3. Asintoti
Nei punti esclusi x=\pm 2 il numeratore non si annulla, quindi sono asintoti verticali. Dalla tabella dei segni:
\lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.
Qui il grado del numeratore (3) supera di uno quello del denominatore (2), quindi c’è un asintoto obliquo. Per trovarlo eseguiamo la divisione: scriviamo x^3=x(x^2-4)+4x (infatti x\cdot(x^2-4)=x^3-4x, e aggiungendo 4x torniamo a x^3), da cui
\dfrac{x^3}{x^2-4}=x+\dfrac{4x}{x^2-4}.
Il termine \dfrac{4x}{x^2-4} tende a 0 all’infinito (denominatore di grado più alto), quindi l’asintoto obliquo è
y=x.
4. Derivata e monotonia
Regola del quoziente con N=x^3 (N'=3x^2) e D=x^2-4 (D'=2x):
f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2-4)-x^3\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{(x^2-4)^2}=\dfrac{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2}.
Raccogliamo x^2 al numeratore:
f'(x)=\dfrac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}.
Gli zeri vengono da x^2=0 e da x^2-12=0, cioè
x=0,\qquad x=-2\sqrt{3},\qquad x=2\sqrt{3}\quad(\text{perche }\sqrt{12}=2\sqrt{3}).
Il denominatore è un quadrato positivo e x^2\geq 0, quindi il segno di f' è quello di x^2-12 (positivo fuori da \pm 2\sqrt3\approx\pm 3{,}46):
| Intervallo | Andamento |
|---|---|
| (-\infty,-2\sqrt{3}) | crescente |
| (-2\sqrt{3},-2) | decrescente |
| (-2,2) | decrescente |
| (2,2\sqrt{3}) | decrescente |
| (2\sqrt{3},+\infty) | crescente |
In x=0 la derivata si annulla (per via del fattore x^2) ma non cambia segno: non è un estremo relativo. Lo capiremo meglio studiando la concavità.
5. Concavità e flesso
Conviene derivare la forma divisa f(x)=x+\dfrac{4x}{x^2-4}. Il termine x ha derivata seconda nulla, quindi basta derivare due volte g(x)=\dfrac{4x}{x^2-4}. Con la regola del quoziente:
g'(x)=\dfrac{4(x^2-4)-4x\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{-4x^2-16}{(x^2-4)^2}=-\dfrac{4(x^2+4)}{(x^2-4)^2}.
Derivando ancora e semplificando un fattore (x^2-4) si arriva a
f''(x)=g''(x)=\dfrac{8x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}.
Il fattore x^2+12 è sempre positivo, quindi il numeratore ha il segno di x e il denominatore quello di x^2-4:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-2) | - | verso il basso |
| (-2,0) | + | verso l’alto |
| (0,2) | - | verso il basso |
| (2,+\infty) | + | verso l’alto |
La derivata seconda si annulla e cambia segno in x=0: c’è un flesso nell’origine (0,0). Questo chiarisce il punto critico trovato prima: in x=0 la derivata prima si annulla senza dare un estremo perché si tratta di un flesso a tangente orizzontale. Sui poli x=\pm2 il segno di f'' cambia, ma non sono flessi: i punti sono esclusi.
6. Sintesi
Questo è il caso più ricco della scheda: il dominio simmetrico permette di riconoscere una funzione dispari, ma la presenza di due asintoti verticali, di un asintoto obliquo e di un flesso a tangente orizzontale nell’origine rende il grafico più articolato. La simmetria rispetto all’origine resta il controllo principale sul disegno finale.
7. Grafico
Esercizio 4 — Funzione fratta con valore assoluto
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-1}{|x|-2}.
Il valore assoluto al denominatore rende la funzione pari e costringe a trattarla a tratti: per x\geq 0 si ha |x|=x, per x<0 si ha |x|=-x.
1. Dominio e simmetria
Il denominatore si annulla quando |x|=2, cioè x=\pm 2:
D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.
Sostituendo -x, e usando |-x|=|x|:
f(-x)=\dfrac{(-x)^2-1}{|-x|-2}=\dfrac{x^2-1}{|x|-2}=f(x).
La funzione è pari: simmetrica rispetto all’asse y. Basta studiarla per x\geq 0 e riflettere.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{0-1}{0-2}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}.
Asse x: numeratore nullo, x^2-1=0\implies x=\pm 1 (entrambi nel dominio).
Per il segno, sul ramo x\geq 0 studiamo \dfrac{x^2-1}{x-2}: numeratore positivo fuori da [-1,1], denominatore positivo per x>2. Per simmetria il ramo x<0 è speculare.
3. Asintoti
I due punti esclusi x=\pm 2 danno asintoti verticali (il numeratore lì vale 3\neq 0).
Per il comportamento all’infinito trattiamo i due rami separatamente. Per x>0, f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-2}; eseguendo la divisione, \dfrac{x^2-1}{x-2}=x+2+\dfrac{3}{x-2}, quindi a destra c’è l’asintoto obliquo
y=x+2 \qquad (x\to +\infty).
Per x<0, f(x)=\dfrac{x^2-1}{-x-2}=-\dfrac{x^2-1}{x+2}=-x+2-\dfrac{3}{x+2}, quindi a sinistra l’asintoto obliquo è il simmetrico
y=-x+2 \qquad (x\to -\infty).
I due obliqui sono speculari rispetto all’asse y (coerente con la parità) e si incontrano idealmente in (0,2).
4. Derivata e monotonia
Sul ramo x>0 deriviamo f(x)=x+2+\dfrac{3}{x-2}:
f'(x)=1-\dfrac{3}{(x-2)^2}.
Si annulla per (x-2)^2=3, cioè x=2\pm\sqrt3. Per x>0 entrambe valgono: x=2-\sqrt3\approx 0{,}27 e x=2+\sqrt3\approx 3{,}73.
| Intervallo (x>0) | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (0,2-\sqrt3) | + | crescente |
| (2-\sqrt3,2) | - | decrescente |
| (2,2+\sqrt3) | - | decrescente |
| (2+\sqrt3,+\infty) | + | crescente |
In x=2-\sqrt3 massimo relativo, in x=2+\sqrt3 minimo relativo. Valori (dalla forma divisa, con x-2=\mp\sqrt3):
f(2-\sqrt3)=4-2\sqrt3\approx 0{,}54,\qquad f(2+\sqrt3)=4+2\sqrt3\approx 7{,}46.
Per simmetria, sul ramo x<0 ci sono un massimo in x=-(2-\sqrt3) e un minimo in x=-(2+\sqrt3) con gli stessi valori.
Nota sul punto x=0: lì il valore assoluto ha uno spigolo. Le derivate dei due rami in 0 hanno segni opposti (per parità), quindi x=0 è un punto angoloso, non derivabile, ma è comunque un punto di massimo locale del tratto centrale (f(0)=\dfrac{1}{2}).
5. Sintesi
Funzione pari con due asintoti verticali (x=\pm2) e due asintoti obliqui simmetrici (y=x+2 a destra, y=-x+2 a sinistra). Zeri in \pm1, punto angoloso in \left(0,\dfrac{1}{2}\right), una coppia simmetrica di massimi e minimi relativi. È il caso che mostra come il valore assoluto «spezzi» lo studio in due e generi spigoli.
7. Grafico
Esercizio 5 — Funzione fratta irrazionale
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}.
La radice al denominatore restringe il dominio e produce due asintoti orizzontali diversi ai due infiniti.
1. Dominio e simmetria
Il radicando deve essere positivo (sotto radice e al denominatore, quindi \neq 0): x^2-1>0, cioè |x|>1. Il dominio è
D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
L’origine e tutto l’intervallo [-1,1] sono esclusi. Il dominio è simmetrico rispetto all’origine; verifichiamo la parità (il denominatore \sqrt{x^2-1} è pari perché dipende da x^2):
f(-x)=\dfrac{-x}{\sqrt{(-x)^2-1}}=\dfrac{-x}{\sqrt{x^2-1}}=-f(x).
La funzione è dispari: simmetria rispetto all’origine.
2. Intersezioni e segno
Nessuna intersezione con gli assi: x=0 è fuori dal dominio e il denominatore è sempre positivo. Il segno di f coincide con quello di x: negativa su (-\infty,-1), positiva su (1,+\infty).
3. Asintoti
Verticali. Avvicinandosi ai bordi del dominio il denominatore \sqrt{x^2-1}\to 0^+:
\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -1^-}\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-\infty,
(nel secondo il numeratore tende a -1). Le rette x=1 e x=-1 sono asintoti verticali, presenti da un solo lato (il dominio non esiste tra -1 e 1).
Orizzontali. Per x\to+\infty raccogliamo x^2 sotto radice: \sqrt{x^2-1}=|x|\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}. Per x>0, |x|=x, quindi
f(x)=\dfrac{x}{x\sqrt{1-1/x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-1/x^2}}\to 1.
Per x\to-\infty, |x|=-x, quindi il rapporto tende a \dfrac{x}{-x}=-1. Si hanno due asintoti orizzontali distinti:
y=1 \ (x\to+\infty),\qquad y=-1 \ (x\to-\infty).
È la novità di questo esercizio: una funzione razionale «classica» ha un solo asintoto orizzontale, qui la radice ne produce due, simmetrici.
4. Derivata e monotonia
Scriviamo f(x)=x(x^2-1)^{-1/2} e usiamo la regola del prodotto. La derivata di (x^2-1)^{-1/2} è -\dfrac{1}{2}(x^2-1)^{-3/2}\cdot 2x=-x(x^2-1)^{-3/2}:
f'(x)=(x^2-1)^{-1/2}+x\big[-x(x^2-1)^{-3/2}\big]=(x^2-1)^{-1/2}-x^2(x^2-1)^{-3/2}.
Mettiamo in evidenza (x^2-1)^{-3/2}:
f'(x)=\dfrac{(x^2-1)-x^2}{(x^2-1)^{3/2}}=\dfrac{-1}{(x^2-1)^{3/2}}.
Il denominatore (x^2-1)^{3/2} è positivo su tutto il dominio, quindi f'(x)<0: la funzione è decrescente su ciascun ramo, senza estremi.
5. Concavità
Derivando f'(x)=-(x^2-1)^{-3/2}:
f''(x)=\dfrac{3}{2}(x^2-1)^{-5/2}\cdot 2x=\dfrac{3x}{(x^2-1)^{5/2}}.
Il denominatore è positivo nel dominio, quindi il segno è quello di x:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Nessun flesso: il punto in cui f'' cambierebbe segno (x=0) non appartiene al dominio.
6. Sintesi
Funzione dispari definita solo per |x|>1. Ramo destro positivo e decrescente, da +\infty (vicino a x=1) verso l’asintoto y=1; ramo sinistro simmetrico, da y=-1 giù verso -\infty (vicino a x=-1). I due asintoti orizzontali distinti y=\pm1 sono la firma della radice al denominatore.
7. Grafico
Esercizio 6 — Funzione pari con numeratore quadratico
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-1}.
Stesso denominatore del primo esercizio, ma numeratore x^2: cambia il comportamento all’infinito (asintoto orizzontale y=1 invece di y=0).
1. Dominio e simmetria
Denominatore x^2-1=(x-1)(x+1), nullo in x=\pm1:
D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
Funzione pari: f(-x)=\dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-1}=\dfrac{x^2}{x^2-1}=f(x). Simmetria rispetto all’asse y.
2. Intersezioni e segno
f(0)=\dfrac{0}{-1}=0: il numeratore x^2 si annulla (doppio) in x=0, dove la curva tocca l’asse x. Per il segno, numeratore x^2\geq 0, quindi f ha il segno di x^2-1: positiva per |x|>1, negativa per |x|<1.
3. Asintoti
Conviene riscrivere come costante + resto dividendo x^2 per x^2-1 (cioè x^2=(x^2-1)+1):
f(x)=1+\dfrac{1}{x^2-1}.
In x=\pm1 il termine \dfrac{1}{x^2-1} esplode: asintoti verticali. Dalla tabella dei segni:
\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty,
e speculare in x=-1. All’infinito \dfrac{1}{x^2-1}\to 0, quindi y=1 è asintoto orizzontale.
4. Derivata e monotonia
Dalla forma f(x)=1+(x^2-1)^{-1}:
f'(x)=-(x^2-1)^{-2}\cdot 2x=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}.
Il denominatore è positivo; il segno è quello di -2x, opposto a x:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | crescente |
| (-1,0) | + | crescente |
| (0,1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | - | decrescente |
In x=0 massimo relativo M(0,0) (vertice del ramo centrale, dove tocca l’asse x).
5. Concavità
Derivando f'(x)=-2x(x^2-1)^{-2} (stesso conto del primo esercizio):
f''(x)=\dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}.
Numeratore sempre positivo, segno dato da (x^2-1):
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | verso l’alto |
| (-1,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Nessun flesso; il massimo (0,0) cade nel ramo centrale concavo verso il basso.
6. Sintesi
Funzione pari con asintoti verticali x=\pm1 e orizzontale y=1. Ramo centrale: tocca l’asse x nell’origine (massimo) e scende a -\infty verso i due poli. Rami esterni: scendono da +\infty verso l’asintoto y=1. Rispetto a \dfrac{1}{x^2-1}, il numeratore quadratico alza l’asintoto orizzontale da y=0 a y=1 e porta il massimo sull’asse x.