Le funzioni razionali fratte sono già trattate in dettaglio nelle schede su asintoto orizzontale, asintoto obliquo, ramo parabolico e discontinuità eliminabile.
Questa scheda raccoglie i casi di confine che combinano più caratteristiche in una sola funzione: numeratori e denominatori dello stesso grado con estremi irrazionali, asintoto obliquo e polo nello stesso grafico, doppio polo con asintoto orizzontale. Sono i casi che capitano agli esami più impegnativi. Si applica lo schema generale, con la divisione polinomiale come mossa ricorrente.
Esercizio 1 — Numeratore di secondo grado su denominatore irriducibile
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2+1}.
1. Dominio e simmetrie
Il denominatore x^2+1 è sempre \geq 1>0: D=\mathbb{R}, nessun asintoto verticale. La funzione non è né pari né dispari (il numeratore mescola grado 2 e grado 1).
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0. Asse x: x^2+x=x(x+1)=0 in x=0 e x=-1. Segno: il denominatore è positivo, quindi il segno è quello del numeratore x(x+1): positivo per x<-1 o x>0, negativo in (-1,0).
3. Limiti e asintoti
Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado (2), quindi il limite all’infinito è il rapporto dei coefficienti direttori:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+x}{x^2+1}=\dfrac{1}{1}=1.
La retta y=1 è asintoto orizzontale bilatero. (Equivalente: f(x)=1+\dfrac{x-1}{x^2+1}, e il termine fratto tende a 0.)
4. Derivata prima
Regola del quoziente, con N=x^2+x (N'=2x+1) e D=x^2+1 (D'=2x):
f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+1)-(x^2+x)(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}.
Il denominatore è positivo; gli estremi vengono dal numeratore -x^2+2x+1=0, cioè x^2-2x-1=0, da cui x=1\pm\sqrt2. La parabola -x^2+2x+1 ha concavità verso il basso, positiva tra le radici:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,1-\sqrt2) | - | decrescente |
| (1-\sqrt2,1+\sqrt2) | + | crescente |
| (1+\sqrt2,+\infty) | - | decrescente |
In x=1-\sqrt2\approx-0{,}41 un minimo \approx-0{,}21; in x=1+\sqrt2\approx2{,}41 un massimo \approx1{,}21. Il massimo supera leggermente l’asintoto y=1: la curva «scavalca» l’asintoto e poi vi ridiscende — comportamento tipico quando l’asintoto orizzontale è attraversato (qui in x=1, dove f=1).
5. Grafico
Esercizio 2 — Asintoto obliquo e polo combinati
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2}.
1. Dominio e forma divisa
Il denominatore x^2 si annulla in x=0, quindi D=\mathbb{R}\setminus\{0\}. Spezziamo la frazione:
f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2}=\dfrac{x^3}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=x+\dfrac{1}{x^2}.
Il termine \displaystyle \dfrac{1}{x^2} tende a 0 all’infinito: la funzione ha asintoto obliquo y=x.
2. Intersezioni e segno
Asse y escluso. Asse x: x^3+1=0 in x=-1. Segno: il denominatore x^2>0 (per x\neq 0), quindi il segno è quello di x^3+1: positivo per x>-1 (escluso 0), negativo per x<-1.
3. Asintoti
Verticale: vicino a x=0 il termine \displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to+\infty (denominatore positivo da entrambi i lati, polo di ordine pari):
\lim_{x\to 0^\pm}\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)=+\infty.
La retta x=0 è asintoto verticale, con la funzione che tende a +\infty da entrambi i lati. Obliquo: y=x a \pm\infty, come visto. Coesistono quindi un polo e un asintoto inclinato.
4. Derivata prima
Da f(x)=x+x^{-2}:
f'(x)=1-2x^{-3}=\dfrac{x^3-2}{x^3}.
Studiamo il segno del rapporto \displaystyle \dfrac{x^3-2}{x^3} (entrambi i fattori hanno il segno della rispettiva base):
| Intervallo | x^3-2 | x^3 | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | - | + | crescente |
| (0,\sqrt[3]{2}) | - | + | - | decrescente |
| (\sqrt[3]{2},+\infty) | + | + | + | crescente |
Sul ramo negativo la funzione è sempre crescente (nessun estremo). Sul ramo positivo c’è un minimo in x=\sqrt[3]{2}\approx1{,}26, di valore f(\sqrt[3]2)=\sqrt[3]2+\dfrac{1}{\sqrt[3]4}=\sqrt[3]2+2^{-2/3}\approx1{,}89.
5. Derivata seconda
Da f'(x)=1-2x^{-3}: f''(x)=6x^{-4}=\dfrac{6}{x^4}>0 per ogni x\neq 0. La funzione è convessa su entrambi i rami, nessun flesso.
6. Grafico
Esercizio 3 — Doppio polo con asintoto orizzontale
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-4}.
1. Dominio, simmetrie e forma divisa
Il denominatore x^2-4=(x-2)(x+2) si annulla in x=\pm2: D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. La funzione è pari (f(-x)=f(x), solo potenze pari). Forma divisa utile: f(x)=1+\dfrac{4}{x^2-4}.
2. Intersezioni e segno
Asse y: \displaystyle f(0)=\dfrac{0}{-4}=0. Asse x: x^2=0 in x=0 (zero doppio). Segno: il numeratore x^2\geq 0; il segno dipende dal denominatore x^2-4, positivo per |x|>2 e negativo per |x|<2:
| Zona | f(x) |
|---|---|
| \lvert x\rvert>2 | + |
| 0<\lvert x\rvert<2 | - |
| x=0 | 0 |
3. Asintoti
Orizzontale: gradi uguali, \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2-4}=1, quindi y=1 bilatero. Verticali: vicino a x=2, il numeratore tende a 4>0 e il denominatore a 0 cambiando segno; per x=-2 idem (simmetrico):
\lim_{x\to 2^+}f=+\infty,\quad \lim_{x\to 2^-}f=-\infty,\qquad \lim_{x\to -2^-}f=+\infty,\quad \lim_{x\to -2^+}f=-\infty.
Due asintoti verticali x=\pm2.
4. Derivata prima
Dalla forma divisa f(x)=1+4(x^2-4)^{-1}:
f'(x)=4\cdot(-1)(x^2-4)^{-2}\cdot 2x=\dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}.
Il denominatore è un quadrato positivo; il segno è quello di -8x: positivo per x<0, negativo per x>0. In x=0 la derivata passa da + a -: massimo relativo (0,0). Nessun altro estremo (sui rami esterni la funzione è monotòna verso l’asintoto).
5. Derivata seconda
Derivando f'(x)=-8x(x^2-4)^{-2}: f''(x)=\dfrac{8(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}. Il numeratore 8(3x^2+4)>0 sempre; il segno è quello di (x^2-4)^3, cioè positivo per |x|>2, negativo per |x|<2. Nessun flesso (il numeratore non si annulla): concava verso il basso nella zona centrale (-2,2) attorno al massimo, verso l’alto sui rami esterni.
6. Grafico
Esercizio 4 — Asintoto obliquo con estremi su rami opposti
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}.
1. Dominio e forma divisa
Il denominatore si annulla in x=1: D=\mathbb{R}\setminus\{1\}. Per la divisione, notiamo che x^2-2x+2=(x-1)^2+1, quindi
f(x)=\dfrac{(x-1)^2+1}{x-1}=(x-1)+\dfrac{1}{x-1}.
L’asintoto obliquo è y=x-1.
2. Intersezioni e segno
Asse y: \displaystyle f(0)=\dfrac{2}{-1}=-2. Asse x: il numeratore x^2-2x+2 ha discriminante 4-8=-4<0, non si annulla mai: nessuno zero. Essendo il numeratore sempre positivo, il segno è quello di x-1: negativo per x<1, positivo per x>1.
3. Asintoti
Verticale: vicino a x=1 il termine \displaystyle \dfrac{1}{x-1} diverge, con segni opposti ai due lati:
Asintoto verticale x=1. Obliquo: y=x-1 a \pm\infty.
4. Derivata prima
Dalla forma divisa f(x)=(x-1)+(x-1)^{-1}:
f'(x)=1-(x-1)^{-2}=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}.
Il numeratore (x-1)^2-1=0 dà (x-1)^2=1, cioè x=0 e x=2. La differenza di quadrati (x-1)^2-1 è positiva fuori da [0,2]:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | + | crescente |
| (0,1) | - | decrescente |
| (1,2) | - | decrescente |
| (2,+\infty) | + | crescente |
In x=0 un massimo (relativo), f(0)=-2; in x=2 un minimo (relativo), f(2)=2. Come in altri casi con polo, il «massimo» (0,-2) sta più in basso del «minimo» (2,2): appartengono a rami diversi, separati dall’asintoto verticale.
5. Derivata seconda
Da f'(x)=1-(x-1)^{-2}: f''(x)=2(x-1)^{-3}=\dfrac{2}{(x-1)^3}. Il segno è quello di (x-1)^3: negativo per x<1 (concava verso il basso, coerente col massimo), positivo per x>1 (verso l’alto, col minimo). Nessun flesso.
6. Grafico
Sintesi: combinare le caratteristiche
I casi avanzati nascono dalla sovrapposizione di fenomeni già noti; la chiave è riconoscerli tutti:
- Stesso grado sopra e sotto → asintoto orizzontale dato dal rapporto tra i coefficienti direttori; la curva può attraversarlo (un asintoto orizzontale non è una barriera invalicabile a distanza finita).
- Grado sopra = grado sotto + 1, con polo → coesistono asintoto obliquo e asintoto verticale; la forma divisa \displaystyle \text{quoziente}+\dfrac{\text{resto}}{\text{denominatore}} li mostra entrambi.
- Doppio polo (denominatore con due radici) → due asintoti verticali; con gradi uguali, anche un asintoto orizzontale.
- Numeratore senza zeri reali (discriminante negativo) → nessuna intersezione con l’asse x, segno dato dal solo denominatore.
- Massimo «sotto» il minimo: normale quando gli estremi stanno su rami separati da un asintoto verticale — i termini «massimo/minimo» sono relativi al singolo ramo.
In tutti i casi la divisione polinomiale (esplicita o per riconoscimento, come (x-1)^2+1) resta lo strumento che rivela quoziente-asintoto e resto-fratto.