Studio di funzione goniometrica inversa

Le funzioni goniometriche inverse — $\arctan x$ , $\arcsin x$ , $\arccos x$ — completano il quadro dello studio di funzione con comportamenti che non si erano ancora visti tutti insieme. Le derivate fondamentali da conoscere sono

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\arctan x&=\dfrac{1}{1+x^2},\\ \dfrac{d}{dx}\arcsin x&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\\ \dfrac{d}{dx}\arccos x&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \end{aligned}

Da queste discendono i tratti caratteristici della famiglia:

l’arcotangente ha dominio $\mathbb{R}$ e tende a $\displaystyle \pm\dfrac{\pi}{2}$ all’infinito: produce asintoti orizzontali a quota $\displaystyle \pm\dfrac{\pi}{2}$ ;
l’arcoseno e l’arcocoseno hanno dominio limitato $[-1,1]$ , e agli estremi la derivata esplode dando tangenti verticali;
composte con $1/x$ , queste funzioni possono generare discontinuità di salto;
moltiplicate per un polinomio, possono dare asintoti obliqui la cui pendenza viene da $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ .

I quattro esercizi seguono lo schema generale: l’arcotangente, l’arcoseno (dominio limitato), $\arctan\dfrac{1}{x}$ (con salto) e infine $x\arctan x$ (con asintoti obliqui).

Esercizio 1 — L’arcotangente

Studiare la funzione

$f(x)=\arctan x.$

1. Dominio e simmetrie

L’arcotangente è definita per ogni reale: $D=\mathbb{R}$ . È dispari: $\arctan(-x)=-\arctan x$ , grafico simmetrico rispetto all’origine.

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=\arctan 0=0$ , l’origine. Asse $x$ : solo $x=0$ . Segno: positiva per $x>0$ , negativa per $x<0$ (l’arcotangente conserva il segno dell’argomento).

3. Limiti e asintoti

Per definizione l’arcotangente tende ai valori limite $\displaystyle \pm\dfrac{\pi}{2}$ senza raggiungerli:

$\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\dfrac{\pi}{2}.$

Ci sono quindi due asintoti orizzontali: $\displaystyle y=\dfrac{\pi}{2}$ a destra e $\displaystyle y=-\dfrac{\pi}{2}$ a sinistra. L’immagine della funzione è la striscia aperta $\displaystyle \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

4. Derivata prima

$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}.$

Il denominatore $1+x^2$ è sempre positivo, quindi $f'(x)>0$ ovunque: la funzione è sempre crescente, senza estremi. Il valore massimo della pendenza è $f'(0)=1$ , nell’origine.

5. Derivata seconda

$f''(x)=\dfrac{d}{dx}\big(1+x^2\big)^{-1}=-\big(1+x^2\big)^{-2}\cdot 2x=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}.$

Il denominatore è un quadrato positivo, quindi il segno di $f''$ è quello di $-2x$ :

Intervallo	$f''(x)$	Concavità
$(-\infty,0)$	$+$	verso l’alto
$(0,+\infty)$	$-$	verso il basso

In $x=0$ un flesso (a tangente obliqua, pendenza $1$ ): è il flesso $(0,0)$ , punto di massima ripidità e centro di simmetria.

6. Grafico

Arcotangente: dispari, sempre crescente, confinata nella striscia −π/2 < y < π/2. Due asintoti orizzontali y = ±π/2; flesso a tangente obliqua (pendenza 1) nell'origine.

Esercizio 2 — L’arcoseno e il dominio limitato

Studiare la funzione

$f(x)=\arcsin x.$

A differenza dell’arcotangente, l’arcoseno vive su un dominio limitato, e questo cambia il finale dello studio.

1. Dominio e simmetrie

L’arcoseno è definito solo dove il suo argomento sta in $[-1,1]$ :

$D=[-1,1].$

È dispari: $\arcsin(-x)=-\arcsin x$ .

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=0$ . Asse $x$ : solo $x=0$ . Segno: positiva per $x\in(0,1]$ , negativa per $x\in[-1,0)$ . Agli estremi del dominio, $\displaystyle f(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$ e $\displaystyle f(1)=\dfrac{\pi}{2}$ .

3. Limiti e asintoti

Il dominio è chiuso e limitato: non esistono limiti all’infinito da calcolare, e quindi nessun asintoto. La funzione assume valori in tutto $\displaystyle \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , estremi compresi.

4. Derivata prima

$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

Nel dominio interno $(-1,1)$ il radicando $1-x^2>0$ , quindi $f'(x)>0$ : la funzione è sempre crescente, senza estremi interni. Agli estremi $x=\pm1$ il radicando $1-x^2\to 0^+$ , quindi $f'\to+\infty$ : nei punti $\displaystyle (\pm1,\pm\dfrac{\pi}{2})$ il grafico ha tangente verticale. La curva «arriva» agli estremi salendo verticalmente.

5. Derivata seconda

Deriviamo $f'(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ con la catena:

$f''(x)=-\dfrac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2}\cdot(-2x)=\dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}}.$

Il denominatore $(1-x^2)^{3/2}$ è positivo nel dominio interno, quindi il segno di $f''$ è quello di $x$ :

Intervallo	$f''(x)$	Concavità
$(-1,0)$	$-$	verso il basso
$(0,1)$	$+$	verso l’alto

In $x=0$ un flesso $(0,0)$ a tangente obliqua (pendenza $1$ ). I due rami hanno concavità opposta, raccordandosi nel flesso centrale.

6. Grafico

Arcoseno: definito solo su [−1, 1], dispari, sempre crescente. Tangenti verticali agli estremi (±1, ±π/2); flesso a tangente obliqua nell'origine. Immagine [−π/2, π/2], nessun asintoto.

Esercizio 3 — arctan(1/x) e la discontinuità di salto

Studiare la funzione

$f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right).$

Questo esercizio mostra una discontinuità di prima specie (salto): i due limiti laterali nello stesso punto sono finiti ma diversi.

1. Dominio e simmetrie

L’argomento $\dfrac{1}{x}$ richiede $x\neq 0$ , quindi $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . La funzione è dispari:

\arctan\!\left(\dfrac{1}{-x}\right)=\arctan\!\left(-\dfrac{1}{x}\right)=-\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right).

2. Intersezioni e segno

L’asse $y$ ( $x=0$ ) è escluso. Asse $x$ : $\arctan\dfrac{1}{x}=0$ richiederebbe $\dfrac{1}{x}=0$ , impossibile: nessuno zero. Segno: per $x>0$ si ha $\dfrac{1}{x}>0$ quindi $f>0$ ; per $x<0$ , $f<0$ .

3. Limiti e asintoti

All’infinito: $\dfrac{1}{x}\to 0$ , quindi $f\to\arctan 0=0$ :

$\lim_{x\to\pm\infty}\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0.$

La retta $y=0$ è asintoto orizzontale bilatero.

Nel punto escluso $x=0$ i limiti laterali sono finiti ma diversi:

\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right) &=\arctan(+\infty)=\dfrac{\pi}{2},\\ \lim_{x\to 0^-}\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right) &=\arctan(-\infty)=-\dfrac{\pi}{2}. \end{aligned}

Avvicinandosi a $0$ da destra la funzione tende a $\displaystyle +\dfrac{\pi}{2}$ , da sinistra a $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}$ : c’è un salto di ampiezza $\pi$ . Attenzione: non è un asintoto verticale (i limiti sono finiti), ma una discontinuità di prima specie. La funzione «salta» da $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}$ a $\displaystyle +\dfrac{\pi}{2}$ attraversando l’origine.

4. Derivata prima

Catena, con $\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^2}$ :

\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\ &=\dfrac{1}{\dfrac{x^2+1}{x^2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\ &=\dfrac{x^2}{x^2+1}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\ &=-\dfrac{1}{x^2+1}. \end{aligned}

Quindi $f'(x)<0$ per ogni $x\neq 0$ : la funzione è decrescente su entrambi i rami, senza estremi. (Sorprende che la derivata sia così semplice, $\displaystyle -\dfrac{1}{x^2+1}$ : è l’opposto della derivata di $\arctan x$ .)

5. Derivata seconda

$f''(x)=\dfrac{d}{dx}\big[-(x^2+1)^{-1}\big]=(x^2+1)^{-2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}.$

Il segno è quello di $2x$ :

Intervallo	$f''(x)$	Concavità
$(-\infty,0)$	$-$	verso il basso
$(0,+\infty)$	$+$	verso l’alto

Nessun flesso: $f''$ si annullerebbe in $x=0$ , che è fuori dal dominio (e lì c’è il salto). Il ramo sinistro è concavo verso il basso, il destro verso l’alto.

6. Grafico

Funzione dispari, decrescente su entrambi i rami. Asintoto orizzontale bilatero y = 0. In x = 0 una discontinuità di salto (non un asintoto verticale): da destra tende a +π/2, da sinistra a −π/2 (cerchi vuoti). Salto di ampiezza π.

Esercizio 4 — Il prodotto x·arctan x e gli asintoti obliqui

Studiare la funzione

$f(x)=x\arctan x.$

Caso culminante: il prodotto di $x$ per un’arcotangente genera asintoti obliqui la cui pendenza nasce dal valore limite $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ .

1. Dominio e simmetrie

$D=\mathbb{R}$ . La funzione è pari: $f(-x)=(-x)\arctan(-x)=(-x)(-\arctan x)=x\arctan x=f(x)$ . Simmetria rispetto all’asse $y$ .

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=0$ . Asse $x$ : $x\arctan x=0$ solo dove $x=0$ (l’altro fattore $\arctan x$ si annulla anch’esso solo in $0$ ). Unico zero, l’origine.

Segno: i due fattori $x$ e $\arctan x$ hanno sempre lo stesso segno (entrambi positivi per $x>0$ , entrambi negativi per $x<0$ ), quindi il loro prodotto è $\geq 0$ ovunque: la funzione è non negativa, nulla solo nell’origine.

3. Limiti e asintoti

Per $x\to+\infty$ , $\displaystyle \arctan x\to\dfrac{\pi}{2}$ e $x\to+\infty$ , quindi $f\to+\infty$ . Cerchiamo l’asintoto obliquo $y=mx+q$ :

$m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x\arctan x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}.$

Per il termine noto usiamo l’identità $\displaystyle \arctan x=\dfrac{\pi}{2}-\arctan\dfrac{1}{x}$ (valida per $x>0$ ):

\begin{aligned} q&=\lim_{x\to+\infty}\left(x\arctan x-\dfrac{\pi}{2}x\right)\\ &=\lim_{x\to+\infty}x\left(\arctan x-\dfrac{\pi}{2}\right)\\ &=\lim_{x\to+\infty}x\left(-\arctan\dfrac{1}{x}\right). \end{aligned}

Poiché per $x\to+\infty$ si ha $\arctan\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ , il prodotto $x\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)\to-1$ , quindi $q=-1$ . L’asintoto a destra è

$y=\dfrac{\pi}{2}x-1.$

Per simmetria pari, a $x\to-\infty$ l’asintoto è $\displaystyle y=-\dfrac{\pi}{2}x-1$ . Due asintoti obliqui simmetrici, che si incontrano sull’asse $y$ in $(0,-1)$ .

4. Derivata prima

Regola del prodotto, con $\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^2}$ :

$f'(x)=\arctan x+x\cdot\dfrac{1}{1+x^2}=\arctan x+\dfrac{x}{1+x^2}.$

In $x=0$ entrambi gli addendi sono nulli, $f'(0)=0$ . Per $x>0$ entrambi sono positivi ( $f'>0$ ), per $x<0$ entrambi negativi ( $f'<0$ ):

Intervallo	$f'(x)$	Andamento
$(-\infty,0)$	$-$	decrescente
$(0,+\infty)$	$+$	crescente

In $x=0$ la derivata passa da $-$ a $+$ : minimo assoluto, nell’origine $(0,0)$ .

5. Derivata seconda

Deriviamo $f'(x)=\arctan x+x(1+x^2)^{-1}$ . Per il secondo termine usiamo la regola del quoziente:

\left(\dfrac{x}{1+x^2}\right)'=\dfrac{(1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2} =\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.

$f''(x)=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{(1+x^2)+(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2}{(1+x^2)^2}.$

Il numeratore è la costante positiva $2$ , quindi $f''(x)>0$ ovunque: la funzione è convessa su tutto $\mathbb{R}$ , nessun flesso. È coerente con la forma «a coppa» appoggiata sui due asintoti obliqui, con il vertice nel minimo $(0,0)$ .

6. Grafico

Funzione pari, sempre ≥ 0, con minimo assoluto nell'origine (0, 0). Due asintoti obliqui simmetrici y = (π/2)x − 1 (a destra) e y = −(π/2)x − 1 (a sinistra), che si incontrano in (0, −1). Convessa ovunque.

Sintesi: i riflessi da automatizzare

Le funzioni goniometriche inverse si gestiscono ricordando le proprietà di ciascuna:

Dominio: $\arctan$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ ; $\arcsin$ e $\arccos$ solo su $[-1,1]$ (per argomenti composti, imporre $-1\leq g(x)\leq 1$ ).
Asintoti orizzontali dall’arcotangente: $\displaystyle \arctan(\,\cdot\,)\to\pm\dfrac{\pi}{2}$ quando l’argomento tende a $\pm\infty$ . È la sorgente tipica degli asintoti orizzontali a quota $\displaystyle \pm\dfrac{\pi}{2}$ .
Tangenti verticali agli estremi di $\arcsin/\arccos$ : in $x=\pm1$ la derivata $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ esplode.
Salto da $\arctan\dfrac{1}{x}$ : dove l’argomento $\dfrac{1}{x}$ passa da $+\infty$ a $-\infty$ (cioè in $x=0$ ), l’arcotangente salta da $\displaystyle +\dfrac{\pi}{2}$ a $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}$ : discontinuità di prima specie, non asintoto verticale.
Asintoti obliqui da $x\cdot\arctan x$ : la pendenza è il valore limite $\displaystyle \pm\dfrac{\pi}{2}$ ; per il termine noto $q$ si usa $\displaystyle \arctan x=\dfrac{\pi}{2}-\arctan\dfrac{1}{x}$ e l’approssimazione $\arctan\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ all’infinito.