Questa scheda raccoglie sette studi di funzione con asintoto orizzontale, ordinati dal più semplice al più articolato: un solo polo con numeratore costante, una frazione lineare su lineare, una funzione pari con due asintoti verticali, un polo di ordine pari, un polo di ordine dispari alto, un doppio polo con flesso e infine un caso con denominatore senza poli reali. Gli esercizi mostrano come l’ordine del polo (pari o dispari) e la sua presenza o assenza cambino il comportamento del grafico.
Esercizio 1 — Un solo polo e asintoto y=0
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{1}{x-1}.
1. Dominio
Una frazione esiste dove il denominatore non si annulla. Imponiamo:
x-1\neq 0 \implies x\neq 1.
Quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Il dominio è diviso in due intervalli, (-\infty,1) e (1,+\infty): la funzione avrà due «rami» separati dalla retta x=1.
2. Intersezioni e segno
Asse x: una frazione è nulla solo dove si annulla il numeratore. Qui il numeratore è la costante 1, che non si annulla mai, quindi la funzione non interseca l’asse x.
Asse y (poniamo x=0):
f(0)=\dfrac{1}{0-1}=\dfrac{1}{-1}=-1,
cioè il punto A(0,-1).
Per il segno il numeratore è sempre positivo (=1), quindi f ha lo stesso segno del denominatore x-1:
| Intervallo | x-1 | f(x) |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | - |
| (1,+\infty) | + | + |
3. Asintoti
Asintoto verticale. Vicino al punto escluso x=1 il numeratore vale 1>0 e il denominatore tende a 0 cambiando segno:
- a sinistra: \dfrac{(+)}{(-)}=(-), quindi il limite è -\infty;
- a destra: \dfrac{(+)}{(+)}=(+), quindi il limite è +\infty.
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{1}{x-1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{1}{x-1}=+\infty.
La retta x=1 è un asintoto verticale.
Asintoto orizzontale. Per x molto grande (in valore assoluto) il denominatore diventa enorme, quindi la frazione si schiaccia verso 0:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x-1}=0.
La retta y=0 (l’asse x) è un asintoto orizzontale.
4. Derivata e monotonia
Scriviamo f(x)=(x-1)^{-1} e deriviamo con la regola della potenza (la derivata di (x-1)^n è n(x-1)^{n-1}):
f'(x)=-1\cdot(x-1)^{-2}=-\dfrac{1}{(x-1)^2}.
Il denominatore (x-1)^2 è un quadrato, sempre positivo nel dominio, e davanti c’è il segno meno, quindi
f'(x)<0 \qquad \text{per ogni } x\neq 1.
La funzione è decrescente sia in (-\infty,1) sia in (1,+\infty). Non si annulla mai: niente massimi né minimi.
5. Concavità
Deriviamo ancora f'(x)=-(x-1)^{-2}:
f''(x)=-(-2)(x-1)^{-3}=\dfrac{2}{(x-1)^3}.
Il numeratore è la costante positiva 2, quindi il segno è quello di (x-1)^3, cioè di x-1:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: la derivata seconda cambia segno solo attraversando il polo x=1.
6. Sintesi
Il ramo sinistro è negativo, decrescente e tende a -\infty avvicinandosi a x=1 da sinistra. Il ramo destro è positivo, decrescente e tende a +\infty avvicinandosi a x=1 da destra. Entrambi i rami si avvicinano all’asse x per x\to\pm\infty.
7. Grafico
Esercizio 2 — Frazione lineare su lineare
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}.
1. Dominio
Il denominatore x-2 si annulla per x=2, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
2. Intersezioni e segno
Asse y (x=0):
f(0)=\dfrac{0+1}{0-2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}.
Asse x (f(x)=0, cioè numeratore nullo):
x+1=0 \implies x=-1.
Il valore x=-1 appartiene al dominio, quindi l’intersezione è B(-1,0).
Per il segno studiamo separatamente i segni di numeratore (x+1, positivo per x>-1) e denominatore (x-2, positivo per x>2), poi applichiamo la regola dei segni della divisione:
| Intervallo | x+1 | x-2 | f(x) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | - | + |
| (-1,2) | + | - | - |
| (2,+\infty) | + | + | + |
3. Asintoti
Asintoto verticale. Vicino a x=2 il numeratore tende a 2+1=3>0, il denominatore tende a 0 cambiando segno:
\lim_{x\to 2^-}\dfrac{x+1}{x-2}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}\dfrac{x+1}{x-2}=+\infty.
La retta x=2 è un asintoto verticale.
Asintoto orizzontale. Quando numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, per x\to\pm\infty contano solo i termini di grado massimo (i loro coefficienti si chiamano coefficienti principali). Qui entrambi i polinomi hanno grado 1 e coefficiente principale 1, quindi il rapporto tende a \dfrac{1}{1}=1:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x-2}=1.
La retta y=1 è un asintoto orizzontale.
Lo si vede ancora meglio riscrivendo la frazione come costante + resto. Sommando e sottraendo 3 al numeratore:
\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{(x-2)+3}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{3}{x-2}=1+\dfrac{3}{x-2}.
Il termine \dfrac{3}{x-2} tende a 0 all’infinito: resta proprio y=1.
4. Derivata e monotonia
Applichiamo la regola del quoziente: se f=\dfrac{N}{D}, allora f'=\dfrac{N'D-ND'}{D^2}. Qui N=x+1 (con N'=1) e D=x-2 (con D'=1):
f'(x)=\dfrac{1\cdot(x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2}=\dfrac{-3}{(x-2)^2}.
Il denominatore è un quadrato (sempre positivo) e il numeratore è -3<0, quindi f'(x)<0 in tutto il dominio. La funzione è decrescente in (-\infty,2) e in (2,+\infty), senza estremi.
5. Concavità
Conviene partire dalla forma f(x)=1+3(x-2)^{-1}. Derivando due volte:
f'(x)=-3(x-2)^{-2},\qquad f''(x)=-3\cdot(-2)(x-2)^{-3}=\dfrac{6}{(x-2)^3}.
Il numeratore è la costante positiva 6, quindi il segno è quello di (x-2)^3, cioè di x-2:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,2) | - | verso il basso |
| (2,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: come tutte le frazioni lineari su lineari, la concavità si inverte solo sul polo x=2.
6. Sintesi
Il grafico ha due rami. A sinistra dell’asintoto verticale attraversa l’asse x in (-1,0) e scende verso -\infty per x\to 2^-. A destra di x=2 parte da +\infty e decresce avvicinandosi all’asintoto orizzontale y=1.
7. Grafico
Esercizio 3 — Due asintoti verticali e simmetria pari
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-4}.
1. Dominio e simmetria
Scomponiamo il denominatore come differenza di quadrati:
x^2-4=(x-2)(x+2).
Si annulla per x=2 e x=-2, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.
Il dominio è simmetrico rispetto all’origine (se x è ammesso, lo è anche -x): ha senso controllare se la funzione è pari (f(-x)=f(x)) o dispari (f(-x)=-f(x)). Sostituiamo -x al posto di x, ricordando che (-x)^2=x^2:
f(-x)=\dfrac{(-x)^2-1}{(-x)^2-4}=\dfrac{x^2-1}{x^2-4}=f(x).
La funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all’asse y, quindi basta studiarlo per x\geq 0 e poi riflettere.
2. Intersezioni e segno
Asse y (x=0):
f(0)=\dfrac{0-1}{0-4}=\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{1}{4}.
Asse x (numeratore nullo):
x^2-1=0 \implies x=-1,\quad x=1.
Per il segno studiamo numeratore x^2-1 (positivo fuori da [-1,1]) e denominatore x^2-4 (positivo fuori da [-2,2]), poi combiniamo con la regola dei segni:
| Intervallo | x^2-1 | x^2-4 | f(x) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,-2) | + | + | + |
| (-2,-1) | + | - | - |
| (-1,1) | - | - | + |
| (1,2) | + | - | - |
| (2,+\infty) | + | + | + |
3. Asintoti
Nei punti esclusi x=\pm 2 il numeratore non si annulla (in x=2 vale 2^2-1=3\neq 0; lo stesso, per simmetria, in x=-2), quindi entrambi danno asintoti verticali. Per stabilire il segno dei limiti usiamo la tabella dei segni del passo 2, che dice se la funzione arriva al polo da valori positivi (+\infty) o negativi (-\infty):
\lim_{x\to -2^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^+}f(x)=-\infty,
\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.
(I segni sono speculari rispetto all’asse y, com’è giusto per una funzione pari.)
Per l’asintoto orizzontale: numeratore e denominatore hanno lo stesso grado (2) e lo stesso coefficiente principale (1), quindi all’infinito il rapporto tende a 1:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-1}{x^2-4}=1.
La retta y=1 è un asintoto orizzontale.
4. Derivata e monotonia
Regola del quoziente con N=x^2-1 (N'=2x) e D=x^2-4 (D'=2x):
f'(x)=\dfrac{N'D-ND'}{D^2}=\dfrac{2x(x^2-4)-(x^2-1)\,2x}{(x^2-4)^2}.
Raccogliamo 2x al numeratore:
2x\big[(x^2-4)-(x^2-1)\big]=2x\,(x^2-4-x^2+1)=2x\,(-3)=-6x.
Quindi
f'(x)=-\dfrac{6x}{(x^2-4)^2}.
Il denominatore è un quadrato (positivo nel dominio), perciò il segno di f' è quello di -6x, cioè opposto a quello di x:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-2) | + | crescente |
| (-2,0) | + | crescente |
| (0,2) | - | decrescente |
| (2,+\infty) | - | decrescente |
In x=0 la derivata passa da + a -: è un massimo relativo. Il valore è f(0)=\dfrac{1}{4} (già calcolato), quindi M\left(0,\dfrac{1}{4}\right).
5. Concavità
Deriviamo f'(x)=-\dfrac{6x}{(x^2-4)^2} con la regola del quoziente. Posto N=-6x (N'=-6) e D=(x^2-4)^2 (con D'=2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)):
f''(x)=\dfrac{-6\,(x^2-4)^2-(-6x)\,4x(x^2-4)}{(x^2-4)^4}.
Mettiamo in evidenza il fattore comune (x^2-4) al numeratore e semplifichiamolo con uno dei quattro al denominatore:
f''(x)=\dfrac{(x^2-4)\big[-6(x^2-4)+24x^2\big]}{(x^2-4)^4}=\dfrac{-6x^2+24+24x^2}{(x^2-4)^3}=\dfrac{18x^2+24}{(x^2-4)^3}.
Raccogliendo 6:
f''(x)=\dfrac{6(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}.
Il numeratore 6(3x^2+4) è sempre positivo, quindi il segno dipende solo da (x^2-4)^3, cioè da x^2-4:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-2) | + | verso l’alto |
| (-2,2) | - | verso il basso |
| (2,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: la derivata seconda non si annulla (il numeratore non ha radici reali) e cambia segno solo sui due poli. Il massimo relativo \left(0,\dfrac{1}{4}\right) cade nel tratto centrale concavo verso il basso, come previsto.
6. Sintesi
Il grafico ha due rami esterni positivi che si avvicinano all’asintoto y=1 e divergono sugli asintoti verticali. Nel tratto centrale attraversa l’asse x in x=-1 e x=1, raggiunge il massimo relativo in \left(0,\dfrac{1}{4}\right) e tende a -\infty avvicinandosi agli asintoti dall’interno.
7. Grafico
Esercizio 4 — Polo di ordine pari
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}.
1. Dominio
Il denominatore si annulla in x=1, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
A differenza dei casi precedenti, il fattore (x-1) compare elevato al quadrato: il polo è di ordine pari (ordine 2).
2. Intersezioni e segno
Il numeratore è 1, quindi non ci sono zeri. Intersezione con l’asse y:
f(0)=\dfrac{1}{(-1)^2}=1.
Il denominatore (x-1)^2 è un quadrato, sempre positivo nel dominio, quindi
f(x)>0 \qquad \text{per ogni } x\neq 1.
La funzione è positiva su entrambi i lati del polo: questa è la differenza chiave rispetto a un polo di ordine dispari.
3. Asintoti
Vicino al polo, il numeratore è 1>0 e il denominatore è un quadrato che tende a 0^+ da entrambi i lati:
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{1}{(x-1)^2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{1}{(x-1)^2}=+\infty.
La retta x=1 è un asintoto verticale, ma la funzione tende a +\infty dallo stesso lato su entrambi i rami. Con un polo di ordine dispari, come in \dfrac{1}{x-1} dell’Esercizio 1, i due limiti laterali avevano invece segni opposti.
Per x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{(x-1)^2}=0,
quindi y=0 è un asintoto orizzontale.
4. Derivata e monotonia
Scriviamo f(x)=(x-1)^{-2} e deriviamo con la regola della potenza:
f'(x)=-2\,(x-1)^{-3}=-\dfrac{2}{(x-1)^3}.
Il numeratore -2 è negativo costante, quindi il segno di f' è l’opposto del segno di (x-1)^3, cioè opposto al segno di x-1:
| Intervallo | (x-1)^3 | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | + | crescente |
| (1,+\infty) | + | - | decrescente |
Non ci sono estremi relativi: la monotonia cambia solo attraversando il polo x=1, che è escluso, non in un punto interno al dominio.
5. Concavità
Deriviamo ancora f'(x)=-2(x-1)^{-3}:
f''(x)=-2\cdot(-3)(x-1)^{-4}=\dfrac{6}{(x-1)^4}.
Qui sta la differenza con i poli di ordine dispari: l’esponente al denominatore è 4, pari, quindi (x-1)^4>0 ovunque e
f''(x)>0 \qquad \text{per ogni } x\neq 1.
La funzione è convessa su tutto il dominio (entrambi i rami rivolti verso l’alto) e non ha flessi.
6. Sintesi
Il grafico ha due rami, entrambi positivi e rivolti verso l’alto, che divergono a +\infty avvicinandosi a x=1 da entrambi i lati e tendono a 0 all’infinito. La regola generale: un polo di ordine pari dà due rami che vanno nello stesso verso (+\infty qui, oppure -\infty se il segno fosse negativo), mentre un polo di ordine dispari dà rami che divergono in versi opposti.
7. Grafico
Esercizio 5 — Polo di ordine dispari alto
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^3}.
1. Dominio
Il denominatore si annulla in x=1, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Stavolta il fattore (x-1) è elevato al cubo: il polo è di ordine dispari (ordine 3). Vedremo che il comportamento ai lati del polo somiglia a quello di \dfrac{1}{x-1} (Esercizio 1), non a quello di \dfrac{1}{(x-1)^2} (Esercizio 4).
2. Intersezioni e segno
Il numeratore è 1, quindi non ci sono zeri. Per l’asse y:
f(0)=\dfrac{1}{(0-1)^3}=\dfrac{1}{-1}=-1.
Il segno dipende da (x-1)^3, che ha lo stesso segno di x-1 (esponente dispari):
| Intervallo | (x-1)^3 | f(x) |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | - |
| (1,+\infty) | + | + |
3. Asintoti
Vicino al polo il numeratore è 1>0 e il denominatore (x-1)^3 tende a 0 cambiando segno (cubo: negativo a sinistra, positivo a destra):
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{1}{(x-1)^3}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{1}{(x-1)^3}=+\infty.
La retta x=1 è un asintoto verticale, con rami in versi opposti: è la differenza con l’ordine pari dell’Esercizio 4. Per x\to\pm\infty il denominatore diventa enorme, quindi
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{(x-1)^3}=0,
e y=0 è asintoto orizzontale.
4. Derivata e monotonia
Scriviamo f(x)=(x-1)^{-3}:
f'(x)=-3(x-1)^{-4}=-\dfrac{3}{(x-1)^4}.
Il denominatore (x-1)^4 è una quarta potenza, sempre positiva, e davanti c’è il segno meno, quindi f'(x)<0 ovunque: la funzione è decrescente su entrambi i rami, senza estremi (come \dfrac{1}{x-1}).
5. Concavità
f''(x)=-3\cdot(-4)(x-1)^{-5}=\dfrac{12}{(x-1)^5}.
Il numeratore è positivo, quindi il segno è quello di (x-1)^5, cioè di x-1:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Nessun flesso: la concavità cambia solo sul polo x=1, escluso. Rispetto a \dfrac{1}{x-1} il grafico è qualitativamente simile, ma più «schiacciato» vicino all’asse e più ripido vicino al polo, per via dell’esponente più alto.
6. Sintesi
Comportamento analogo a \dfrac{1}{x-1}: ramo sinistro negativo e decrescente verso -\infty, ramo destro positivo che scende da +\infty, entrambi appiattiti sull’asse x all’infinito. La parità dell’ordine del polo (non il suo valore) decide se i due rami vanno in versi opposti (dispari) o nello stesso verso (pari).
7. Grafico
Esercizio 6 — Doppio polo con asintoto orizzontale
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2}{(x-1)^2}.
1. Dominio
Il denominatore (x-1)^2 si annulla in x=1, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
2. Intersezioni e segno
Numeratore e denominatore sono entrambi quadrati, quindi f(x)\geq 0 ovunque. Per gli assi:
f(0)=\dfrac{0}{1}=0,
e il numeratore x^2 si annulla (con molteplicità due) solo in x=0: il grafico tocca l’asse x nell’origine senza attraversarlo.
3. Asintoti
Vicino al polo il numeratore tende a 1>0 e (x-1)^2\to 0^+ da entrambi i lati (quadrato), quindi
\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty.
Polo di ordine pari: rami nello stesso verso. Per l’asintoto orizzontale, numeratore e denominatore hanno grado 2 e coefficiente principale 1 (il denominatore è x^2-2x+1):
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{(x-1)^2}=1,
quindi y=1 è asintoto orizzontale.
4. Derivata e monotonia
Con la regola del quoziente, N=x^2 (N'=2x) e D=(x-1)^2 (con D'=2(x-1)):
f'(x)=\dfrac{2x(x-1)^2-x^2\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}.
Mettiamo in evidenza 2x(x-1) al numeratore e semplifichiamo un (x-1):
f'(x)=\dfrac{2x(x-1)\big[(x-1)-x\big]}{(x-1)^4}=\dfrac{2x(x-1)(-1)}{(x-1)^4}=\dfrac{-2x}{(x-1)^3}.
Il segno dipende da -2x (numeratore) e (x-1)^3 (denominatore):
| Intervallo | -2x | (x-1)^3 | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|---|
| (-\infty,0) | + | - | - | decrescente |
| (0,1) | - | - | + | crescente |
| (1,+\infty) | - | + | - | decrescente |
In x=0 la derivata passa da - a +: minimo relativo m(0,0), coerente con il fatto che la curva tocca l’asse x proprio lì.
5. Concavità
Deriviamo f'(x)=-2x(x-1)^{-3} con la regola del prodotto. La derivata di (x-1)^{-3} è -3(x-1)^{-4}, quella di -2x è -2:
f''(x)=-2(x-1)^{-3}+(-2x)\big[-3(x-1)^{-4}\big]=-2(x-1)^{-3}+6x(x-1)^{-4}.
Mettiamo in evidenza (x-1)^{-4}:
f''(x)=\dfrac{-2(x-1)+6x}{(x-1)^4}=\dfrac{4x+2}{(x-1)^4}=\dfrac{2(2x+1)}{(x-1)^4}.
Il denominatore (x-1)^4 è sempre positivo, quindi il segno è quello di 2x+1, che si annulla in x=-\dfrac{1}{2}:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| \left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) | - | verso il basso |
| \left(-\dfrac{1}{2},1\right) | + | verso l’alto |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
La derivata seconda si annulla e cambia segno in x=-\dfrac{1}{2}: c’è un flesso in \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{9}\right), dove f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1/4}{9/4}=\dfrac{1}{9}.
6. Sintesi
Funzione sempre positiva, con minimo nell’origine (0,0) (dove tocca l’asse x) e asintoto orizzontale y=1. Il polo di ordine pari in x=1 manda entrambi i rami a +\infty. Un flesso in \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{9}\right) raccorda il tratto iniziale decrescente con la risalita verso il minimo.
7. Grafico
Esercizio 7 — Denominatore senza poli reali
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.
A differenza dei casi precedenti il denominatore non si annulla mai: niente asintoti verticali, ma la funzione resta interessante per estremi e flessi.
1. Dominio e simmetria
Il denominatore x^2+1\geq 1 non si annulla mai, quindi
D=\mathbb{R}.
Verifichiamo la simmetria:
f(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^2+1}=-\dfrac{2x}{x^2+1}=-f(x),
la funzione è dispari (simmetrica rispetto all’origine).
2. Intersezioni e segno
Numeratore 2x nullo in x=0, dove f(0)=0: il grafico passa per l’origine, unica intersezione. Il segno è quello di x (denominatore sempre positivo): negativa per x<0, positiva per x>0.
3. Asintoti
Nessun asintoto verticale (dominio \mathbb{R}). All’infinito il denominatore (grado 2) supera il numeratore (grado 1), quindi
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{x^2+1}=0,
e y=0 è asintoto orizzontale (raggiunto da sopra a destra, da sotto a sinistra).
4. Derivata e monotonia
Regola del quoziente, N=2x (N'=2), D=x^2+1 (D'=2x):
f'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.
Il denominatore è positivo; il segno è quello di 1-x^2, positivo tra -1 e 1:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | decrescente |
| (-1,1) | + | crescente |
| (1,+\infty) | - | decrescente |
In x=-1 minimo relativo m(-1,-1), in x=1 massimo relativo M(1,1) (valori: f(\pm1)=\dfrac{\pm2}{2}=\pm1).
5. Concavità e flessi
Derivando ancora si ottiene
f''(x)=\dfrac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}.
Il denominatore è positivo, quindi il segno dipende da 4x(x^2-3), con zeri in x=0 e x=\pm\sqrt3:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-\sqrt3) | - | verso il basso |
| (-\sqrt3,0) | + | verso l’alto |
| (0,\sqrt3) | - | verso il basso |
| (\sqrt3,+\infty) | + | verso l’alto |
Tre flessi: x=-\sqrt3, x=0 e x=\sqrt3. Quello centrale è l’origine (0,0) (flesso a simmetria centrale, coerente con la funzione dispari); gli altri due in \left(\pm\sqrt3,\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\right).
6. Sintesi
Funzione dispari, definita ovunque, con asintoto orizzontale y=0. Sale dal minimo (-1,-1) al massimo (1,1) passando per l’origine, poi torna verso l’asse. Tre flessi scandiscono i cambi di concavità. È un classico esempio di studio «completo» senza asintoti verticali.