Questa scheda raccoglie tre esercizi in cui la difficoltà principale non è il dominio, ma lo studio della derivata prima. In tutti i casi il segno di f'(x) dipende da un trinomio di secondo grado.
Esercizio 1 — Derivata quadratica con asintoto verticale
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}.
1. Dominio e divisione
Il denominatore x+1 si annulla per x=-1, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Il numeratore ha grado 2 e il denominatore grado 1: dividiamo x^2+1 per x+1 (il numeratore è x^2+0\cdot x+1):
- \dfrac{x^2}{x}=x; poi x\cdot(x+1)=x^2+x; sottraendo resta -x+1;
- \dfrac{-x}{x}=-1; poi -1\cdot(x+1)=-x-1; sottraendo resta 2.
Quoziente x-1, resto 2, quindi
\dfrac{x^2+1}{x+1}=x-1+\dfrac{2}{x+1}.
L’asintoto obliquo è la retta y=x-1. (In questa scheda l’asintoto obliquo non è il punto centrale: serve solo per riscrivere la funzione in forma comoda da derivare.)
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{0^2+1}{0+1}=\dfrac{1}{1}=1, cioè il punto (0,1).
Asse x: il numeratore x^2+1\geq 1 non si annulla mai, quindi nessuna intersezione con l’asse x.
Poiché il numeratore è sempre positivo, il segno di f è quello del denominatore x+1: la funzione è negativa per x<-1 e positiva per x>-1.
3. Asintoto verticale
Vicino a x=-1 il numeratore tende a (-1)^2+1=2>0, il denominatore tende a 0 cambiando segno:
- a sinistra: \dfrac{(+)}{(-)}=(-)\to-\infty;
- a destra: \dfrac{(+)}{(+)}=(+)\to+\infty.
\lim_{x\to -1^-}\dfrac{x^2+1}{x+1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to -1^+}\dfrac{x^2+1}{x+1}=+\infty.
La retta x=-1 è un asintoto verticale.
4. Derivata prima
Regola del quoziente con N=x^2+1 (N'=2x) e D=x+1 (D'=1):
f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}.
Sviluppiamo il numeratore: 2x(x+1)=2x^2+2x, e sottraendo (x^2+1) otteniamo 2x^2+2x-x^2-1=x^2+2x-1. Quindi
f'(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.
Il denominatore è un quadrato, sempre positivo: il segno di f' è quello del trinomio x^2+2x-1. Cerchiamone le radici con la formula risolutiva (a=1,b=2,c=-1):
x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\dfrac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.
Le radici sono x=-1-\sqrt2\approx -2{,}41 e x=-1+\sqrt2\approx 0{,}41. Il trinomio è una parabola con la concavità verso l’alto, quindi è positivo fuori dalle radici e negativo tra di esse (con x=-1 escluso):
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1-\sqrt{2}) | + | crescente |
| (-1-\sqrt{2},-1) | - | decrescente |
| (-1,-1+\sqrt{2}) | - | decrescente |
| (-1+\sqrt{2},+\infty) | + | crescente |
5. Estremi e sintesi
In x=-1-\sqrt{2} la derivata passa da + a -: massimo relativo. In x=-1+\sqrt{2} passa da - a +: minimo relativo.
Per i valori usiamo la forma divisa f(x)=x-1+\dfrac{2}{x+1}, comoda perché in questi punti x+1=\pm\sqrt2 e quindi \dfrac{2}{x+1}=\pm\sqrt2:
f(-1-\sqrt{2})=(-1-\sqrt{2})-1+\dfrac{2}{-\sqrt{2}}=-2-\sqrt{2}-\sqrt{2}=-2-2\sqrt{2},
f(-1+\sqrt{2})=(-1+\sqrt{2})-1+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-2+\sqrt{2}+\sqrt{2}=-2+2\sqrt{2}.
Quindi il massimo è \left(-1-\sqrt2,\,-2-2\sqrt2\right)\approx(-2{,}41,\,-4{,}83) e il minimo è \left(-1+\sqrt2,\,-2+2\sqrt2\right)\approx(0{,}41,\,0{,}83).
Questo primo esercizio è il caso base della scheda: la derivata ha un numeratore quadratico e il denominatore è un quadrato, quindi il segno si decide studiando solo il trinomio.
6. Concavità
Deriviamo la forma divisa f(x)=x-1+2(x+1)^{-1}:
f'(x)=1-2(x+1)^{-2},\qquad f''(x)=-2\cdot(-2)(x+1)^{-3}=\dfrac{4}{(x+1)^3}.
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | verso il basso |
| (-1,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: la presenza dell’asintoto verticale rende la derivata seconda della stessa forma di una frazione semplice, e il segno cambia solo sul polo x=-1. Il massimo relativo cade nel ramo concavo verso il basso, il minimo nel ramo concavo verso l’alto.
7. Grafico
Esercizio 2 — Derivata quadratica senza punti esclusi
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x^2+1}.
1. Dominio
Il denominatore x^2+1 è somma di un quadrato e di 1: vale almeno 1, quindi non si annulla mai. Il dominio è tutta la retta reale:
D=\mathbb{R}.
Non essendoci punti esclusi, non ci sono asintoti verticali: è la novità rispetto agli esercizi con un polo.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{0+0+3}{0+1}=\dfrac{3}{1}=3.
Asse x: serve x^2+2x+3=0. Calcoliamo il discriminante \Delta=b^2-4ac con a=1,b=2,c=3:
\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0.
Il discriminante è negativo, quindi il numeratore non ha radici reali e non si annulla mai: nessuna intersezione con l’asse x. Inoltre, essendo una parabola con concavità verso l’alto e senza zeri, è sempre positivo. Anche il denominatore è positivo, perciò f(x)>0 ovunque.
3. Asintoto orizzontale
Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado (2) e lo stesso coefficiente principale (1), quindi all’infinito il rapporto tende a 1:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+2x+3}{x^2+1}=1.
La retta y=1 è un asintoto orizzontale.
4. Derivata prima
Regola del quoziente con N=x^2+2x+3 (N'=2x+2) e D=x^2+1 (D'=2x):
f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x^2+1)-(x^2+2x+3)\,2x}{(x^2+1)^2}.
Sviluppiamo i due prodotti al numeratore:
(2x+2)(x^2+1)=2x^3+2x+2x^2+2, 2x(x^2+2x+3)=2x^3+4x^2+6x.
Sottraendo:
(2x^3+2x^2+2x+2)-(2x^3+4x^2+6x)=-2x^2-4x+2=-2(x^2+2x-1).
Quindi
f'(x)=-\dfrac{2(x^2+2x-1)}{(x^2+1)^2}.
Il denominatore è sempre positivo e davanti c’è un segno meno: il segno di f' è quello di x^2+2x-1 cambiato di segno. Le radici del trinomio (stesse del primo esercizio) sono
x=-1\pm\sqrt{2}.
Il trinomio è positivo fuori dalle radici, quindi f'=-2\cdot(\text{trinomio})/(\dots) è negativo lì e positivo tra le radici:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1-\sqrt{2}) | - | decrescente |
| (-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}) | + | crescente |
| (-1+\sqrt{2},+\infty) | - | decrescente |
5. Estremi
In x=-1-\sqrt{2} la derivata passa da - a +: minimo relativo. In x=-1+\sqrt{2} passa da + a -: massimo relativo.
Per i valori usiamo un trucco utile quando il punto critico annulla un trinomio: da x^2+2x-1=0 ricaviamo x^2=1-2x e lo sostituiamo nella funzione, abbassandone il grado:
f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x^2+1}=\dfrac{(1-2x)+2x+3}{(1-2x)+1}=\dfrac{4}{2-2x}=\dfrac{2}{1-x}.
Ora basta valutare \dfrac{2}{1-x} nei due punti (razionalizzando):
f(-1+\sqrt{2})=\dfrac{2}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{2(2+\sqrt{2})}{2}=2+\sqrt{2}.
Quindi minimo m\left(-1-\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}\right) e massimo M\left(-1+\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}\right).
6. Concavità e flessi
Qui, a differenza dei casi con asintoto verticale, il dominio è tutto \mathbb{R} e la funzione è continua: la derivata seconda può annullarsi e dare flessi veri. Derivando f'(x)=-\dfrac{2(x^2+2x-1)}{(x^2+1)^2} e semplificando un fattore (x^2+1):
f''(x)=\dfrac{4\,(x^3+3x^2-3x-1)}{(x^2+1)^3}.
Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno dipende dal cubo al numeratore. Per fattorizzarlo proviamo i divisori interi del termine noto (\pm 1): sostituendo x=1 si ha 1+3-3-1=0, quindi x=1 è una radice e (x-1) è un fattore. Dividendo il cubo per (x-1) si ottiene
x^3+3x^2-3x-1=(x-1)(x^2+4x+1).
Le altre radici vengono da x^2+4x+1=0, cioè x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm\sqrt{3}. Le tre radici, in ordine crescente, sono
x=-2-\sqrt{3},\qquad x=-2+\sqrt{3},\qquad x=1.
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-2-\sqrt{3}) | - | verso il basso |
| (-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}) | + | verso l’alto |
| (-2+\sqrt{3},1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
La derivata seconda cambia segno in tutti e tre i punti, quindi ci sono tre flessi, di ascisse -2-\sqrt{3}, -2+\sqrt{3} e 1. In x=1 il valore è f(1)=\dfrac{6}{2}=3, quindi un flesso è \left(1,3\right).
Commento. Questo esercizio aggiunge due controlli importanti: la funzione non ha asintoti verticali, ma la derivata prima resta non banale e, soprattutto, la derivata seconda produce flessi reali — cosa impossibile quando la concavità è governata solo da un polo.
7. Grafico
Esercizio 3 — Derivata quadratica con denominatore sempre positivo
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+2}.
1. Dominio
Per capire se il denominatore può annullarsi lo riscriviamo con il completamento del quadrato: x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1. È la somma di un quadrato e di 1, quindi vale almeno 1 e non si annulla mai. Il dominio è
D=\mathbb{R}.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{0+1}{0+0+2}=\dfrac{1}{2}.
Asse x: il numeratore x^2+1\geq 1 non si annulla mai, quindi nessuna intersezione. Numeratore e denominatore sono entrambi sempre positivi, perciò
f(x)>0 \qquad \text{per ogni } x\in\mathbb{R}.
3. Asintoto orizzontale
Stesso grado (2) e stesso coefficiente principale (1) per numeratore e denominatore:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+2}=1.
La retta y=1 è un asintoto orizzontale.
4. Derivata prima
Regola del quoziente con N=x^2+1 (N'=2x) e D=x^2+2x+2 (D'=2x+2):
f'(x)=\dfrac{2x(x^2+2x+2)-(x^2+1)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}.
Sviluppiamo i prodotti al numeratore:
2x(x^2+2x+2)=2x^3+4x^2+4x, (x^2+1)(2x+2)=2x^3+2x^2+2x+2.
Sottraendo: 4x^2-2x^2+4x-2x-2=2x^2+2x-2=2(x^2+x-1). Quindi
f'(x)=\dfrac{2(x^2+x-1)}{(x^2+2x+2)^2}.
Il denominatore è sempre positivo: il segno di f' è quello del trinomio x^2+x-1. Le radici (formula risolutiva con a=1,b=1,c=-1) sono
x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Numericamente \dfrac{-1-\sqrt5}{2}\approx -1{,}62 e \dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx 0{,}62. Il trinomio (parabola verso l’alto) è positivo fuori dalle radici e negativo tra di esse:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| \left(-\infty,\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right) | + | crescente |
| \left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right) | - | decrescente |
| \left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},+\infty\right) | + | crescente |
5. Estremi e sintesi
In x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} la derivata passa da + a -: massimo relativo. In x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} passa da - a +: minimo relativo.
Per i valori usiamo lo stesso trucco dell’esercizio precedente. Nei punti critici vale x^2+x-1=0, cioè x^2=1-x; sostituendo nel numeratore e nel denominatore:
f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+2}=\dfrac{(1-x)+1}{(1-x)+2x+2}=\dfrac{2-x}{x+3}.
Valutiamo \dfrac{2-x}{x+3} nei due punti. Per il massimo, x=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}:
2-x=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2},\qquad x+3=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2},\qquad f=\dfrac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.
(L’ultimo passaggio si ottiene moltiplicando sopra e sotto per 5+\sqrt5.) Analogamente per il minimo, x=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}, si trova \dfrac{3-\sqrt5}{2}. Quindi
M\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right),\qquad m\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right).
Il grafico è sempre positivo, tende all’asintoto orizzontale y=1 ai due infiniti, raggiunge un massimo nel primo punto critico e un minimo nel secondo.
6. Concavità e flessi
Anche qui il dominio è \mathbb{R} e la funzione è continua, quindi attendiamo flessi reali. Derivando f'(x)=\dfrac{2(x^2+x-1)}{(x^2+2x+2)^2} e semplificando un fattore (x^2+2x+2):
f''(x)=-\dfrac{2\,(2x^3+3x^2-6x-6)}{(x^2+2x+2)^3}.
Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno è l’opposto di quello del cubo g(x)=2x^3+3x^2-6x-6. Questo cubo non ha radici razionali, ma cambia segno tre volte: valutandolo si trova
g(-3)<0,\quad g(-2)>0,\quad g(0)<0,\quad g(2)>0,
quindi ha tre radici reali, una in ciascuno degli intervalli (-3,-2), (-1,0) e (1,2). Indichiamole con r_1<r_2<r_3.
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,r_1) | + | verso l’alto |
| (r_1,r_2) | - | verso il basso |
| (r_2,r_3) | + | verso l’alto |
| (r_3,+\infty) | - | verso il basso |
Ci sono quindi tre flessi, di ascisse irrazionali r_1,r_2,r_3, individuabili numericamente ma non esprimibili con radici semplici.
Commento. Quando il denominatore non ha radici reali, la derivata seconda è una cubica fratta che può avere più zeri: a differenza dei casi con asintoto verticale, la concavità non è governata da un polo ma da veri flessi interni al grafico. Non sempre le loro ascisse sono numeri «belli»: riconoscere il numero e la posizione dei flessi conta più del valore esatto.
7. Grafico
Esercizio 4 — Funzione pari con un solo estremo e due flessi
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}.
Caso pulito: dominio \mathbb{R}, un solo estremo, due flessi a coordinate semplici.
1. Dominio e simmetria
Il denominatore x^2+1\geq 1 non si annulla mai:
D=\mathbb{R}.
Funzione pari: f(-x)=\dfrac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1}=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}=f(x).
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{-1}{1}=-1. Asse x: numeratore x^2-1=0\implies x=\pm1. Segno: il denominatore è sempre positivo, quindi f ha il segno di x^2-1, negativa in (-1,1) e positiva fuori.
3. Asintoto orizzontale
Riscriviamo come costante + resto (x^2-1=(x^2+1)-2):
f(x)=1-\dfrac{2}{x^2+1}.
Il termine \dfrac{2}{x^2+1}\to 0 all’infinito, quindi y=1 è asintoto orizzontale (raggiunto dal basso, perché si sottrae sempre qualcosa di positivo). Nessun asintoto verticale.
4. Derivata e monotonia
Dalla forma f(x)=1-2(x^2+1)^{-1}:
f'(x)=-2\cdot\big[-(x^2+1)^{-2}\cdot 2x\big]=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}.
Il denominatore è positivo; il segno è quello di 4x:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | decrescente |
| (0,+\infty) | + | crescente |
In x=0 unico estremo, minimo m(0,-1). La funzione scende da y=1 (a -\infty) fino al minimo, poi risale verso y=1 (a +\infty).
5. Concavità e flessi
Derivando f'(x)=4x(x^2+1)^{-2}:
f''(x)=\dfrac{4(x^2+1)-4x\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}.
Il denominatore è positivo; il segno è quello di 1-3x^2, positivo per |x|<\dfrac{1}{\sqrt3}:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| \left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt3}\right) | - | verso il basso |
| \left(-\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3}\right) | + | verso l’alto |
| \left(\dfrac{1}{\sqrt3},+\infty\right) | - | verso il basso |
Due flessi simmetrici in x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\approx\pm0{,}58, con f\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=\dfrac{1/3-1}{1/3+1}=-\dfrac{1}{2}. Il minimo (0,-1) cade nel tratto centrale concavo verso l’alto.
6. Sintesi
Funzione pari, definita ovunque, compresa tra il minimo y=-1 (nell’origine) e l’asintoto y=1 (mai raggiunto). Taglia l’asse x in \pm1; due flessi simmetrici raccordano la conca centrale con i rami che salgono verso y=1. È lo studio «completo» più lineare: un estremo, due flessi, tutto a coordinate semplici.