Una funzione integrale ha la forma
F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,
dove l’estremo superiore è la variabile x. Studiarla sembra difficile — spesso F non ha un’espressione elementare — ma il teorema fondamentale del calcolo la rende sorprendentemente trattabile: se f è continua, allora F è derivabile e
F'(x)=f(x).
La derivata di F è l’integranda stessa. Questo ribalta lo studio: invece di derivare F (che non conosciamo), leggiamo direttamente f:
- monotonia di F \leftrightarrow segno di f: dove f>0, F cresce; dove f<0, F decresce;
- estremi di F \leftrightarrow zeri di f con cambio di segno;
- concavità di F \leftrightarrow segno di f' (cioè F''=f'); i flessi di F sono gli estremi di f.
Inoltre F(a)=0, perché l’intervallo di integrazione è nullo: la funzione integrale parte sempre da zero nel punto a. I tre esercizi seguono lo schema generale, letto attraverso il teorema fondamentale.
Esercizio 1 — Funzione integrale con primitiva nota
Studiare la funzione integrale
F(x)=\int_0^x (t^2-1)\,dt.
1. Derivata immediata (teorema fondamentale)
Per il teorema fondamentale, F'(x)=x^2-1 (l’integranda valutata in x). Inoltre F(0)=0: il grafico passa per l’origine.
In questo caso possiamo anche calcolare F esplicitamente, per confronto: F(x)=\left[\dfrac{t^3}{3}-t\right]_0^x=\dfrac{x^3}{3}-x. Ma lo studio si può condurre senza questo calcolo, usando solo F'=x^2-1.
2. Monotonia ed estremi (dal segno dell’integranda)
F'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1) si annulla in x=\pm1, ed è positiva fuori da [-1,1]:
| Intervallo | F'(x)=f(x) | F |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | crescente |
| (-1,1) | - | decrescente |
| (1,+\infty) | + | crescente |
In x=-1 un massimo di F, in x=1 un minimo. I valori (da \displaystyle F=\dfrac{x^3}{3}-x): F(-1)=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3} e F(1)=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}.
3. Concavità e flessi (dalla derivata dell’integranda)
F''(x)=f'(x)=2x, che si annulla in x=0 cambiando segno: flesso di F in x=0, dove F(0)=0. Concava verso il basso per x<0, verso l’alto per x>0.
4. Zeri e simmetria
F è dispari (\displaystyle F=\dfrac{x^3}{3}-x ha solo potenze dispari). Zeri: \displaystyle \dfrac{x^3}{3}-x=x\left(\dfrac{x^2}{3}-1\right)=0, cioè x=0 e x=\pm\sqrt3.
5. Grafico
Esercizio 2 — Quando la primitiva non è elementare (funzione errore)
Studiare la funzione integrale
F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt.
Questa è (a meno di una costante) la funzione degli errori \mathrm{erf}, fondamentale in statistica. La sua primitiva non è esprimibile con funzioni elementari: senza il teorema fondamentale, lo studio sarebbe impossibile.
1. Dominio, derivata e simmetria
L’integranda e^{-t^2} è continua su tutto \mathbb{R}, quindi F è definita per ogni x: D=\mathbb{R}. Per il teorema fondamentale,
F'(x)=e^{-x^2}.
Inoltre F(0)=0. La funzione è dispari: poiché l’integranda è pari, con la sostituzione u=-t si ottiene
2. Monotonia
F'(x)=e^{-x^2}>0 per ogni x: la funzione è strettamente crescente su tutto \mathbb{R}, senza estremi. Questo si deduce immediatamente dal teorema fondamentale, pur non conoscendo F in forma chiusa — è il punto centrale dell’esercizio.
3. Concavità e flessi
F''(x)=f'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{-x^2}=-2x\,e^{-x^2}, che si annulla in x=0 cambiando segno: flesso in (0,0). Concava verso l’alto per x<0, verso il basso per x>0 (il flesso è il punto di massima pendenza, dove F'=e^0=1).
4. Limiti e asintoti
I limiti all’infinito sono integrali di Gauss noti:
\lim_{x\to+\infty}\int_0^x e^{-t^2}\,dt=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\approx 0{,}886.
Per disparità:
Ci sono quindi due asintoti orizzontali: y=\pm\dfrac{\sqrt\pi}{2}. La funzione, sempre crescente, resta confinata in questa striscia: è il caratteristico profilo «a S» della funzione errore.
5. Grafico
Esercizio 3 — Integranda che cambia segno due volte
Studiare la funzione integrale
F(x)=\int_0^x (t^2-t-2)\,dt.
1. Derivata e punto iniziale
Teorema fondamentale: F'(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1). E F(0)=0.
2. Monotonia ed estremi
F'(x)=(x-2)(x+1) si annulla in x=-1 e x=2, positiva fuori dall’intervallo [-1,2]:
| Intervallo | F'(x)=f(x) | F |
|---|---|---|
| (-\infty,-1) | + | crescente |
| (-1,2) | - | decrescente |
| (2,+\infty) | + | crescente |
In x=-1 un massimo, in x=2 un minimo. Calcolando F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x:
F(-1)=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{7}{6}\approx 1{,}17,\qquad F(2)=\dfrac{8}{3}-2-4=-\dfrac{10}{3}\approx -3{,}33.
3. Concavità e flesso
F''(x)=f'(x)=2x-1, che si annulla in x=\dfrac{1}{2} cambiando segno: flesso di F in x=\dfrac{1}{2} (che è l’ascissa del minimo dell’integranda, vertice della parabola t^2-t-2). Concava verso il basso per x<\dfrac{1}{2}, verso l’alto dopo.
4. Limiti e segno
F è un polinomio di terzo grado con coefficiente direttore positivo: F\to-\infty a -\infty e F\to+\infty a +\infty, nessun asintoto. Il grafico passa per l’origine (F(0)=0); avendo massimo \dfrac{7}{6}>0 e minimo \displaystyle -\dfrac{10}{3}<0, attraversa l’asse x tre volte.
5. Grafico
Sintesi: leggere F attraverso f
Lo studio di \displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt si fa senza calcolare l’integrale, traducendo ogni passo nel linguaggio dell’integranda f:
| Domanda su F | Si guarda… | Perché |
|---|---|---|
| punto di partenza | F(a)=0 | l’integrale su intervallo nullo è zero |
| dove cresce/decresce | segno di f | F'=f |
| massimi e minimi | zeri di f con cambio di segno | F'=f si annulla cambiando segno |
| concavità | segno di f' | F''=f' |
| flessi di F | estremi di f | dove f'=F'' cambia segno |
| simmetria | parità di f | f pari \Rightarrow F dispari; f dispari \Rightarrow F pari |
| limiti all’infinito | integrale improprio di f | \displaystyle \lim F=\int_a^{\pm\infty}f, se converge dà un asintoto orizzontale |
Il caso decisivo è quello in cui f non ha primitiva elementare (come e^{-t^2}): lì il teorema fondamentale è l’unico modo di studiare F, e funziona comunque perfettamente. Attenzione a due dettagli: la parità di F è opposta a quella di f (integrare «scambia» pari e dispari), e gli asintoti orizzontali esistono solo se l’integrale improprio di f converge.