Le funzioni polinomiali intere — cioè i polinomi f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0, senza frazioni né radici — sono il punto di partenza naturale dello studio di funzione, ma vengono spesso saltate proprio perché «semplici». In realtà offrono il terreno più pulito per esercitare i passi centrali, derivata prima e derivata seconda, senza le distrazioni del dominio e degli asintoti.
Due fatti valgono per ogni polinomio e conviene fissarli una volta per tutte:
- Dominio. Un polinomio è definito per ogni numero reale: D=\mathbb{R}. Non ci sono denominatori da annullare né radici da vincolare.
- Asintoti. Un polinomio di grado \geq 1 non ha asintoti di alcun tipo. All’infinito segue il termine di grado massimo:
a seconda del grado e del segno di a_n. Quindi nessun asintoto orizzontale; non avendo punti esclusi, nessun asintoto verticale; e poiché cresce come x^n con n\geq 2 — più ripido di qualunque retta — nessun asintoto obliquo (tranne il caso banale n=1, che è una retta).
Di conseguenza, per i polinomi i passi 1, 4 e 5 dello schema generale si liquidano in due righe, e il cuore dello studio diventa il segno di f' (estremi) e di f'' (flessi). I quattro esercizi sono ordinati per grado e difficoltà crescente.
Esercizio 1 — Parabola
Studiare la funzione
f(x)=x^2-4x+3.
1. Dominio e simmetrie
Polinomio: D=\mathbb{R}. Verifichiamo le simmetrie con f(-x)=(-x)^2-4(-x)+3=x^2+4x+3, che non coincide né con f(x) né con -f(x): la funzione non è né pari né dispari. È normale per una parabola non centrata sull’asse y.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=3, punto (0,3).
Asse x: risolviamo x^2-4x+3=0. Con la formula risolutiva (a=1, b=-4, c=3):
x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}\implies x_1=1,\ x_2=3.
La parabola taglia l’asse x in (1,0) e (3,0). Avendo la concavità verso l’alto (coefficiente di x^2 positivo), è negativa tra le radici e positiva fuori:
| Intervallo | f(x) |
|---|---|
| (-\infty,1) | + |
| (1,3) | - |
| (3,+\infty) | + |
3. Limiti e asintoti
Termine dominante x^2:
Nessun asintoto.
4. Derivata prima
f'(x)=2x-4=2(x-2).
Si annulla in x=2, passando da negativa a positiva: minimo relativo (e, per una parabola, anche assoluto). Il valore è
f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1,
quindi il vertice è V(2,-1).
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,2) | - | decrescente |
| (2,+\infty) | + | crescente |
5. Derivata seconda
f''(x)=2>0\quad\text{per ogni }x.
La concavità è sempre verso l’alto, in accordo con la forma della parabola, e non ci sono flessi: f'' non si annulla mai. Questo è il tratto distintivo dei polinomi di secondo grado: derivata seconda costante, nessun cambio di concavità.
6. Grafico
Esercizio 2 — Cubica con due estremi
Studiare la funzione
f(x)=x^3-3x.
1. Dominio e simmetrie
D=\mathbb{R}. Calcoliamo f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x): la funzione è dispari, grafico simmetrico rispetto all’origine. Basterà studiare x\geq 0 e ribaltare.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0, l’origine.
Asse x: raccogliamo, x^3-3x=x(x^2-3)=0, da cui x=0 e x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73. Tre zeri: -\sqrt3, 0, \sqrt3.
Segno del prodotto x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3):
| Intervallo | f(x) |
|---|---|
| (-\infty,-\sqrt3) | - |
| (-\sqrt3,0) | + |
| (0,\sqrt3) | - |
| (\sqrt3,+\infty) | + |
3. Limiti e asintoti
Termine dominante x^3:
Nessun asintoto.
4. Derivata prima
f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).
Si annulla in x=\pm1. La parabola 3(x^2-1) ha concavità verso l’alto, positiva fuori da [-1,1]:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | crescente |
| (-1,1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
In x=-1 massimo relativo, in x=1 minimo relativo. I valori:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2,\qquad f(1)=1-3=-2.
Massimo M(-1,2) e minimo m(1,-2), simmetrici rispetto all’origine come imposto dalla disparità. Si noti che sono estremi solo relativi: la cubica va comunque a \pm\infty, quindi non ha massimo né minimo assoluti.
5. Derivata seconda
f''(x)=6x.
Si annulla in x=0, cambiando segno: flesso in F(0,0).
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | verso il basso |
| (0,+\infty) | + | verso l’alto |
Il flesso nell’origine è il centro di simmetria della cubica: il massimo cade nel ramo concavo verso il basso, il minimo in quello concavo verso l’alto.
6. Grafico
Esercizio 3 — Cubica monotòna con flesso a tangente orizzontale
Studiare la funzione
f(x)=x^3-3x^2+3x.
Questo esercizio mostra un caso che confonde spesso: una derivata prima che si annulla senza dare un estremo. Il punto in cui ciò accade è un flesso a tangente orizzontale.
1. Dominio e simmetrie
D=\mathbb{R}. f(-x)=-x^3-3x^2-3x: né pari né dispari.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0.
Asse x: raccogliamo x, ottenendo x(x^2-3x+3)=0. Il fattore x dà x=0; il trinomio x^2-3x+3 ha discriminante 9-12=-3<0, quindi non si annulla mai (ed è sempre positivo). L’unico zero reale è x=0. Poiché x^2-3x+3>0 ovunque, il segno di f coincide con quello di x: negativa per x<0, positiva per x>0.
3. Limiti e asintoti
Termine dominante x^3:
Nessun asintoto.
4. Derivata prima
f'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2.
Qui sta il punto chiave: f'(x)=3(x-1)^2 è un quadrato, quindi f'(x)\geq 0 ovunque, e si annulla solo in x=1 senza cambiare segno (resta positiva sia prima sia dopo). Di conseguenza la funzione è sempre crescente e in x=1 non c’è né massimo né minimo: la tangente è orizzontale, ma il grafico prosegue la salita. Questo è un punto a tangente orizzontale che non è un estremo — lo riconosceremo come flesso al passo successivo.
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | + | crescente |
| x=1 | 0 | tangente orizzontale (non estremo) |
| (1,+\infty) | + | crescente |
5. Derivata seconda
f''(x)=6x-6=6(x-1).
Si annulla in x=1, cambiando segno da negativo a positivo: flesso. Poiché in x=1 anche f' si annulla, la tangente nel flesso è orizzontale. Il valore:
f(1)=1-3+3=1,
quindi flesso a tangente orizzontale in F(1,1).
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,1) | - | verso il basso |
| (1,+\infty) | + | verso l’alto |
Criterio da ricordare. Quando f'(x_0)=0, per decidere se x_0 è massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale si guarda il cambio di segno di f': se passa da + a - è un massimo, da - a + un minimo, se non cambia segno è un flesso a tangente orizzontale. Annullarsi della derivata, da solo, non basta a garantire un estremo.
6. Grafico
Esercizio 4 — Quartica biquadratica
Studiare la funzione
f(x)=x^4-2x^2.
Una quartica pari, con il caratteristico profilo «a W»: due minimi simmetrici e un massimo relativo al centro.
1. Dominio e simmetrie
D=\mathbb{R}. Compaiono solo potenze pari di x, quindi f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2=x^4-2x^2=f(x): la funzione è pari, simmetrica rispetto all’asse y. Studiamo x\geq 0 e ribaltiamo.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0.
Asse x: raccogliamo x^2, ottenendo x^2(x^2-2)=0, da cui x=0 (doppio) e x=\pm\sqrt2\approx\pm1{,}41. Per il segno, x^2\geq 0 sempre, quindi il segno di f è quello di x^2-2 (negativo tra -\sqrt2 e \sqrt2), tranne in x=0 dove f=0:
| Intervallo | f(x) |
|---|---|
| (-\infty,-\sqrt2) | + |
| (-\sqrt2,\sqrt2) | - (con f=0 in x=0) |
| (\sqrt2,+\infty) | + |
Nota: in x=0 il grafico tocca l’asse x tornando indietro (radice doppia), non lo attraversa.
3. Limiti e asintoti
Termine dominante x^4:
Nessun asintoto.
4. Derivata prima
f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).
Si annulla in x=0 e x=\pm1. Studiamo il segno del prodotto:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | decrescente |
| (-1,0) | + | crescente |
| (0,1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
In x=\pm1 la derivata passa da - a +: due minimi relativi. In x=0 passa da + a -: massimo relativo. I valori:
f(\pm1)=1-2=-1,\qquad f(0)=0.
Minimi m_1(-1,-1) e m_2(1,-1), massimo relativo M(0,0). I due minimi sono anche assoluti (la funzione non scende mai sotto -1), mentre il massimo in 0 è solo relativo, perché ai lati la quartica risale a +\infty.
5. Derivata seconda
f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1).
Si annulla dove 3x^2-1=0, cioè x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\approx\pm0{,}58. La parabola 4(3x^2-1) ha concavità verso l’alto, positiva fuori dalle radici:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| \displaystyle (-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt3}) | + | verso l’alto |
| \displaystyle (-\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3}) | - | verso il basso |
| \displaystyle (\dfrac{1}{\sqrt3},+\infty) | + | verso l’alto |
Due cambi di segno: due flessi in \displaystyle x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}. L’ordinata:
f\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=\dfrac{1}{9}-2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{5}{9}\approx-0{,}56.
Flessi in \displaystyle F_{1,2}\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt3},-\dfrac{5}{9}\right): separano la «cupola» centrale (concava verso il basso, attorno al massimo) dai due rami esterni che risalgono.
6. Grafico
Sintesi: cosa cambia col grado
I quattro esercizi mostrano una regolarità utile da tenere a mente per i polinomi:
| Grado | f' | f'' | Estremi (max) | Flessi (max) |
|---|---|---|---|---|
| 2 (parabola) | grado 1 | costante | 1 | 0 |
| 3 (cubica) | grado 2 | grado 1 | fino a 2 | 1 |
| 4 (quartica) | grado 3 | grado 2 | fino a 3 | fino a 2 |
In generale un polinomio di grado n ha f' di grado n-1 (quindi al più n-1 estremi) e f'' di grado n-2 (quindi al più n-2 flessi). Sono massimi teorici: il numero effettivo dipende da quante radici reali e di che molteplicità hanno f' e f'', come visto nell’esercizio 3, dove la radice doppia di f' trasforma un potenziale estremo in un flesso a tangente orizzontale.