Funzione integrale: estremi variabili e casi avanzati

Questa scheda estende lo studio della funzione integrale ai casi in cui gli estremi di integrazione non sono semplicemente $a$ e $x$ . Lo strumento è la regola di Leibniz (derivazione sotto il segno di integrale per estremi variabili): se

$F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)} f(t)\,dt,$

allora, combinando teorema fondamentale e regola della catena,

$F'(x)=f\big(h(x)\big)\cdot h'(x)-f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

In parole: si valuta l’integranda nell’estremo superiore (per la sua derivata) e si sottrae la stessa cosa per l’estremo inferiore. I tre casi che seguono — estremo superiore composto, entrambi gli estremi variabili, integranda con valore assoluto — coprono le varianti tipiche, sempre nello spirito dello schema generale.

Esercizio 1 — Estremo superiore composto

Studiare la funzione integrale

$F(x)=\int_0^{x^2} e^{-t}\,dt.$

1. Derivata con la regola della catena

L’estremo superiore è $h(x)=x^2$ , l’inferiore è la costante $0$ . Per la regola di Leibniz (qui solo il termine superiore, poiché l’inferiore è costante):

$F'(x)=e^{-h(x)}\cdot h'(x)=e^{-x^2}\cdot 2x=2x\,e^{-x^2}.$

Inoltre $F(0)=0$ , perché l’intervallo di integrazione è nullo.

2. Simmetria

L’estremo superiore $x^2$ dipende solo da $x^2$ , quindi:

F(-x)=\int_0^{x^2}e^{-t}\,dt=F(x).

La funzione è pari. (Lo conferma anche $F'$ , dispari: $2(-x)e^{-x^2}=-F'(x)$ , derivata di una funzione pari.)

3. Monotonia ed estremi

$F'(x)=2x\,e^{-x^2}$ : il fattore $e^{-x^2}>0$ , quindi il segno è quello di $2x$ . Negativa per $x<0$ , positiva per $x>0$ : in $x=0$ un minimo assoluto $(0,0)$ .

4. Limiti e asintoti

Per $x\to\pm\infty$ l’estremo superiore $x^2\to+\infty$ , quindi

$\lim_{x\to\pm\infty}F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}\,dt=\big[-e^{-t}\big]_0^{+\infty}=1.$

La retta $y=1$ è asintoto orizzontale bilatero. (In effetti qui la primitiva è elementare: $F(x)=\big[-e^{-t}\big]_0^{x^2}=1-e^{-x^2}$ , che conferma tutto — ma il metodo via Leibniz funziona anche quando non lo è.)

5. Concavità

Da $F'(x)=2x\,e^{-x^2}$ , derivando: $F''(x)=2e^{-x^2}+2x(-2x)e^{-x^2}=2e^{-x^2}(1-2x^2)$ , che si annulla in $\displaystyle x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}$ : due flessi. Concava verso l’alto in $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ , verso il basso all’esterno.

6. Grafico

Funzione integrale a estremo superiore composto. Per Leibniz F′ = 2x·e^(−x²): pari, minimo assoluto in (0, 0). Asintoto orizzontale bilatero y = 1; due flessi in x = ±1/√2. (Coincide con 1 − e^(−x²).)

Esercizio 2 — Entrambi gli estremi variabili (regola di Leibniz)

Studiare la funzione integrale

$F(x)=\int_x^{2x}\dfrac{1}{t}\,dt.$

1. Dominio

L’integranda $\dfrac{1}{t}$ deve essere definita su tutto l’intervallo di estremi $x$ e $2x$ : serve che $0$ non vi appartenga, cioè $x\neq 0$ (se $x>0$ l’intervallo $[x,2x]$ è tutto positivo; se $x<0$ , $[2x,x]$ è tutto negativo). Quindi $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

2. Derivata con Leibniz

Estremo superiore $h(x)=2x$ (con $h'=2$ ), inferiore $g(x)=x$ (con $g'=1$ ), integranda $f(t)=\dfrac{1}{t}$ :

$F'(x)=f(2x)\cdot 2-f(x)\cdot 1=\dfrac{1}{2x}\cdot 2-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=0.$

La derivata è identicamente nulla: $F$ è costante su ciascun ramo del dominio.

3. Valore della costante

Calcolando direttamente l’integrale:

\begin{aligned} F(x) &=\int_x^{2x}\dfrac{1}{t}\,dt\\ &=\big[\ln\lvert t\rvert\big]_x^{2x}\\ &=\ln\lvert 2x\rvert-\ln\lvert x\rvert\\ &=\ln\dfrac{\lvert 2x\rvert}{\lvert x\rvert}\\ &=\ln 2. \end{aligned}

Sorprendentemente, $F(x)=\ln 2$ per ogni $x\neq 0$ : una costante. È un risultato che la sola regola di Leibniz preannuncia ( $F'=0$ ) e il calcolo conferma. Geometricamente: l’area sotto $\dfrac{1}{t}$ tra $x$ e $2x$ (in scala logaritmica, una «ottava») non dipende da dove si parte.

4. Grafico

Funzione a entrambi gli estremi variabili. La regola di Leibniz dà F′ = 0: la funzione è costante, F(x) = ln 2 ≈ 0,693 per ogni x ≠ 0. Il punto x = 0 è escluso dal dominio.

Esercizio 3 — Integranda con valore assoluto

Studiare la funzione integrale

$F(x)=\int_0^x \lvert t\rvert\,dt.$

1. Derivata e punto iniziale

L’integranda $\lvert t\rvert$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ , quindi $F$ è definita ovunque e, per il teorema fondamentale,

$F'(x)=\lvert x\rvert.$

Inoltre $F(0)=0$ .

2. Forma esplicita per casi

Conviene esplicitare $F$ spezzando il valore assoluto:

per $x\geq 0$ , $\lvert t\rvert=t$ sull’intervallo $[0,x]$ , quindi:

F(x)=\int_0^x t\,dt=\dfrac{x^2}{2};

per $x<0$ , $\lvert t\rvert=-t$ sull’intervallo, quindi:

F(x)=\int_0^x(-t)\,dt=-\dfrac{x^2}{2}.

In forma compatta, $F(x)=\dfrac{x\lvert x\rvert}{2}$ .

3. Simmetria, monotonia, concavità

La funzione è dispari ( $F(-x)=-F(x)$ , dalla forma $\displaystyle \dfrac{x\lvert x\rvert}{2}$ ). La derivata $F'(x)=\lvert x\rvert\geq 0$ è sempre non negativa e si annulla solo in $x=0$ senza cambiare segno: $F$ è monotòna crescente, e in $x=0$ ha tangente orizzontale ma non un estremo.

La derivata seconda è $F''(x)=\dfrac{d}{dx}\lvert x\rvert$ , cioè $-1$ per $x<0$ e $+1$ per $x>0$ (con $F''(0)$ non definita): la concavità è verso il basso per $x<0$ e verso l’alto per $x>0$ , quindi $(0,0)$ è un flesso a tangente orizzontale. Nota che $F'=\lvert x\rvert$ è continua (a differenza dell’integranda nei punti angolosi): integrare regolarizza, alza di un grado la «liscezza».

4. Limiti

Per $x\to\pm\infty$ , $\displaystyle F=\pm\dfrac{x^2}{2}\to\pm\infty$ : $+\infty$ a destra, $-\infty$ a sinistra. Nessun asintoto.

5. Grafico

Funzione integrale di |t|. Per il teorema fondamentale F′ = |x| ≥ 0: crescente, dispari, con flesso a tangente orizzontale in (0, 0). A destra è x²/2, a sinistra −x²/2. L'integrazione regolarizza: F′ = |x| è continua.

Sintesi: estremi variabili e regolarità

Per le funzioni integrali avanzate, oltre alle regole base (vedi funzione integrale):

Regola di Leibniz: $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt=f(h)\,h'-f(g)\,g'$ . L’estremo superiore contribuisce con segno $+$ , l’inferiore con segno $-$ , ciascuno moltiplicato per la derivata dell’estremo.
Estremo composto: se solo l’estremo superiore è $h(x)$ , è il caso $g'=0$ : $F'=f(h)\cdot h'$ (teorema fondamentale + catena), come in $\displaystyle \int_0^{x^2}$ .
Simmetria: dipende dall’integranda e dagli estremi. Estremo superiore pari (come $x^2$ ) può rendere $F$ pari; integranda pari con estremi $0,x$ rende $F$ dispari.
Regolarità: $F$ è sempre più liscia dell’integranda. Se $f$ è continua, $F$ è derivabile con $F'=f$ ; se $f$ ha punti angolosi, $F'=f$ è continua e $F$ ha flessi dove $f$ ha gli spigoli. Integrare «alza di un grado» la liscezza, al contrario del derivare.