Le funzioni con esponente variabile, del tipo f(x)=g(x)^{h(x)} (base e esponente entrambi dipendenti da x), richiedono due strumenti specifici.
La riscrittura esponenziale. Una potenza a base variabile si gestisce sempre riportandola in base e tramite l’identità
g(x)^{h(x)}=e^{\,h(x)\,\ln g(x)},
valida per g(x)>0. Questo trasforma una potenza «strana» in un’esponenziale ordinaria, di cui sappiamo calcolare limiti e derivate. Ne segue anche il dominio: la base deve essere positiva, g(x)>0.
La derivazione logaritmica. Per derivare, conviene prendere il logaritmo di entrambi i membri: da \ln f=h\ln g, derivando, si ottiene \dfrac{f'}{f}=(h\ln g)', da cui f'=f\cdot(h\ln g)'. Lo stesso trucco semplifica enormemente la derivata di qualunque prodotto, quoziente o radice (esercizio 4).
Sul fronte dei limiti compaiono le forme indeterminate esponenziali 0^0, \infty^0 e 1^\infty: tutte si sciolgono passando all’esponente, dove diventano forme del tipo 0\cdot\infty risolubili con i limiti notevoli. I quattro esercizi seguono lo schema generale.
Esercizio 1 — La funzione x^x
Studiare la funzione
f(x)=x^x.
1. Dominio e riscrittura
La base x deve essere positiva perché x^x abbia senso come potenza reale, quindi D=(0,+\infty). Riscriviamo in base e:
x^x=e^{x\ln x}.
Essendo un’esponenziale, f(x)>0 sempre.
2. Comportamento in 0⁺ (forma 0⁰)
Per x\to 0^+ l’esponente x\ln x tende a 0 (limite notevole già visto per le funzioni logaritmiche), quindi
\lim_{x\to 0^+}x^x=e^{0}=1.
La forma indeterminata 0^0 si risolve in 1: la funzione è prolungabile ponendo f(0)=1, e il grafico parte dal punto (0,1).
3. Intersezioni, segno e limite all’infinito
Nessuno zero (f>0); in x=1, f(1)=1^1=1. Per x\to+\infty l’esponente x\ln x\to+\infty, quindi f\to+\infty.
4. Derivata prima (logaritmica)
Da \ln f=x\ln x, deriviamo entrambi i membri:
\dfrac{f'}{f}=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=x^x\,(\ln x+1).
Il fattore x^x è positivo, quindi il segno di f' è quello di \ln x+1, che si annulla in \ln x=-1, cioè x=\dfrac{1}{e}:
| Intervallo | \ln x+1 | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|
| \left(0,\dfrac{1}{e}\right) | - | - | decrescente |
| \left(\dfrac{1}{e},+\infty\right) | + | + | crescente |
In x=\dfrac{1}{e} un minimo assoluto, di valore
f\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx 0{,}692.
5. Derivata seconda
Da f'=f\,(\ln x+1), derivando col prodotto:
f''(x)=f'(\ln x+1)+f\cdot\dfrac{1}{x}=f\left[(\ln x+1)^2+\dfrac{1}{x}\right].
Nel dominio x>0 sia (\ln x+1)^2\geq 0 sia \dfrac{1}{x}>0, e f>0: quindi f''(x)>0 sempre. La funzione è convessa su tutto il dominio, nessun flesso.
6. Grafico
Esercizio 2 — La funzione x^(1/x)
Studiare la funzione
f(x)=x^{1/x}.
1. Dominio e riscrittura
Base positiva: D=(0,+\infty). Riscrittura:
x^{1/x}=e^{\dfrac{\ln x}{x}}.
Sempre positiva.
2. Limiti agli estremi
Verso 0^+: l’esponente \displaystyle \dfrac{\ln x}{x}\to\dfrac{-\infty}{0^+}=-\infty, quindi f\to e^{-\infty}=0^+.
Verso +\infty: l’esponente \displaystyle \dfrac{\ln x}{x}\to 0 (limite notevole), quindi
\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=e^{0}=1.
La retta y=1 è asintoto orizzontale a +\infty (forma indeterminata \infty^0 risolta in 1).
3. Intersezioni e segno
Nessuno zero (f>0); f(1)=1^{1}=1.
4. Derivata prima (logaritmica)
Da \ln f=\dfrac{\ln x}{x}, deriviamo (quoziente a destra):
\dfrac{f'}{f}=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=x^{1/x}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2}.
Il fattore x^{1/x}/x^2 è positivo, quindi il segno è quello di 1-\ln x, che si annulla in x=e:
| Intervallo | 1-\ln x | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|
| (0,e) | + | + | crescente |
| (e,+\infty) | - | - | decrescente |
In x=e un massimo assoluto, di valore
f(e)=e^{1/e}\approx 1{,}444.
È un risultato celebre: e^{1/e} è il valore massimo di x^{1/x}, e il fatto che il picco cada in x=e è alla base di confronti come e^\pi contro \pi^e.
5. Concavità (cenni)
Il quadro è chiaro senza il calcolo completo di f'': la funzione sale da 0 (in 0^+) fino al massimo (e,\,e^{1/e}), poi scende avvicinandosi all’asintoto y=1 da sopra. La concavità, verso il basso attorno al massimo, si inverte in un flesso situato oltre x=e, mentre la curva si appiattisce sull’asintoto.
6. Grafico
Esercizio 3 — La forma 1^∞ : (1 + 1/x)^x
Studiare la funzione
f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x.
È la funzione da cui nasce il numero e: il suo limite all’infinito.
1. Dominio e riscrittura
La base \displaystyle 1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x} deve essere positiva: con la regola dei segni, \displaystyle \dfrac{x+1}{x}>0 per x<-1 o x>0. Quindi
D=(-\infty,-1)\cup(0,+\infty).
Riscrittura: f(x)=e^{\,x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}, sempre positiva.
2. Limiti agli estremi (forma 1^∞)
Verso \pm\infty: la base 1+\dfrac{1}{x}\to 1 e l’esponente \to\pm\infty: forma indeterminata 1^\infty. Passando all’esponente e ponendo t=\dfrac{1}{x}\to 0:
\lim_{x\to\pm\infty}x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1,
(limite notevole). Quindi
\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e^{1}=e.
La retta y=e\approx 2{,}718 è asintoto orizzontale bilatero: è la definizione stessa del numero di Nepero.
Verso 0^+: l’esponente x\ln(1+\dfrac{1}{x})\approx x\ln\dfrac{1}{x}=-x\ln x\to 0, quindi f\to e^0=1.
Verso -1^-: la base \displaystyle \dfrac{x+1}{x}\to 0^+ e l’esponente \to -1, quindi x\ln(\cdots)\to(-1)\cdot(-\infty)=+\infty, da cui f\to+\infty. La retta x=-1 è asintoto verticale.
3. Monotonia
Sul ramo (0,+\infty) la funzione è crescente e tende a e dal basso: è il fatto, noto dalle successioni, che \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n cresce verso e. Sul ramo (-\infty,-1) la funzione decresce da +\infty (vicino a -1) verso e (all’infinito), restandone sopra. In entrambi i casi y=e fa da «soglia» non oltrepassata.
4. Grafico
Esercizio 4 — La derivazione logaritmica come strumento generale
Studiare la monotonia di
f(x)=\dfrac{\sqrt{x}\,e^x}{(x+1)^2}.
Qui non c’è esponente variabile, ma la funzione è un prodotto-quoziente con radice ed esponenziale: la derivazione logaritmica trasforma una derivata altrimenti pesante in una somma di termini semplici.
1. Dominio e segno
La radice richiede x\geq 0; il denominatore (x+1)^2 si annulla in x=-1, fuori da [0,+\infty). Quindi D=(0,+\infty) (escludiamo x=0 dove la funzione vale 0, per poter prendere il logaritmo; il punto x=0 si tratta a parte come bordo). La funzione è positiva su tutto il dominio (prodotto e quoziente di quantità positive).
2. Derivazione logaritmica
Prendiamo il logaritmo, sfruttando le sue proprietà per spezzare prodotto, quoziente e potenze:
\ln f=\ln\sqrt{x}+\ln e^x-\ln(x+1)^2=\dfrac{1}{2}\ln x+x-2\ln(x+1).
Ora derivare è immediato, termine per termine:
\dfrac{f'}{f}=\dfrac{1}{2x}+1-\dfrac{2}{x+1}.
Quindi f'(x)=f(x)\left[\dfrac{1}{2x}+1-\dfrac{2}{x+1}\right]. Poiché f>0, il segno di f' è quello della parentesi quadra.
3. Studio del segno della parentesi
Riduciamo a denominatore comune 2x(x+1):
\dfrac{1}{2x}+1-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{(x+1)+2x(x+1)-4x}{2x(x+1)}=\dfrac{2x^2-x+1}{2x(x+1)}.
Nel dominio x>0 il denominatore 2x(x+1) è positivo. Il numeratore 2x^2-x+1 ha discriminante \Delta=1-8=-7<0: non ha radici reali ed è sempre positivo (coefficiente direttore positivo). Quindi la parentesi è positiva per ogni x>0:
f'(x)>0\quad\text{per ogni } x>0.
La funzione è monotòna crescente su tutto il dominio, senza estremi. (Ai bordi: f\to 0 per x\to 0^+ e f\to+\infty per x\to+\infty, dove l’esponenziale domina.)
4. Grafico
Sintesi: i riflessi da automatizzare
Per le funzioni con esponente variabile, e più in generale per i prodotti complicati:
- Riscrivere sempre in base e: g^h=e^{h\ln g}. Da qui seguono dominio (g>0), positività e limiti.
- Derivazione logaritmica: prendere \ln f, derivare (\displaystyle \dfrac{f'}{f}=(\ln f)'), poi moltiplicare per f. È obbligatoria quando l’esponente è variabile, e conveniente ogni volta che f è un prodotto/quoziente/radice di più fattori, perché il logaritmo li trasforma in una somma.
- Forme indeterminate esponenziali 0^0,\infty^0,1^\infty: si risolvono passando all’esponente h\ln g, dove diventano 0\cdot\infty, e applicando i limiti notevoli (x\ln x\to 0, \displaystyle \dfrac{\ln x}{x}\to 0, \displaystyle \dfrac{\ln(1+t)}{t}\to 1).
- Valori notevoli da ricordare: x^x ha minimo e^{-1/e} in x=\dfrac{1}{e}; x^{1/x} ha massimo e^{1/e} in x=e; \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\to e all’infinito.