Le funzioni irrazionali — quelle in cui la variabile compare sotto un segno di radice — aggiungono allo studio di funzione due elementi caratteristici.
Il dominio dipende dall’indice della radice. Una radice di indice pari (quadrata, quarta, …) esiste solo dove il radicando è \geq 0: il dominio si trova risolvendo una disequazione. Una radice di indice dispari (cubica, quinta, …) esiste invece per ogni valore del radicando, quindi non pone vincoli di dominio: \sqrt[3]{g(x)} è definita ovunque lo è g(x).
Compaiono punti di non derivabilità. Anche dove la funzione è continua, la derivata può «esplodere»: nei punti in cui il radicando di una radice pari si annulla si formano spesso tangenti verticali, e nelle radici di potenze pari (come \sqrt[3]{x^2}) possono comparire cuspidi, punti a punta in cui le due derivate laterali tendono a infiniti di segno opposto. Riconoscerli e classificarli è il contributo nuovo di questa famiglia al passo della derivata prima.
I quattro esercizi seguono lo schema generale: radice quadrata di un trinomio (con asintoti obliqui), radice per polinomio, radice cubica con cuspide e infine un’irrazionale fratta con due tangenti verticali.
Esercizio 1 — Radice di trinomio e asintoti obliqui
Studiare la funzione
f(x)=\sqrt{x^2-1}.
1. Dominio e simmetrie
Radice quadrata: il radicando dev’essere \geq 0, cioè x^2-1\geq 0, ovvero |x|\geq 1:
D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty).
Gli estremi \pm1 appartengono al dominio (lì il radicando vale 0 e la radice 0). Il dominio è simmetrico; verifichiamo la parità: f(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}=\sqrt{x^2-1}=f(x), quindi la funzione è pari.
2. Intersezioni e segno
L’asse y (x=0) è escluso. Asse x: \sqrt{x^2-1}=0 dove x^2-1=0, cioè x=\pm1. La radice quadrata è per definizione \geq 0, quindi la funzione è sempre positiva (tranne nei due zeri \pm1): non assume mai valori negativi.
3. Limiti e asintoti
Per x\to\pm\infty il radicando tende a +\infty, quindi f\to+\infty: nessun asintoto orizzontale. Cerchiamo gli asintoti obliqui y=mx+q. Per x\to+\infty:
m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2}}=\sqrt{1}=1,
q=\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2-1}-x\big)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(x^2-1)-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}=0.
(abbiamo razionalizzato moltiplicando per il coniugato). L’asintoto a destra è y=x. Per simmetria pari, a x\to-\infty l’asintoto è y=-x. Le due rette y=\pm x sono le bisettrici: il grafico è il ramo superiore di un’iperbole equilatera.
4. Derivata prima
Catena, \dfrac{d}{dx}\sqrt{u}=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} con u=x^2-1 e u'=2x:
f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}.
Nel dominio interno (|x|>1) il denominatore è positivo, quindi il segno di f' è quello di x:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
Nessun estremo interno. Agli estremi del dominio x=\pm1 il denominatore \sqrt{x^2-1}\to 0^+, quindi |f'|\to+\infty: in (\pm1,0) il grafico ha tangente verticale. La curva «parte» dai punti (\pm1,0) salendo verticalmente, per poi piegarsi verso le bisettrici.
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=x(x^2-1)^{-1/2} col prodotto:
f''(x)=(x^2-1)^{-1/2}+x\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)(x^2-1)^{-3/2}\cdot 2x=(x^2-1)^{-3/2}\big[(x^2-1)-x^2\big]=\dfrac{-1}{(x^2-1)^{3/2}}.
Il denominatore (x^2-1)^{3/2} è positivo nel dominio interno, quindi f''(x)<0 ovunque: concavità sempre verso il basso, nessun flesso. Entrambi i rami sono concavi verso il basso, coerentemente con la forma a iperbole.
6. Grafico
Esercizio 2 — Radice per polinomio
Studiare la funzione
f(x)=x\sqrt{x+1}.
1. Dominio e simmetrie
La radice \sqrt{x+1} richiede x+1\geq 0, cioè x\geq -1:
D=[-1,+\infty).
Dominio non simmetrico: nessuna parità da verificare.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0\cdot\sqrt1=0, l’origine.
Asse x: x\sqrt{x+1}=0 dove x=0 oppure x+1=0, cioè x=-1. Due zeri, (-1,0) e (0,0).
Segno: nel dominio \sqrt{x+1}\geq 0, quindi il segno di f è quello del fattore x: negativa in (-1,0), positiva in (0,+\infty).
3. Limiti e asintoti
Per x\to+\infty, f\to+\infty. Verifichiamo se c’è asintoto obliquo:
m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x\sqrt{x+1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+1}=+\infty.
Il coefficiente angolare è infinito: nessun asintoto obliquo. La funzione cresce come x^{3/2}, più di qualunque retta. Nessun asintoto verticale (dominio senza punti esclusi) né orizzontale.
4. Derivata prima
Regola del prodotto, con \dfrac{d}{dx}\sqrt{x+1}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}:
f'(x)=\sqrt{x+1}+x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}=\dfrac{2(x+1)+x}{2\sqrt{x+1}}=\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}.
(abbiamo messo a denominatore comune 2\sqrt{x+1}). Nel dominio interno (x>-1) il denominatore è positivo, quindi il segno è quello di 3x+2, che si annulla in x=-\dfrac{2}{3}:
| Intervallo | 3x+2 | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|
| (-1,-\dfrac{2}{3}) | - | - | decrescente |
| (-\dfrac{2}{3},+\infty) | + | + | crescente |
In x=-\dfrac{2}{3} la derivata passa da - a +: minimo relativo e assoluto. Il valore:
Minimo m\left(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{2\sqrt3}{9}\right). All’estremo x=-1 il denominatore \sqrt{x+1}\to 0^+ e il numeratore tende a -1, quindi f'\to-\infty: tangente verticale nel punto (-1,0).
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=\dfrac{1}{2}(3x+2)(x+1)^{-1/2} col prodotto:
f''(x)=\dfrac{1}{2}\Big[3(x+1)^{-1/2}+(3x+2)\left(-\dfrac{1}{2}\right)(x+1)^{-3/2}\Big]=\dfrac{1}{4}(x+1)^{-3/2}\big[6(x+1)-(3x+2)\big].
Sviluppando la parentesi quadra, 6(x+1)-(3x+2)=6x+6-3x-2=3x+4:
f''(x)=\dfrac{3x+4}{4\,(x+1)^{3/2}}.
Nel dominio x>-1 si ha 3x+4>3(-1)+4=1>0 e il denominatore è positivo, quindi f''(x)>0 ovunque: concavità verso l’alto su tutto il dominio, nessun flesso.
6. Grafico
Esercizio 3 — Radice cubica e cuspide
Studiare la funzione
f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}.
Questo esercizio introduce la cuspide, il punto di non derivabilità più «aguzzo».
1. Dominio e simmetrie
La radice cubica esiste per ogni reale; il radicando x^2 è definito ovunque. Quindi
D=\mathbb{R}.
Inoltre f(-x)=\sqrt[3]{(-x)^2}=\sqrt[3]{x^2}=f(x): la funzione è pari, simmetrica rispetto all’asse y.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0. Asse x: \sqrt[3]{x^2}=0 solo in x=0. Poiché x^2\geq 0 e la radice cubica conserva il segno del radicando, f(x)\geq 0 sempre: la funzione è non negativa, nulla solo nell’origine.
3. Limiti e asintoti
Per x\to\pm\infty, x^{2/3}\to+\infty. Asintoto obliquo? \displaystyle m=\lim\dfrac{x^{2/3}}{x}=\lim x^{-1/3}=0 e \displaystyle q=\lim x^{2/3}=+\infty: nessun asintoto (né obliquo né orizzontale). La crescita è più lenta di una retta ma comunque illimitata.
4. Derivata prima
f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}.
Per x>0 si ha \sqrt[3]{x}>0 quindi f'>0; per x<0 si ha \sqrt[3]{x}<0 quindi f'<0:
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | - | decrescente |
| (0,+\infty) | + | crescente |
In x=0 c’è quindi un minimo (assoluto), nell’origine. Ma osserviamo il comportamento della derivata avvicinandosi a 0:
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^-}\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}=-\infty.
Le due derivate laterali tendono a infiniti di segno opposto: la funzione non è derivabile in x=0, e il punto è una cuspide. Il grafico arriva all’origine «a punta», con i due rami tangenti entrambi all’asse y ma da lati opposti.
5. Derivata seconda
f''(x)=\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)x^{-4/3}=-\dfrac{2}{9}x^{-4/3}=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}.
Il termine x^{-4/3}=1/\sqrt[3]{x^4} è positivo per ogni x\neq 0 (l’esponente 4 rende il radicando positivo), quindi f''(x)<0 su tutto il dominio esclusa l’origine: concavità sempre verso il basso, nessun flesso. La cuspide è dunque un minimo «a punta» con entrambi i rami concavi verso il basso.
6. Grafico
Esercizio 4 — Irrazionale fratta con tangenti verticali
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}.
Combina il dominio di una radice pari, la presenza di un denominatore e due tangenti verticali. È la versione «completa» del caso accennato nella scheda sui domini simmetrici.
1. Dominio e simmetrie
Due condizioni: radicando \geq 0 (x^2-1\geq 0, cioè |x|\geq 1) e denominatore non nullo (x\neq 0). La seconda è già implicata dalla prima (0 non sta in |x|\geq1), quindi
D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty).
Il dominio è simmetrico. Parità: f(-x)=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{-x}=-\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}=-f(x), quindi la funzione è dispari (simmetria rispetto all’origine).
2. Intersezioni e segno
L’asse y è escluso. Asse x: il numeratore \sqrt{x^2-1} si annulla in x=\pm1. Due zeri, (\pm1,0).
Segno: il numeratore è \geq 0, quindi il segno di f è quello del denominatore x: positiva sul ramo x\geq 1, negativa sul ramo x\leq -1.
3. Limiti e asintoti
Per x\to+\infty, dividendo dentro la radice:
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2}}=\sqrt{1}=1.
La retta y=1 è asintoto orizzontale a +\infty. Per x\to-\infty, attenzione al segno: x<0, quindi \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}=-\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2}}\to-1. La retta y=-1 è asintoto orizzontale a -\infty. (Coerente con la disparità: l’asintoto a sinistra è l’opposto di quello a destra.) Nessun asintoto verticale: i bordi x=\pm1 appartengono al dominio e lì la funzione vale 0, non \infty.
4. Derivata prima
Scriviamo f(x)=x^{-1}(x^2-1)^{1/2} e deriviamo col prodotto:
f'(x)=-x^{-2}(x^2-1)^{1/2}+x^{-1}\cdot\dfrac{x}{(x^2-1)^{1/2}}=-\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}.
Mettiamo a denominatore comune x^2\sqrt{x^2-1}:
f'(x)=\dfrac{-(x^2-1)+x^2}{x^2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}.
Nel dominio interno il denominatore è positivo, quindi f'(x)>0 ovunque: la funzione è crescente su entrambi i rami, senza estremi. Agli estremi x=\pm1 il fattore \sqrt{x^2-1}\to 0^+ rende f'\to+\infty: tangenti verticali nei punti (\pm1,0).
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=x^{-2}(x^2-1)^{-1/2} col prodotto:
f''(x)=-2x^{-3}(x^2-1)^{-1/2}+x^{-2}\left(-\dfrac{1}{2}\right)(x^2-1)^{-3/2}\cdot 2x=-x^{-3}(x^2-1)^{-3/2}\big[2(x^2-1)+x^2\big].
Sviluppando, 2(x^2-1)+x^2=3x^2-2:
f''(x)=\dfrac{-(3x^2-2)}{x^3\,(x^2-1)^{3/2}}.
Nel dominio |x|>1 il fattore 3x^2-2>1>0 e (x^2-1)^{3/2}>0, quindi il segno di f'' è quello di -\dfrac{1}{x^3}, cioè l’opposto del segno di x:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | verso l’alto |
| (1,+\infty) | - | verso il basso |
Nessun flesso (il numeratore non si annulla nel dominio): il ramo sinistro è concavo verso l’alto, il destro verso il basso, come impone la simmetria dispari.
6. Grafico
Sintesi: dominio e non derivabilità
Le funzioni irrazionali si gestiscono tenendo a mente due tabelle mentali.
Dominio secondo l’indice:
- radice di indice pari \sqrt[2k]{g(x)}: imporre g(x)\geq 0 (disequazione);
- radice di indice dispari \sqrt[2k+1]{g(x)}: nessun vincolo dal radicale, dominio uguale a quello di g;
- radice a denominatore: imporre il radicando \gt 0 (strettamente, per non annullare il denominatore).
Non derivabilità nei punti critici. Dove la derivata «esplode» (|f'|\to+\infty) il grafico ha tangente verticale; per classificare il punto si guardano le derivate laterali:
- entrambe \to+\infty (o entrambe \to-\infty): flesso a tangente verticale;
- una \to+\infty e l’altra \to-\infty: cuspide (come \sqrt[3]{x^2} nell’origine);
- ai bordi di un dominio chiuso, dove la funzione esiste da un solo lato, si ha mezza tangente verticale (come \sqrt{x^2-1} in \pm1).
Per gli asintoti obliqui di una radice quadrata, la mossa risolutiva è sempre la razionalizzazione col coniugato, che trasforma la differenza \sqrt{\cdots}-(mx) in una frazione con limite calcolabile.