Le funzioni logaritmiche portano nello studio di funzione due aspetti che le distinguono nettamente dai polinomi e dalle esponenziali.
Il dominio diventa il primo vero ostacolo. Il logaritmo \ln g(x) esiste solo dove il suo argomento è strettamente positivo, g(x)>0. Trovare il dominio significa quindi risolvere una disequazione, e questo determina su quali intervalli ha senso tutto il resto dello studio.
Compaiono limiti notevoli specifici. Vicino a zero e all’infinito il logaritmo ha comportamenti che vanno conosciuti a memoria:
\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty,
ma soprattutto, nel confronto con le potenze, il logaritmo perde sempre:
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0.
La prima dice che a +\infty qualunque potenza positiva di x cresce più del logaritmo; la seconda, sua «cugina», dice che vicino a 0 il fattore x schiaccia la divergenza di \ln x. Sono i mattoni di quasi tutti i limiti di questa scheda.
I quattro esercizi seguono lo schema generale: prima il prodotto x\ln x, poi il quoziente \displaystyle \dfrac{\ln x}{x}, quindi due logaritmi di argomento composto — uno quadratico (dominio spezzato in due) e uno fratto (con due asintoti verticali e simmetria dispari).
Esercizio 1 — Il prodotto x·ln x
Studiare la funzione
f(x)=x\ln x.
1. Dominio e simmetrie
Il logaritmo richiede argomento positivo, x>0, quindi
D=(0,+\infty).
Il dominio non è simmetrico rispetto all’origine, quindi non ha senso chiedersi se la funzione sia pari o dispari.
2. Intersezioni e segno
L’asse y (x=0) è escluso dal dominio. Per le intersezioni con l’asse x poniamo x\ln x=0: poiché x>0, deve annullarsi \ln x, cioè x=1. Unico zero (1,0).
Segno: nel dominio x>0 il fattore x è sempre positivo, quindi il segno di f è quello di \ln x (negativo per 0<x<1, positivo per x>1):
| Intervallo | \ln x | f(x) |
|---|---|---|
| (0,1) | - | - |
| (1,+\infty) | + | + |
3. Limiti e asintoti
Verso 0^+ interviene il limite notevole x\ln x\to 0:
\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0^-.
Il prodotto tende a 0 (da sotto, perché lì f<0): nonostante \ln x\to-\infty, il fattore x vince. Non c’è asintoto verticale in x=0: la curva arriva nell’origine come punto limite (la funzione è prolungabile con continuità ponendo f(0)=0).
Verso +\infty: x\to+\infty e \ln x\to+\infty, quindi
\lim_{x\to+\infty}x\ln x=+\infty.
Nessun asintoto orizzontale né obliquo (il prodotto cresce più di ogni retta).
4. Derivata prima
Regola del prodotto, con \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}:
f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1.
Si annulla dove \ln x=-1, cioè x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}37:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (0,\dfrac{1}{e}) | - | decrescente |
| (\dfrac{1}{e},+\infty) | + | crescente |
In x=\dfrac{1}{e} la derivata passa da - a +: minimo relativo e assoluto. Il valore:
f\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}\ln\dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e}\cdot(-1)=-\dfrac{1}{e}\approx -0{,}37.
Minimo m\left(\dfrac{1}{e},-\dfrac{1}{e}\right).
5. Derivata seconda
f''(x)=\dfrac{1}{x}.
Nel dominio x>0 si ha f''(x)>0 sempre: la concavità è ovunque verso l’alto e non ci sono flessi. La funzione è convessa su tutto il suo dominio.
6. Grafico
Esercizio 2 — Il quoziente (ln x)/x
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{\ln x}{x}.
Stesso dominio dell’esercizio precedente, ma comportamento «specchiato»: qui il logaritmo sta al numeratore e l’asintoto orizzontale ricompare.
1. Dominio e simmetrie
Argomento del logaritmo positivo e denominatore non nullo: entrambe le condizioni si riducono a x>0. Quindi
D=(0,+\infty),
di nuovo non simmetrico (nessuna parità da verificare).
2. Intersezioni e segno
Asse y escluso. Asse x: la frazione è nulla dove si annulla il numeratore, \ln x=0, cioè x=1. Zero (1,0).
Segno: nel dominio il denominatore x è positivo, quindi il segno di f è quello di \ln x: negativo in (0,1), positivo in (1,+\infty).
3. Limiti e asintoti
Verso 0^+: il numeratore \ln x\to-\infty e il denominatore x\to 0^+, quindi \dfrac{-\infty}{0^+}=-\infty:
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty.
La retta x=0 è asintoto verticale (ramo che precipita a -\infty).
Verso +\infty interviene il limite notevole \dfrac{\ln x}{x}\to 0:
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0^+.
La retta y=0 è asintoto orizzontale (da sopra, perché lì f>0).
4. Derivata prima
Regola del quoziente, con N=\ln x (N'=\dfrac{1}{x}) e D=x (D'=1):
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}.
Il denominatore x^2 è positivo: il segno è quello di 1-\ln x, che si annulla dove \ln x=1, cioè x=e\approx 2{,}72:
| Intervallo | 1-\ln x | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|
| (0,e) | + | + | crescente |
| (e,+\infty) | - | - | decrescente |
In x=e la derivata passa da + a -: massimo relativo e assoluto. Il valore:
f(e)=\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}37.
Massimo M\left(e,\dfrac{1}{e}\right). È un risultato classico: la funzione \displaystyle \dfrac{\ln x}{x} ha il suo picco proprio in x=e — fatto alla base della dimostrazione che e^\pi>\pi^e.
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=(1-\ln x)\,x^{-2} col prodotto:
f''(x)=\left(-\dfrac{1}{x}\right)x^{-2}+(1-\ln x)(-2)x^{-3}=x^{-3}\big[-1-2(1-\ln x)\big]=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}.
Nel dominio x^3>0, quindi il segno è quello di 2\ln x-3, che si annulla dove \ln x=\dfrac{3}{2}, cioè x=e^{3/2}\approx 4{,}48:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (0,e^{3/2}) | - | verso il basso |
| (e^{3/2},+\infty) | + | verso l’alto |
C’è un flesso in x=e^{3/2}, di ordinata f(e^{3/2})=\dfrac{3/2}{e^{3/2}}\approx 0{,}33. Oltre il flesso la curva, pur decrescendo, volge la concavità verso l’alto mentre si appiattisce sull’asintoto y=0.
6. Grafico
Esercizio 3 — Logaritmo di argomento quadratico
Studiare la funzione
f(x)=\ln(x^2-1).
Qui il dominio si spezza in due intervalli separati e compaiono due asintoti verticali.
1. Dominio e simmetrie
Imponiamo argomento positivo, x^2-1>0, cioè (x-1)(x+1)>0: la disequazione è soddisfatta all’esterno delle radici,
D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
Il dominio è simmetrico rispetto all’origine, quindi controlliamo la parità: f(-x)=\ln((-x)^2-1)=\ln(x^2-1)=f(x). La funzione è pari, simmetrica rispetto all’asse y. Basta studiare il ramo x>1 e ribaltarlo.
2. Intersezioni e segno
L’asse y è escluso (x=0 non nel dominio). Asse x: \ln(x^2-1)=0 equivale a x^2-1=1, cioè x^2=2, da cui x=\pm\sqrt2\approx\pm1{,}41. Due zeri, (\pm\sqrt2,0).
Segno: ricordando che \ln t>0 per t>1 e \ln t<0 per 0<t<1, studiamo l’argomento x^2-1:
- f>0 dove x^2-1>1, cioè |x|>\sqrt2;
- f<0 dove 0<x^2-1<1, cioè 1<|x|<\sqrt2.
Avvicinandosi a |x|=1 l’argomento tende a 0^+ e il logaritmo a -\infty.
3. Limiti e asintoti
Verso \pm\infty: x^2-1\to+\infty, quindi f\to+\infty. Nessun asintoto orizzontale.
Vicino ai bordi del dominio x=\pm1 l’argomento tende a 0^+:
\lim_{x\to 1^+}\ln(x^2-1)=-\infty,\qquad \lim_{x\to -1^-}\ln(x^2-1)=-\infty.
Le rette x=1 e x=-1 sono due asintoti verticali. (I limiti dall’altro lato, x\to1^- e x\to-1^+, non esistono perché lì la funzione non è definita.)
4. Derivata prima
Catena, \dfrac{d}{dx}\ln g=\dfrac{g'}{g} con g=x^2-1 e g'=2x:
f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}.
Nel dominio |x|>1 il denominatore x^2-1 è positivo, quindi il segno di f' è quello di 2x:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
Nessun estremo: la derivata si annullerebbe in x=0, che però è fuori dal dominio. Sul ramo destro la funzione cresce sempre, sul sinistro decresce sempre (coerente con la simmetria pari).
5. Derivata seconda
Regola del quoziente su f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}, con N=2x (N'=2) e D=x^2-1 (D'=2x):
f''(x)=\dfrac{2(x^2-1)-2x\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{2x^2-2-4x^2}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-2x^2-2}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}.
Il numeratore -2(x^2+1) è sempre negativo e il denominatore è un quadrato positivo, quindi f''(x)<0 su tutto il dominio: concavità ovunque verso il basso, nessun flesso. Entrambi i rami sono «cupole» che scendono verso i rispettivi asintoti verticali.
6. Grafico
Esercizio 4 — Logaritmo di argomento fratto
Studiare la funzione
f(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right).
Un logaritmo il cui argomento è una frazione: il dominio si trova con una disequazione fratta, e compaiono insieme asintoti verticali e un asintoto orizzontale.
1. Dominio e simmetrie
Imponiamo argomento positivo, \dfrac{x-1}{x+1}>0. Una frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno; con la regola dei segni la disequazione è soddisfatta all’esterno delle radici -1 e 1:
D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
Il dominio è simmetrico rispetto all’origine. Verifichiamo la parità:
La funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all’origine (anche se l’origine non appartiene al dominio, la simmetria lega i due rami).
2. Intersezioni e segno
Assi: l’asse y è escluso. Asse x: \displaystyle \ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=0 richiede \displaystyle \dfrac{x-1}{x+1}=1, cioè x-1=x+1, impossibile. La funzione non ha zeri.
Segno: il logaritmo è positivo dove l’argomento supera 1. Risolviamo \dfrac{x-1}{x+1}>1 portando tutto a sinistra:
\dfrac{x-1}{x+1}-1=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x+1}=\dfrac{-2}{x+1}>0\iff x+1<0\iff x<-1.
Dunque f>0 sul ramo (-\infty,-1) e f<0 sul ramo (1,+\infty) (dove 0<\text{argomento}<1), in accordo con la disparità.
3. Limiti e asintoti
Verso \pm\infty: l’argomento \dfrac{x-1}{x+1}\to 1, quindi f\to\ln 1=0:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=0^+,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0^-.
La retta y=0 è asintoto orizzontale bilatero (avvicinato da sopra a sinistra, da sotto a destra).
Vicino ai bordi x=\pm1 studiamo l’argomento:
- x\to 1^+: \dfrac{x-1}{x+1}\to\dfrac{0^+}{2}=0^+, quindi f\to-\infty;
- x\to -1^-: \dfrac{x-1}{x+1}\to\dfrac{-2}{0^-}=+\infty, quindi f\to+\infty.
Le rette x=1 e x=-1 sono due asintoti verticali.
4. Derivata prima
Conviene spezzare il logaritmo prima di derivare, f(x)=\ln(x-1)-\ln(x+1):
f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{x^2-1}.
Nel dominio |x|>1 il denominatore x^2-1 è positivo, quindi f'(x)>0 su tutto il dominio: la funzione è crescente su entrambi i rami, senza estremi.
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=2(x^2-1)^{-1} con la catena:
f''(x)=2\cdot(-1)(x^2-1)^{-2}\cdot 2x=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}.
Il denominatore è un quadrato positivo, quindi il segno di f'' è quello di -4x (opposto a x):
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | verso l’alto |
| (1,+\infty) | - | verso il basso |
Nessun flesso: f'' si annullerebbe in x=0, fuori dal dominio. Il ramo sinistro è concavo verso l’alto, quello destro verso il basso — configurazione coerente con la simmetria dispari.
6. Grafico
Sintesi: i riflessi da automatizzare
Per le funzioni logaritmiche conviene fissare alcune mosse ricorrenti:
- Dominio per primo, sempre. \ln g(x) esiste dove g(x)>0: si risolve una disequazione, eventualmente fratta o di secondo grado. È il passo che determina tutto il resto.
- Asintoti verticali dai bordi del dominio. Dove l’argomento tende a 0^+, il logaritmo tende a -\infty: lì nasce un asintoto verticale. Sono i punti in cui g(x)=0 avvicinati da dentro il dominio.
- Limiti notevoli. x\ln x\to 0 in 0^+ (niente asintoto, punto limite) e \displaystyle \dfrac{\ln x}{x}\to 0 a +\infty (asintoto orizzontale). Distinguono i due esercizi gemelli 1 e 2.
- Derivata pulita con le proprietà. Spezzare \displaystyle \ln\dfrac{A}{B}=\ln A-\ln B e \ln(AB)=\ln A+\ln B prima di derivare semplifica enormemente i conti, come nell’esercizio 4.
- Derivata della catena: \big(\ln g\big)'=\dfrac{g'}{g}. Il segno dipende dal rapporto g'/g valutato dentro il dominio.