Studio di funzione iperbolica

Le funzioni iperboliche sono combinazioni di esponenziali che ricorrono in fisica e ingegneria (cavi sospesi, travi, propagazione del calore). Si definiscono come

$\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad \cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$

Soddisfano l’identità fondamentale $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$ (analoga a $\cos^2+\sin^2=1$ , ma con un segno meno: da qui il nome «iperboliche», legate all’iperbole $X^2-Y^2=1$ come le circolari al cerchio). Le derivate sono speculari a quelle goniometriche, senza i cambi di segno:

$(\sinh x)'=\cosh x,\qquad (\cosh x)'=\sinh x,\qquad (\tanh x)'=\dfrac{1}{\cosh^2 x}=1-\tanh^2 x.$

Poiché derivano dagli esponenziali, il loro studio si appoggia agli stessi limiti (vedi funzioni esponenziali). I quattro esercizi seguono lo schema generale.

Esercizio 1 — Il seno iperbolico

Studiare la funzione

$f(x)=\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}.$

1. Dominio e simmetrie

$D=\mathbb{R}$ . La funzione è dispari: $\sinh(-x)=\dfrac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-\sinh x$ . Grafico simmetrico rispetto all’origine.

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=\dfrac{1-1}{2}=0$ . Asse $x$ : $\sinh x=0$ richiede $e^x=e^{-x}$ , cioè $x=0$ . Unico zero, l’origine. Segno: per $x>0$ si ha $e^x>e^{-x}$ , quindi $\sinh x>0$ ; per $x<0$ , negativa (coerente con la disparità).

3. Limiti e asintoti

Per $x\to+\infty$ , $\sinh x\approx\dfrac{e^x}{2}\to+\infty$ ; per $x\to-\infty$ , $\to-\infty$ . La crescita è esponenziale, quindi nessun asintoto (né orizzontale né obliquo: cresce più di ogni retta).

4. Derivata prima

$f'(x)=\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}.$

Il coseno iperbolico è sempre $\geq 1>0$ (somma di due esponenziali positivi, minimo in $x=0$ ), quindi $f'(x)>0$ ovunque: $\sinh$ è strettamente crescente, senza estremi.

5. Derivata seconda

$f''(x)=\sinh x.$

Si annulla in $x=0$ cambiando segno (negativa per $x<0$ , positiva per $x>0$ ): flesso in $(0,0)$ , a tangente obliqua (pendenza $f'(0)=\cosh 0=1$ ).

6. Grafico

Seno iperbolico: dispari, strettamente crescente (derivata cosh x ≥ 1), flesso a tangente obliqua nell'origine. Crescita esponenziale ai due lati, nessun asintoto.

Esercizio 2 — Il coseno iperbolico (catenaria)

Studiare la funzione

$f(x)=\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}.$

È la catenaria: la forma assunta da un cavo o una catena appesi ai due estremi sotto il proprio peso.

1. Dominio e simmetrie

$D=\mathbb{R}$ . La funzione è pari: $\cosh(-x)=\dfrac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\cosh x$ . Simmetrica rispetto all’asse $y$ .

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=\dfrac{1+1}{2}=1$ . Asse $x$ : $\cosh x$ è somma di due quantità positive divise per $2$ , quindi vale sempre $\geq 1$ : non si annulla mai, nessuno zero, sempre positiva.

3. Limiti e asintoti

Per $x\to\pm\infty$ , $\cosh x\approx\dfrac{e^{|x|}}{2}\to+\infty$ . Nessun asintoto.

4. Derivata prima

$f'(x)=\sinh x.$

Si annulla in $x=0$ , passando da negativa (per $x<0$ ) a positiva (per $x>0$ ): minimo assoluto $(0,1)$ . È il punto più basso della catenaria.

5. Derivata seconda

$f''(x)=\cosh x\geq 1>0\quad\text{ovunque}.$

La funzione è convessa su tutto $\mathbb{R}$ , nessun flesso: la catenaria volge sempre la concavità verso l’alto.

6. Grafico

Coseno iperbolico (catenaria): pari, sempre ≥ 1, con minimo assoluto in (0, 1). Convessa ovunque, crescita esponenziale ai lati. È la forma di un cavo appeso ai due estremi.

Esercizio 3 — La tangente iperbolica

Studiare la funzione

$f(x)=\tanh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$

1. Dominio e simmetrie

Il denominatore $\cosh x\geq 1$ non si annulla mai, quindi $D=\mathbb{R}$ . La funzione è dispari: $\tanh(-x)=-\tanh x$ .

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=0$ . Asse $x$ : $\tanh x=0$ dove $\sinh x=0$ , cioè $x=0$ . Segno: positiva per $x>0$ , negativa per $x<0$ .

3. Limiti e asintoti

Dividendo numeratore e denominatore per $e^x$ :

$\lim_{x\to+\infty}\tanh x=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=1,\qquad \lim_{x\to-\infty}\tanh x=-1.$

Ci sono due asintoti orizzontali: $y=1$ a destra e $y=-1$ a sinistra. La funzione resta confinata nella striscia $-1<\tanh x<1$ .

4. Derivata prima

$f'(x)=1-\tanh^2 x=\dfrac{1}{\cosh^2 x}.$

È sempre positiva (quadrato a denominatore), quindi $\tanh$ è strettamente crescente, senza estremi. La pendenza massima è $f'(0)=1$ .

5. Derivata seconda

$f''(x)=-2\tanh x\cdot\dfrac{1}{\cosh^2 x}.$

Il fattore $\displaystyle \dfrac{1}{\cosh^2 x}$ è positivo, quindi il segno è opposto a quello di $\tanh x$ (cioè opposto al segno di $x$ ):

Intervallo	$f''(x)$	Concavità
$(-\infty,0)$	$+$	verso l’alto
$(0,+\infty)$	$-$	verso il basso

In $x=0$ un flesso $(0,0)$ a tangente obliqua. Il profilo «a S» ricorda la sigmoide logistica, ma $\tanh$ è dispari e varia tra $-1$ e $1$ (la sigmoide tra $0$ e $1$ ). In effetti vale la relazione $\tanh x=2\,\sigma(2x)-1$ .

6. Grafico

Tangente iperbolica: dispari, sempre crescente, confinata in −1 < y < 1. Due asintoti orizzontali y = ±1; flesso a tangente obliqua nell'origine. Profilo a S, parente dispari della sigmoide.

Esercizio 4 — Una combinazione: tanh x − x

Studiare la funzione

$f(x)=\tanh x-x.$

Combina la tangente iperbolica con un termine lineare, generando asintoti obliqui.

1. Dominio e simmetrie

$D=\mathbb{R}$ . È dispari: $f(-x)=\tanh(-x)-(-x)=-\tanh x+x=-(\tanh x-x)=-f(x)$ .

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=0$ . Per gli zeri, anticipiamo (passo 4) che la funzione è decrescente: ha quindi un solo zero, $x=0$ . Segno: negativa per $x>0$ , positiva per $x<0$ (disparità).

3. Limiti e asintoti

Per $x\to+\infty$ , $\tanh x\to 1$ resta limitato, mentre $-x\to-\infty$ : quindi $f\to-\infty$ . Asintoto obliquo:

$m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\tanh x-x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\tanh x}{x}-1\right)=0-1=-1,$

$q=\lim_{x\to+\infty}\big(\tanh x-x-(-x)\big)=\lim_{x\to+\infty}\tanh x=1.$

La retta $y=-x+1$ è asintoto obliquo a $+\infty$ . Per simmetria dispari, a $x\to-\infty$ l’asintoto è $y=-x-1$ .

4. Derivata prima

$f'(x)=\dfrac{1}{\cosh^2 x}-1=\dfrac{1-\cosh^2 x}{\cosh^2 x}=-\dfrac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x}=-\tanh^2 x.$

(abbiamo usato $\cosh^2-1=\sinh^2$ ). Essendo l’opposto di un quadrato, $f'(x)\leq 0$ sempre, e si annulla solo in $x=0$ senza cambiare segno: la funzione è decrescente (in senso debole), e in $x=0$ ha tangente orizzontale ma non un estremo — sarà un flesso a tangente orizzontale.

5. Derivata seconda

$f''(x)=-2\tanh x\cdot\dfrac{1}{\cosh^2 x}.$

Si annulla in $x=0$ cambiando segno: flesso. Poiché lì anche $f'=0$ , la tangente è orizzontale: flesso a tangente orizzontale in $(0,0)$ . Il segno (opposto a $\tanh x$ ) dà concavità verso l’alto per $x<0$ e verso il basso per $x>0$ .

6. Grafico

Funzione dispari, decrescente (f′ = −tanh²x ≤ 0). Flesso a tangente orizzontale nell'origine. Due asintoti obliqui simmetrici: y = −x + 1 a +∞ e y = −x − 1 a −∞.

Sintesi: iperboliche in breve

Funzione	Parità	Monotonia	Asintoti	Note
$\sinh x$	dispari	crescente	nessuno	flesso in $0$ , crescita esponenziale
$\cosh x$	pari	min in $0$	nessuno	catenaria, sempre $\geq 1$ , convessa
$\tanh x$	dispari	crescente	orizzontali $y=\pm1$	flesso in $0$ , profilo a S

Punti da ricordare:

Definizioni esponenziali: ogni studio iperbolico si riconduce, se serve, a $e^x$ ed $e^{-x}$ . I limiti all’infinito si calcolano dividendo per la potenza dominante (come per $\tanh x$ ).
Derivate senza cambio di segno: $(\sinh)'=\cosh$ , $(\cosh)'=\sinh$ — a differenza delle goniometriche, dove $(\cos)'=-\sin$ . Da qui $\cosh$ sempre convessa.
Identità utili: $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$ e $\displaystyle 1-\tanh^2 x=\dfrac{1}{\cosh^2 x}$ semplificano le derivate, come in $\tanh x-x$ .
Asintoti: $\sinh$ e $\cosh$ non ne hanno (crescita esponenziale); $\tanh$ ha i due asintoti orizzontali $y=\pm1$ ; le combinazioni con termini lineari (come $\tanh x-x$ ) producono asintoti obliqui.