Le funzioni goniometriche aggiungono allo studio di funzione un elemento assente in tutte le famiglie viste finora: la periodicità. Quando f(x+T)=f(x) per un certo periodo T, basta studiare la funzione su un solo intervallo lungo T (di solito [0,2\pi) o [-\pi,\pi]) e ripetere il grafico per traslazione. Questo cambia anche il passo dei limiti: una funzione periodica non tende ad alcun limite per x\to\pm\infty — continua a oscillare — quindi all’infinito non ha asintoti orizzontali.
Le derivate fondamentali da avere a mente sono
\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad \dfrac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^2 x},
e il limite notevole che governa il comportamento vicino a zero,
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
I quattro esercizi seguono lo schema generale toccando i casi tipici: una combinazione periodica (\sin x+\cos x), una funzione con prolungamento per continuità (\displaystyle \dfrac{\sin x}{x}), una con asintoti verticali periodici (\tan x) e infine una funzione non periodica costruita con un termine goniometrico (x+\sin x).
Esercizio 1 — Combinazione periodica sin x + cos x
Studiare la funzione
f(x)=\sin x+\cos x.
1. Dominio, periodicità e simmetrie
D=\mathbb{R}. Sia \sin sia \cos hanno periodo 2\pi, quindi f è periodica di periodo T=2\pi: studiamo l’intervallo [0,2\pi) e ripetiamo. La funzione non è né pari né dispari.
Conviene riscrivere la combinazione in forma ampiezza-fase. Raccogliendo \sqrt2:
usando la formula di addizione \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b. La funzione è dunque una sinusoide di ampiezza \sqrt2 sfasata di \displaystyle -\dfrac{\pi}{4}: già questo ne anticipa tutto l’andamento.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\sin 0+\cos 0=0+1=1. Asse x: \displaystyle \sqrt2\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0 dove \displaystyle x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi, cioè \displaystyle x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi. In [0,2\pi) gli zeri sono \displaystyle x=\dfrac{3\pi}{4} e \displaystyle x=\dfrac{7\pi}{4}.
Il segno coincide con quello di \displaystyle \sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right): positiva per \displaystyle x\in\left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right) e negativa per \displaystyle x\in\left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\right) (mod 2\pi).
3. Limiti e asintoti
Funzione periodica e limitata (-\sqrt2\leq f\leq\sqrt2): per x\to\pm\infty non esiste limite (oscilla). Nessun asintoto di alcun tipo.
4. Derivata prima
f'(x)=\cos x-\sin x=\sqrt2\,\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right).
Si annulla dove \displaystyle x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, cioè \displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi. In [0,2\pi): \displaystyle x=\dfrac{\pi}{4} e \displaystyle x=\dfrac{5\pi}{4}.
| Intervallo in [0,2\pi) | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| \displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right) | + | crescente |
| \displaystyle \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right) | - | decrescente |
| \displaystyle \left(\dfrac{5\pi}{4},2\pi\right) | + | crescente |
In \displaystyle x=\dfrac{\pi}{4} massimo, \displaystyle f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\dfrac{\pi}{2}=\sqrt2. In \displaystyle x=\dfrac{5\pi}{4} minimo, \displaystyle f=\sqrt2\sin\dfrac{3\pi}{2}=-\sqrt2. I valori \pm\sqrt2 confermano l’ampiezza.
5. Derivata seconda
f''(x)=-\sin x-\cos x=-(\sin x+\cos x)=-f(x).
(È la classica relazione f''=-f delle sinusoidi.) Quindi f''=0 dove f=0, cioè negli zeri \displaystyle x=\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}: lì ci sono i flessi. Il segno di f'' è opposto a quello di f: dove la funzione è positiva la concavità è verso il basso (sotto un massimo), e viceversa.
6. Grafico
Esercizio 2 — La funzione (sin x)/x e il prolungamento per continuità
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{\sin x}{x}.
Nota in fisica e ingegneria come seno cardinale, mostra un caso di discontinuità eliminabile risolto da un limite notevole.
1. Dominio e simmetrie
Il denominatore impone x\neq 0, quindi D=\mathbb{R}\setminus\{0\}. La funzione è pari: f(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{-\sin x}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}=f(x).
2. Comportamento in zero e prolungamento
Il punto x=0 è escluso, ma il limite notevole dà
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
Il limite esiste finito e vale 1: la discontinuità in 0 è eliminabile, e la funzione è prolungabile per continuità ponendo f(0)=1. Il grafico passa quindi per il punto (0,1) (pieno, una volta prolungata).
3. Intersezioni e segno
Asse x: \displaystyle \dfrac{\sin x}{x}=0 dove \sin x=0 con x\neq 0, cioè x=k\pi con k\neq 0 (\pm\pi,\pm2\pi,\dots). Il segno alterna seguendo \displaystyle \dfrac{\sin x}{x}: nei pressi dell’origine f>0, poi cambia ad ogni k\pi.
4. Limiti all’infinito e asintoti
Poiché |\sin x|\leq 1, si ha \left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leq\dfrac{1}{|x|}\to 0:
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0.
La retta y=0 è asintoto orizzontale bilatero: la funzione oscilla con ampiezza via via più piccola, racchiusa tra le iperboli y=\pm\dfrac{1}{x} che fanno da inviluppo. Nessun asintoto verticale (in 0 la discontinuità è eliminabile, non un polo).
5. Derivata prima ed estremi
Regola del quoziente:
f'(x)=\dfrac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}.
Gli estremi si trovano dove il numeratore si annulla, x\cos x=\sin x, cioè \tan x=x. È un’equazione trascendente: oltre a x=0 (il massimo principale prolungato, f(0)=1) ha infinite soluzioni x\approx\pm4{,}49,\ \pm7{,}73,\dots, vicine ma non uguali ai punti \displaystyle x=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}. In esse la funzione ha massimi e minimi alternati, di ampiezza decrescente (perché schiacciati dall’inviluppo 1/|x|). Il picco assoluto è in (0,1).
6. Concavità (cenni)
La derivata seconda è ingombrante, ma il quadro qualitativo è chiaro: attorno al massimo (0,1) la concavità è verso il basso; più lontano, in ogni «onda» smorzata, la concavità si inverte due volte, generando flessi vicini agli zeri. La struttura ripete quella di una sinusoide modulata in ampiezza da 1/x.
7. Grafico
Esercizio 3 — La tangente e gli asintoti verticali periodici
Studiare la funzione
f(x)=\tan x.
Mostriamo come la tangente, già nota, rientri perfettamente nello schema dello studio di funzione, con asintoti verticali che si ripetono periodicamente.
1. Dominio, periodicità e simmetrie
La tangente è \dfrac{\sin x}{\cos x}: esiste dove \cos x\neq 0, cioè x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Quindi
D=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}.
Il periodo è T=\pi (non 2\pi): basta studiare l’intervallo \displaystyle \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). La funzione è dispari: \tan(-x)=-\tan x.
2. Intersezioni e segno
Asse x: \tan x=0 dove \sin x=0, cioè x=k\pi; nell’intervallo base solo x=0. Segno: nell’intervallo \displaystyle \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) la tangente è negativa per x<0 e positiva per x>0 (segue il segno di \sin x, dato che \cos x>0 lì).
3. Limiti e asintoti
Ai bordi dell’intervallo base, \cos x\to 0:
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\tan x=+\infty,\qquad \lim_{x\to(-\pi/2)^+}\tan x=-\infty.
Le rette \displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi sono asintoti verticali, ripetuti con periodo \pi. Nessun asintoto orizzontale (la funzione spazia su tutto \mathbb{R} in ogni intervallo).
4. Derivata prima
f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x.
È un quadrato a denominatore, quindi f'(x)>0 ovunque nel dominio: la tangente è sempre crescente su ciascun intervallo \displaystyle \left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right). Nessun estremo.
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=(\cos x)^{-2} con la catena:
f''(x)=-2(\cos x)^{-3}\cdot(-\sin x)=\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}.
Nell’intervallo base \cos x>0 (quindi \cos^3 x>0), perciò il segno di f'' è quello di \sin x:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| \displaystyle \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right) | - | verso il basso |
| \displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) | + | verso l’alto |
In x=0 un flesso (a tangente obliqua, dato che f'(0)=1): è il flesso (0,0), centro di simmetria. Si ripete in ogni x=k\pi.
6. Grafico
Esercizio 4 — Una funzione non periodica: x + sin x
Studiare la funzione
f(x)=x+\sin x.
Attenzione: pur contenendo \sin x, questa funzione non è periodica, perché il termine x cresce indefinitamente. È il caso «a scala».
1. Dominio e simmetrie
D=\mathbb{R}. f(-x)=-x+\sin(-x)=-x-\sin x=-(x+\sin x)=-f(x): funzione dispari.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0. Per le intersezioni con l’asse x osserviamo (anticipando il passo 4) che la funzione è crescente: ha quindi un solo zero, x=0. Segno: negativa per x<0, positiva per x>0, come impone la disparità.
3. Limiti e asintoti
Per x\to+\infty, il termine x domina su \sin x (limitato), quindi f\to+\infty; per x\to-\infty, f\to-\infty. Asintoto obliquo? Si avrebbe \displaystyle m=\lim\dfrac{x+\sin x}{x}=1, ma \displaystyle q=\lim(\,f-x\,)=\lim\sin x non esiste (oscilla tra -1 e 1). Quindi nessun asintoto obliquo: la funzione resta «vicina» alla retta y=x oscillandole attorno, senza stabilizzarsi.
4. Derivata prima
f'(x)=1+\cos x.
Poiché \cos x\geq -1, si ha f'(x)\geq 0 sempre: la funzione è monotòna crescente (in senso debole). La derivata si annulla dove \cos x=-1, cioè x=\pi+2k\pi, ma in quei punti non cambia segno (resta \geq 0): non sono estremi, bensì punti a tangente orizzontale. Li classificheremo come flessi al passo successivo.
5. Derivata seconda
f''(x)=-\sin x.
Si annulla dove \sin x=0, cioè x=k\pi, cambiando segno: sono tutti flessi. Il segno di f''=-\sin x è positivo dove \sin x<0:
- nei punti x=\pi+2k\pi (dove anche f'=0) il flesso ha tangente orizzontale: lì il grafico ha un breve «pianerottolo» prima di riprendere a salire;
- nei punti x=2k\pi (dove f'=2) il flesso ha tangente obliqua.
Questo alternarsi crea il profilo a gradini: la funzione sale sempre, ma rallenta fino a fermarsi un istante a ogni x=\pi+2k\pi, poi riaccelera.
6. Grafico
Sintesi: i riflessi da automatizzare
Per le funzioni goniometriche conviene fissare alcune mosse ricorrenti:
- Riconoscere la periodicità per prima. Se f è periodica di periodo T, studiare un solo intervallo lungo T e dichiarare che il grafico si ripete. Una somma di termini puramente goniometrici è periodica; l’aggiunta di un termine non periodico (come x) distrugge la periodicità.
- All’infinito niente asintoti orizzontali per le funzioni periodiche: non esiste il limite, c’è oscillazione. L’asintoto orizzontale ricompare solo quando un fattore smorzante (come 1/x in \displaystyle \dfrac{\sin x}{x}) spegne l’oscillazione.
- Asintoti verticali dalla tangente e dai denominatori goniometrici: dove \cos x=0 (per \tan x, \sec x) o \sin x=0 (per \cot x, \csc x) nascono asintoti verticali periodici.
- Forma ampiezza-fase a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi): trasforma una combinazione in una sola sinusoide, rendendo immediati ampiezza, zeri ed estremi.
- Limite notevole \displaystyle \dfrac{\sin x}{x}\to 1: risolve le discontinuità eliminabili nell’origine e le forme \dfrac{0}{0} con termini goniometrici.