Questa scheda raccoglie quattro esercizi su funzioni razionali fratte con asintoto obliquo. Il criterio comune è \deg P=\deg Q+1: il quoziente della divisione polinomiale fornisce la retta asintotica.
Esercizio 1 — Asintoto obliquo senza estremi
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-2}.
1. Dominio
Una funzione razionale fratta esiste ovunque tranne dove il denominatore si annulla. Imponiamo quindi che il denominatore sia diverso da zero:
x-2\neq 0 \implies x\neq 2.
Il dominio è perciò tutta la retta reale privata del punto x=2:
D=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
Questo significa che x=2 è l’unico punto «critico» da tenere d’occhio: lì la funzione non è definita e potrà comparire un asintoto verticale.
2. Divisione polinomiale
Il grado del numeratore (2) supera di uno quello del denominatore (1). In questa situazione la funzione ha un asintoto obliquo, e il modo più pulito per trovarlo è riscrivere la frazione come quoziente + resto fratto tramite la divisione polinomiale.
Dividiamo x^2-3x+1 per x-2. Cerchiamo il quoziente nella forma x+q:
- il primo termine del quoziente è \dfrac{x^2}{x}=x; moltiplicando, x\cdot(x-2)=x^2-2x;
- sottraiamo: (x^2-3x+1)-(x^2-2x)=-x+1;
- il termine successivo è \dfrac{-x}{x}=-1; moltiplicando, -1\cdot(x-2)=-x+2;
- sottraiamo: (-x+1)-(-x+2)=-1.
Il quoziente è x-1 e il resto è -1, quindi
x^2-3x+1=(x-2)(x-1)-1.
Dividendo entrambi i membri per x-2:
f(x)=x-1-\dfrac{1}{x-2}.
Questa forma è molto comoda: il termine -\dfrac{1}{x-2} tende a 0 per x\to\pm\infty, quindi a grandi distanze la funzione si comporta come la retta
y=x-1,
che è l’asintoto obliquo. Il segno del resto dice anche da che parte: poiché -\dfrac{1}{x-2}>0 per x<2 e \lt 0 per x>2, il grafico sta sopra l’asintoto a sinistra del polo e sotto a destra.
3. Intersezioni e segno
Intersezione con l’asse y (si pone x=0):
f(0)=\dfrac{0^2-3\cdot 0+1}{0-2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}.
Il grafico taglia l’asse y nel punto \left(0,-\dfrac{1}{2}\right).
Intersezioni con l’asse x (si pone f(x)=0): una frazione è nulla solo dove si annulla il numeratore, quindi
x^2-3x+1=0.
Applichiamo la formula risolutiva, con a=1, b=-3, c=1:
x=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}.
Le due radici sono
x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38,\qquad x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62,
entrambe appartenenti al dominio (nessuna delle due vale 2).
4. Asintoto verticale
Per capire come si comporta la funzione vicino al punto escluso x=2, calcoliamo il numeratore in quel punto:
2^2-3\cdot 2+1=4-6+1=-1.
Il numeratore tende a -1 (negativo), mentre il denominatore x-2 tende a 0 cambiando segno attorno a 2. Dividendo un numero vicino a -1 per una quantità che diventa 0 otteniamo limiti infiniti, con segno dato dalla regola dei segni:
- a sinistra di 2 il denominatore è negativo (x-2<0), quindi \dfrac{(-)}{(-)}=(+);
- a destra di 2 il denominatore è positivo, quindi \dfrac{(-)}{(+)}=(-).
\lim_{x\to 2^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=-\infty.
La retta x=2 è un asintoto verticale.
5. Derivata e monotonia
Conviene derivare la forma divisa f(x)=x-1-\dfrac{1}{x-2}, più semplice della frazione iniziale. Riscriviamo il terzo termine come potenza: -\dfrac{1}{x-2}=-(x-2)^{-1}. Derivando termine a termine:
- \dfrac{d}{dx}(x)=1;
- \dfrac{d}{dx}(-1)=0;
- \dfrac{d}{dx}\big[-(x-2)^{-1}\big]=+(x-2)^{-2}=\dfrac{1}{(x-2)^2}.
Quindi
f'(x)=1+\dfrac{1}{(x-2)^2}.
Entrambi gli addendi sono positivi (il secondo è un quadrato al denominatore, sempre \gt 0 nel dominio), quindi
f'(x)>0 \qquad \text{per ogni } x\neq 2.
La funzione è crescente in (-\infty,2) e in (2,+\infty). Non essendoci punti in cui f' si annulla, non ci sono massimi né minimi relativi.
6. Concavità
Deriviamo ancora la forma divisa f(x)=x-1-\dfrac{1}{x-2}:
f''(x)=-\dfrac{2}{(x-2)^3}.
Il segno dipende solo da (x-2)^3:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,2) | + | verso l’alto |
| (2,+\infty) | - | verso il basso |
Non ci sono flessi: la concavità cambia solo attraversando il polo x=2, che è escluso dal dominio.
Commento. Questo è il caso più semplice: c’è asintoto obliquo, ma non ci sono massimi o minimi relativi. La derivata seconda conferma due rami a concavità opposta, separati dall’asintoto verticale.
7. Grafico
Esercizio 2 — Asintoto obliquo con due estremi
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}.
1. Dominio e divisione
Il denominatore x-1 si annulla per x=1, quindi il dominio è la retta reale privata di quel punto:
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Anche qui il numeratore (grado 2) supera di uno il denominatore (grado 1): ci aspettiamo un asintoto obliquo. Eseguiamo la divisione di x^2 per x-1:
- primo termine del quoziente: \dfrac{x^2}{x}=x; poi x\cdot(x-1)=x^2-x;
- sottraiamo: x^2-(x^2-x)=x;
- termine successivo: \dfrac{x}{x}=1; poi 1\cdot(x-1)=x-1;
- sottraiamo: x-(x-1)=1.
Quoziente x+1, resto 1, quindi
\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}.
Il termine \dfrac{1}{x-1} svanisce all’infinito, perciò l’asintoto obliquo è la retta
y=x+1.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{0^2}{0-1}=\dfrac{0}{-1}=0.
Asse x: il numeratore x^2 si annulla per x=0. Il grafico tocca quindi gli assi nello stesso punto, l’origine O(0,0).
Per il segno osserviamo che il numeratore x^2 è un quadrato, quindi è sempre \geq 0 e non cambia mai segno (vale 0 solo in x=0). Di conseguenza il segno di f dipende soltanto dal denominatore x-1:
| Intervallo | x^2 | x-1 | f(x) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,0) | + | - | - |
| (0,1) | + (e 0 in x=0) | - | - (e 0 in x=0) |
| (1,+\infty) | + | + | + |
3. Asintoto verticale
Vicino al punto escluso x=1 il numeratore tende a 1^2=1>0, mentre il denominatore tende a 0 cambiando segno:
- a sinistra di 1: x-1<0, quindi \dfrac{(+)}{(-)}=(-);
- a destra di 1: x-1>0, quindi \dfrac{(+)}{(+)}=(+).
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{x^2}{x-1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{x^2}{x-1}=+\infty.
La retta x=1 è un asintoto verticale.
4. Derivata e monotonia
Deriviamo la forma divisa f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}, scrivendo l’ultimo termine come (x-1)^{-1}:
- \dfrac{d}{dx}(x+1)=1;
- \dfrac{d}{dx}\big[(x-1)^{-1}\big]=-(x-1)^{-2}=-\dfrac{1}{(x-1)^2}.
Quindi
f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}.
Per studiarne il segno mettiamo tutto su un unico denominatore:
f'(x)=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}.
Il numeratore (x-1)^2-1 è una differenza di quadrati, che si scompone come \big[(x-1)-1\big]\big[(x-1)+1\big]=(x-2)\,x. Dunque
f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}.
Il denominatore (x-1)^2 è un quadrato, sempre positivo nel dominio, quindi il segno di f' è quello del prodotto x(x-2), che si annulla in x=0 e x=2:
| Intervallo | Segno di x | Segno di x-2 | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | - | + | crescente |
| (0,1) | + | - | - | decrescente |
| (1,2) | + | - | - | decrescente |
| (2,+\infty) | + | + | + | crescente |
In x=0 la derivata passa da + a -: massimo relativo, nel punto O(0,0) già trovato.
In x=2 la derivata passa da - a +: minimo relativo. Calcoliamo il valore sostituendo nella funzione di partenza:
f(2)=\dfrac{2^2}{2-1}=\dfrac{4}{1}=4,
quindi il minimo è m(2,4).
5. Concavità
Deriviamo ancora f'(x)=1-(x-1)^{-2}:
f''(x)=-(-2)(x-1)^{-3}=\dfrac{2}{(x-1)^3}.
Il numeratore è la costante positiva 2, quindi il segno di f'' è quello di (x-1)^3, che ha lo stesso segno di x-1:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: la concavità si inverte solo attraversando il polo x=1, che però è escluso. Coerentemente, il massimo O(0,0) cade nel ramo concavo verso il basso e il minimo m(2,4) nel ramo concavo verso l’alto.
6. Sintesi
Il ramo sinistro cresce fino all’origine, poi decresce verso -\infty avvicinandosi a x=1. Il ramo destro parte da +\infty, scende fino a (2,4) e poi cresce seguendo l’asintoto obliquo.
7. Grafico
Esercizio 3 — Asintoto obliquo con estremi non interi
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}.
1. Dominio e divisione
Il denominatore x-1 si annulla per x=1, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Numeratore di grado 2 e denominatore di grado 1: ci aspettiamo di nuovo un asintoto obliquo. Dividiamo x^2+1 per x-1 (attenzione: nel numeratore manca il termine in x, possiamo immaginarlo come x^2+0\cdot x+1):
- primo termine: \dfrac{x^2}{x}=x; poi x\cdot(x-1)=x^2-x; sottraendo resta x+1;
- termine successivo: \dfrac{x}{x}=1; poi 1\cdot(x-1)=x-1; sottraendo resta 2.
Quoziente x+1, resto 2, quindi
\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}.
L’asintoto obliquo è la retta
y=x+1.
Rispetto all’esercizio precedente cambia solo il resto (2 invece di 1): la retta-asintoto è la stessa, ma la funzione vi si avvicina un po’ più «lentamente».
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{0^2+1}{0-1}=\dfrac{1}{-1}=-1, quindi il punto (0,-1).
Asse x: il numeratore x^2+1 è somma di un quadrato e di 1, perciò vale almeno 1 e non si annulla mai. La funzione non interseca l’asse x.
Poiché il numeratore è sempre positivo, il segno di f dipende solo dal denominatore x-1: la funzione è negativa per x<1 e positiva per x>1.
3. Asintoto verticale
Vicino a x=1 il numeratore tende a 1^2+1=2>0, mentre il denominatore tende a 0 cambiando segno:
- a sinistra: \dfrac{(+)}{(-)}=(-);
- a destra: \dfrac{(+)}{(+)}=(+).
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{x^2+1}{x-1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{x^2+1}{x-1}=+\infty.
La retta x=1 è un asintoto verticale.
4. Derivata e monotonia
Deriviamo la forma divisa f(x)=x+1+2(x-1)^{-1}:
- \dfrac{d}{dx}(x+1)=1;
- \dfrac{d}{dx}\big[2(x-1)^{-1}\big]=2\cdot(-1)(x-1)^{-2}=-\dfrac{2}{(x-1)^2}.
Quindi
f'(x)=1-\dfrac{2}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-2}{(x-1)^2}.
Il denominatore è sempre positivo: gli zeri della derivata vengono dal numeratore. Poniamo (x-1)^2-2=0, cioè (x-1)^2=2, da cui x-1=\pm\sqrt{2} e
x=1-\sqrt{2}\approx -0{,}41,\qquad x=1+\sqrt{2}\approx 2{,}41.
Il numeratore (x-1)^2-2 è una parabola con la concavità verso l’alto: è positivo fuori dalle radici e negativo tra le radici (ricordando che x=1 resta escluso):
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,1-\sqrt{2}) | + | crescente |
| (1-\sqrt{2},1) | - | decrescente |
| (1,1+\sqrt{2}) | - | decrescente |
| (1+\sqrt{2},+\infty) | + | crescente |
In x=1-\sqrt2 si ha un massimo relativo, in x=1+\sqrt2 un minimo relativo. Per i valori usiamo la forma divisa, comoda perché in questi punti x-1=\mp\sqrt2:
f(1-\sqrt{2})=(1-\sqrt{2})+1+\dfrac{2}{-\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}-\sqrt{2}=2-2\sqrt{2},
f(1+\sqrt{2})=(1+\sqrt{2})+1+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2},
(abbiamo usato \dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2). Quindi
M\left(1-\sqrt{2},\,2-2\sqrt{2}\right),\qquad m\left(1+\sqrt{2},\,2+2\sqrt{2}\right).
Numericamente 2-2\sqrt2\approx -0{,}83 e 2+2\sqrt2\approx 4{,}83.
5. Concavità
Deriviamo ancora f'(x)=1-2(x-1)^{-2}:
f''(x)=-2\cdot(-2)(x-1)^{-3}=\dfrac{4}{(x-1)^3}.
Il numeratore è la costante positiva 4, quindi il segno è quello di (x-1)^3, cioè di x-1:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Non ci sono flessi: la derivata seconda non si annulla mai e cambia segno solo sul polo x=1. Il massimo relativo sta nel ramo concavo verso il basso, il minimo relativo nel ramo concavo verso l’alto.
6. Sintesi
Il ramo sinistro resta sotto l’asse x, ha un massimo relativo e poi scende a -\infty verso l’asintoto verticale. Il ramo destro parte da +\infty, raggiunge il minimo relativo e poi cresce seguendo l’asintoto obliquo y=x+1.
7. Grafico
Esercizio 4 — Asintoto obliquo con polo nell’origine
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x}.
Qui il polo cade proprio in x=0 e la divisione è immediata, ma la funzione non ha simmetrie: è il caso «generico».
1. Dominio e forma divisa
Il denominatore x si annulla in x=0, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
La divisione è diretta, spezzando la frazione termine a termine:
f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=x+1+\dfrac{1}{x}.
Il termine \dfrac{1}{x} tende a 0 all’infinito, quindi l’asintoto obliquo è
y=x+1.
2. Simmetria, intersezioni e segno
Calcoliamo f(-x)=-x+1-\dfrac{1}{x}: non è uguale a f(x) né a -f(x), quindi la funzione non è né pari né dispari.
Asse y: escluso (x=0 non nel dominio). Asse x: il numeratore x^2+x+1 ha discriminante 1-4=-3<0, quindi non si annulla mai: nessuna intersezione con l’asse x. Essendo il numeratore sempre positivo, il segno di f è quello di x: negativa per x<0, positiva per x>0.
3. Asintoto verticale
Vicino a x=0 il numeratore tende a 1>0:
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x^2+x+1}{x}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^2+x+1}{x}=+\infty.
La retta x=0 (l’asse y) è un asintoto verticale.
4. Derivata e monotonia
Deriviamo f(x)=x+1+x^{-1}:
f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}.
Il denominatore è positivo; il segno è quello di x^2-1, positivo fuori da [-1,1]:
| Intervallo | Segno di f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | crescente |
| (-1,0) | - | decrescente |
| (0,1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
In x=-1 massimo relativo M(-1,-1), in x=1 minimo relativo m(1,3) (valori: f(-1)=-1-1+1\cdot(-1)… usiamo la forma divisa f(-1)=-1+1+\dfrac{1}{-1}=-1 e f(1)=1+1+1=3).
Curiosità: il massimo (-1,-1) sta sotto il minimo (1,3). Non è un errore: i due estremi appartengono a rami diversi, separati dall’asintoto verticale, quindi non c’è contraddizione con i nomi «massimo» e «minimo» (che sono relativi al loro ramo).
5. Concavità
f''(x)=\dfrac{2}{x^3}.
Il segno è quello di x^3, cioè di x:
| Intervallo | Segno di f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | verso il basso |
| (0,+\infty) | + | verso l’alto |
Nessun flesso: la concavità cambia solo sul polo x=0. Il massimo è nel ramo concavo verso il basso, il minimo in quello concavo verso l’alto.
6. Sintesi
Funzione senza simmetrie, con asintoto verticale x=0 e obliquo y=x+1. Ramo sinistro: cresce fino al massimo (-1,-1), poi scende a -\infty. Ramo destro: scende da +\infty fino al minimo (1,3), poi risale lungo l’obliqua. Mostra il caso più comune, in cui nessuna simmetria aiuta e si procede passo per passo.