Questa scheda approfondisce lo studio con parametro, affrontando le richieste tipiche dei temi d’esame più articolati:
- determinare il parametro che realizza una condizione (un estremo in un punto, una tangente assegnata);
- risolvere un sistema di più condizioni simultanee;
- riconoscere i punti fissi di una famiglia (comuni a tutte le curve) e i luoghi geometrici dei punti notevoli;
- discutere come il parametro cambia la natura di un punto critico (da massimo a minimo, ecc.).
Lo strumento resta lo studio di funzione dello schema generale, con il parametro trattato come costante e poi «calibrato» sulle condizioni.
Esercizio 1 — Determinare il parametro da una condizione
Data la famiglia f_k(x)=x^3+kx, determinare k affinché la funzione abbia un estremo in x=1, e discutere l’esistenza di estremi al variare di k.
1. Condizione di estremo
Un estremo richiede f_k'(x)=0. Calcoliamo la derivata:
f_k'(x)=3x^2+k.
Imponendo f_k'(1)=0: 3(1)^2+k=0, da cui k=-3. Con questo valore f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1), che si annulla in x=\pm1 cambiando segno: x=1 è effettivamente un estremo (un minimo, f' passa da - a +), e per simmetria dispari x=-1 è un massimo.
2. Discussione generale al variare di k
f_k'(x)=3x^2+k=0 ha soluzioni reali solo se k\leq 0:
| Valore di k | f_k'=3x^2+k | Estremi |
|---|---|---|
| k>0 | sempre \gt 0 | nessuno (strettamente crescente) |
| k=0 | 3x^2\geq 0 | nessun estremo: flesso a tangente orizzontale in 0 |
| k<0 | si annulla in x=\pm\sqrt{-k/3} | un massimo e un minimo |
Il valore k=0 è la soglia: per k positivo la cubica è monotòna, per k negativo compaiono le due «gobbe». Il caso richiesto k=-3 rientra in k<0, con estremi in \pm\sqrt{-(-3)/3}=\pm1.
3. Grafico (k = −3)
Esercizio 2 — Sistema di due condizioni
Determinare a e b affinché la parabola f(x)=ax^2+bx passi per il punto (1,3) con pendenza f'(1)=4, quindi studiarla.
1. Traduzione delle condizioni in equazioni
Due condizioni, due incognite. La prima, passaggio per (1,3):
f(1)=a+b=3.
La seconda, pendenza assegnata in x=1, usa f'(x)=2ax+b:
f'(1)=2a+b=4.
2. Risoluzione del sistema
Sottraendo la prima equazione dalla seconda: (2a+b)-(a+b)=4-3, cioè a=1. Sostituendo: b=3-1=2. Quindi
\boxed{a=1,\quad b=2,}\qquad f(x)=x^2+2x.
3. Studio della funzione ottenuta
f(x)=x^2+2x=x(x+2): parabola con concavità verso l’alto, zeri in x=0 e x=-2, vertice (minimo) in x=-1, dove f(-1)=1-2=-1, cioè V(-1,-1). Verifica delle condizioni: f(1)=1+2=3 ✓ e f'(1)=2+2=4 ✓.
4. Grafico
Esercizio 3 — Punto fisso e luogo dei vertici
Studiare la famiglia f_k(x)=x^2+k(x-1), individuando il punto fisso comune a tutte le curve e il luogo dei loro vertici.
1. Punto fisso
Un punto fisso della famiglia è un punto per cui passano tutte le curve, qualunque sia k. Cerchiamo dove il termine in k si annulla: k(x-1)=0 per ogni k richiede x-1=0, cioè x=1. In quel punto f_k(1)=1^2+k\cdot 0=1 indipendentemente da k:
\text{punto fisso } (1,1).
Tutte le parabole della famiglia passano per (1,1).
2. Luogo dei vertici
Scriviamo f_k(x)=x^2+kx-k. Il vertice ha ascissa x_V=-\dfrac{k}{2} e ordinata
y_V=f_k(x_V)=\dfrac{k^2}{4}-\dfrac{k^2}{2}-k=-\dfrac{k^2}{4}-k.
Eliminiamo il parametro: da \displaystyle x_V=-\dfrac{k}{2} ricaviamo k=-2x_V, e sostituiamo:
y_V=-\dfrac{(-2x_V)^2}{4}-(-2x_V)=-x_V^2+2x_V.
I vertici giacciono sulla parabola y=-x^2+2x (concavità verso il basso). Nota: questa parabola passa anch’essa per il punto fisso (1,1) — coerente, perché il vertice della curva con k=-2 è proprio (1,1).
3. Discussione degli zeri
Gli zeri risolvono x^2+kx-k=0, con discriminante \Delta=k^2+4k=k(k+4):
| Valore di k | \Delta | Zeri reali |
|---|---|---|
| k<-4 oppure k>0 | \gt 0 | due distinti |
| k=-4 oppure k=0 | =0 | uno doppio |
| -4<k<0 | \lt 0 | nessuno |
4. Grafico (k = 2, con luogo dei vertici)
Esercizio 4 — Il parametro cambia la natura del punto critico
Studiare la famiglia f_k(x)=x^4+kx^2, discutendo la natura del punto critico x=0 al variare di k.
1. Derivata e punti critici
f_k'(x)=4x^3+2kx=2x(2x^2+k).
Il fattore 2x dà sempre il punto critico x=0. Il fattore 2x^2+k si annulla in x=\pm\sqrt{-k/2}, solo se k<0.
2. Discussione della natura di x = 0
Studiamo il segno di f_k'=2x(2x^2+k) attorno a x=0:
| Valore di k | Punti critici | Natura di x=0 |
|---|---|---|
| k>0 | solo x=0 | 2x^2+k>0, segno di f' = segno di x: minimo |
| k=0 | solo x=0 | f'=4x^3, segno di x: minimo (quartica x^4) |
| k<0 | x=0 e x=\pm\sqrt{-k/2} | in 0, f' passa da + a -: massimo |
Per k\geq 0 il punto x=0 è un minimo (la funzione ha un solo avvallamento, profilo «a U»); per k<0 diventa un massimo locale, circondato da due minimi simmetrici in \pm\sqrt{-k/2} (profilo «a W»). Il parametro k governa quindi la transizione U \to W, e k=0 è il valore critico in cui le due gobbe laterali nascono.
3. Valori dei minimi laterali (caso k < 0)
Per k<0, nei punti x=\pm\sqrt{-k/2}:
f_k\!\left(\sqrt{-k/2}\right)=\left(-\dfrac{k}{2}\right)^2+k\left(-\dfrac{k}{2}\right)=\dfrac{k^2}{4}-\dfrac{k^2}{2}=-\dfrac{k^2}{4}.
I due minimi assoluti stanno a quota -\dfrac{k^2}{4} (sempre negativa), mentre il massimo in 0 vale 0.
4. Grafico (k = −2, profilo a W)
Sintesi: strategie per i parametri
- Una condizione → un’equazione. «Estremo in x_0» significa f'(x_0)=0; «passa per (x_0,y_0)» significa f(x_0)=y_0; «flesso in x_0» significa f''(x_0)=0. Ogni richiesta è un’equazione nel parametro.
- Più condizioni → sistema. Con n parametri servono n condizioni indipendenti; si risolve il sistema lineare (o no) che ne deriva.
- Punto fisso: si isola il termine che contiene il parametro e lo si annulla. Il punto (x_0,y_0) per cui ciò vale per ogni k appartiene a tutte le curve.
- Luogo geometrico: si esprimono le coordinate del punto notevole (vertice, estremo) in funzione di k, poi si elimina k ricavandolo da una coordinata e sostituendolo nell’altra.
- Natura variabile di un punto: si studia il segno di f' (o di f'') attorno al punto al variare di k; i valori-soglia di k sono quelli in cui un fattore cambia segno o compaiono nuovi punti critici.