Questa scheda mostra come riconoscere una discontinuità eliminabile. Il punto chiave è sempre lo stesso: un fattore comune tra numeratore e denominatore si può semplificare per studiare il limite, ma il punto escluso resta fuori dal dominio della funzione originale.
Esercizio 1 — Foro su una retta crescente
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}.
1. Dominio
Il denominatore x-1 deve essere diverso da zero:
x-1\neq 0 \implies x\neq 1.
Quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Attenzione: anche se più avanti la frazione si semplificherà, il punto x=1 resta fuori dal dominio. È qui che nascerà il «foro» del grafico.
2. Semplificazione
Il numeratore è una differenza di quadrati, che si scompone con la regola a^2-b^2=(a-b)(a+b):
x^2-1=(x-1)(x+1).
Quindi, finché x\neq 1 (così x-1\neq 0 e possiamo dividere per esso), il fattore (x-1) si semplifica:
f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
La funzione coincide dunque con la retta y=x+1 in ogni punto del dominio, ma non in x=1, dove non è definita.
3. Punto escluso
Per capire cosa succede dove la funzione «manca», calcoliamo il limite usando la forma semplificata:
\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2.
Il limite esiste ed è finito: la funzione si avvicina al valore 2 ma in x=1 non è definita. Questo tipo di punto si chiama discontinuità eliminabile (o «foro»): basterebbe aggiungere il punto (1,2) per rendere la funzione continua. Indichiamo il foro con
P(1,2).
Poiché il limite è finito, non c’è asintoto verticale: il polo del denominatore è stato «cancellato» dal fattore uguale al numeratore.
4. Intersezioni e monotonia
La forma semplificata è y=x+1, con x\neq 1.
Asse y: f(0)=0+1=1.
Asse x: x+1=0\implies x=-1 (appartiene al dominio).
La derivata di una retta è costante:
f'(x)=1>0,
quindi la funzione è crescente su (-\infty,1) e su (1,+\infty).
5. Concavità
La forma semplificata è una retta, quindi
f''(x)=0
su tutto il dominio: il grafico non ha concavità né flessi. La discontinuità eliminabile non altera questo fatto, perché toglie solo un punto da una retta.
6. Sintesi
Il grafico è la retta y=x+1 privata del punto (1,2).
7. Grafico
Esercizio 2 — Foro in un punto diverso dall’origine
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}.
1. Dominio
Il denominatore x-2 si annulla per x=2, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
2. Semplificazione
Il numeratore è di nuovo una differenza di quadrati (a^2-b^2 con a=x, b=2):
x^2-4=(x-2)(x+2).
Per x\neq 2 semplifichiamo il fattore comune (x-2):
f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.
La funzione coincide con la retta y=x+2 tranne che in x=2, dove non è definita.
3. Punto escluso
Calcoliamo il limite con la forma semplificata:
\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2=4.
Limite finito: c’è una discontinuità eliminabile, cioè un foro in
P(2,4),
e nessun asintoto verticale.
4. Intersezioni, segno e monotonia
Asse y: f(0)=0+2=2.
Asse x: x+2=0\implies x=-2 (appartiene al dominio).
Il segno è quello di x+2 (con x=2 escluso): la funzione è negativa per x<-2 e positiva per x>-2, a parte il foro.
La derivata della retta è costante:
f'(x)=1>0,
quindi la funzione è crescente su ciascun intervallo del dominio.
5. Concavità
Anche qui la forma semplificata è una retta:
f''(x)=0.
Nessuna concavità e nessun flesso; il foro toglie solo il punto (2,4).
6. Sintesi
Il grafico è la retta y=x+2 con un foro in (2,4). L’esercizio è identico nella logica al precedente, ma sposta il punto escluso e costringe a controllare dominio, zero e foro separatamente.
7. Grafico
Esercizio 3 — Foro e asintoto verticale nella stessa funzione
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}.
1. Dominio
Scomponiamo il denominatore, un trinomio di secondo grado. Cerchiamo due numeri con somma 3 e prodotto 2: sono 1 e 2, quindi
x^2-3x+2=(x-1)(x-2).
Si annulla in x=1 e x=2, perciò
D=\mathbb{R}\setminus\{1,2\}.
2. Semplificazione
Scomponiamo anche il numeratore (differenza di quadrati):
x^2-1=(x-1)(x+1).
Numeratore e denominatore hanno il fattore comune (x-1). Per x\neq 1 e x\neq 2 lo semplifichiamo:
f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{x+1}{x-2}.
I due punti esclusi hanno però nature diverse: il fattore (x-1), presente in alto e in basso, si cancella e dà una discontinuità eliminabile (un foro) in x=1; il fattore (x-2) resta solo al denominatore e darà un asintoto verticale in x=2. Questo esercizio mette insieme i due fenomeni.
3. Foro
Il limite in x=1 si calcola con la forma semplificata:
\lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{1+1}{1-2}=\dfrac{2}{-1}=-2.
Limite finito: foro in
P(1,-2).
4. Asintoto verticale e orizzontale
In x=2 la forma semplificata ha numeratore 2+1=3>0 e denominatore che tende a 0 cambiando segno:
- a sinistra: \dfrac{(+)}{(-)}=(-)\to-\infty;
- a destra: \dfrac{(+)}{(+)}=(+)\to+\infty.
\lim_{x\to 2^-}\dfrac{x+1}{x-2}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}\dfrac{x+1}{x-2}=+\infty.
La retta x=2 è un asintoto verticale.
Per l’asintoto orizzontale, numeratore e denominatore hanno lo stesso grado (1) e coefficiente principale 1:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x-2}=1,
quindi y=1 è un asintoto orizzontale.
5. Intersezioni e monotonia
Asse y: f(0)=\dfrac{0+1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}.
Asse x: dalla forma semplificata, x+1=0\implies x=-1, che appartiene al dominio.
Deriviamo la forma semplificata con la regola del quoziente (N=x+1, D=x-2, N'=D'=1):
f'(x)=\dfrac{1\cdot(x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2}=\dfrac{-3}{(x-2)^2}.
Numeratore -3<0 e denominatore quadrato positivo, quindi f'(x)<0: la funzione è decrescente su ogni intervallo del dominio.
6. Concavità
Riscriviamo la forma semplificata come costante + resto (come nelle frazioni lineari su lineari): \dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{(x-2)+3}{x-2}=1+\dfrac{3}{x-2}. Derivando due volte f(x)=1+3(x-2)^{-1}:
f'(x)=-3(x-2)^{-2},\qquad f''(x)=\dfrac{6}{(x-2)^3}.
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,2) | - | verso il basso |
| (2,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: dopo aver semplificato il foro, resta una frazione lineare su lineare, la cui concavità cambia solo sul polo x=2. Il foro in (1,-2) cade nel ramo concavo verso il basso.
7. Sintesi
Il grafico si comporta come quello di \dfrac{x+1}{x-2}, ma con un foro aggiuntivo in (1,-2). Questo esercizio è più completo perché distingue nello stesso studio tre oggetti diversi: punto escluso eliminabile, asintoto verticale e asintoto orizzontale.
7. Grafico
Esercizio 4 — Foro e asintoto con trinomi da scomporre
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4}.
Qui sia il numeratore sia il denominatore sono trinomi da scomporre prima di poter semplificare.
1. Dominio
Scomponiamo il denominatore (differenza di quadrati): x^2-4=(x-2)(x+2), che si annulla in x=\pm 2. Quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.
2. Semplificazione
Scomponiamo il numeratore x^2-x-2: cerchiamo due numeri con somma -1 e prodotto -2, cioè -2 e +1:
x^2-x-2=(x-2)(x+1).
Il fattore comune è (x-2). Per x\neq 2 e x\neq -2:
f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x+1}{x+2}.
Come nell’esercizio precedente, i due punti esclusi hanno nature diverse: (x-2) si semplifica e dà un foro in x=2; (x+2) resta al denominatore e dà un asintoto verticale in x=-2.
3. Foro
Limite in x=2 dalla forma semplificata:
\lim_{x\to 2}f(x)=\dfrac{2+1}{2+2}=\dfrac{3}{4}.
Foro in P\left(2,\dfrac{3}{4}\right).
4. Asintoti, intersezioni e segno
In x=-2 il numeratore semplificato vale -2+1=-1\neq 0, denominatore \to 0 cambiando segno:
\lim_{x\to -2^-}\dfrac{x+1}{x+2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^+}\dfrac{x+1}{x+2}=-\infty.
Asintoto verticale x=-2. Asintoto orizzontale: gradi uguali, coefficienti principali 1, quindi
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x+2}=1,\qquad y=1.
Assi: f(0)=\dfrac{0+1}{0+2}=\dfrac{1}{2}; zero del numeratore in x=-1 (nel dominio).
5. Derivata e monotonia
Dalla forma f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}=1-\dfrac{1}{x+2}:
f'(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}>0.
La funzione è crescente su ogni intervallo del dominio, senza estremi.
6. Concavità
f''(x)=-\dfrac{2}{(x+2)^3}.
Il segno è opposto a quello di (x+2)^3:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-2) | + | verso l’alto |
| (-2,+\infty) | - | verso il basso |
Nessun flesso: la concavità cambia solo sul polo. Il foro \left(2,\dfrac{3}{4}\right) cade nel ramo concavo verso il basso.