Le funzioni esponenziali introducono nello studio di funzione uno strumento nuovo rispetto ai polinomi e alle frazioni: i limiti che coinvolgono e^x. Due fatti li governano quasi tutti e conviene fissarli subito.
Gerarchia degli infiniti. Per x\to+\infty l’esponenziale cresce più in fretta di qualunque potenza: per ogni n,
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0,\qquad\text{equivalentemente}\qquad \lim_{x\to+\infty}x^n e^{-x}=0.
Si riassume dicendo che «l’esponenziale batte il polinomio». Specularmente, per x\to-\infty si ha e^x\to 0^+ così rapidamente da schiacciare ogni potenza:
Segno e positività. L’esponenziale è sempre positiva: e^{g(x)}>0 per ogni x del dominio, qualunque sia l’esponente g(x). Quindi una funzione del tipo f(x)=p(x)\,e^{g(x)} ha il segno del solo fattore p(x), e una funzione del tipo e^{g(x)} non si annulla mai.
I quattro esercizi seguono lo schema generale e sono ordinati per difficoltà: prima un prodotto polinomio × esponenziale, poi la gaussiana, quindi un caso con discontinuità essenziale e infine la sigmoide logistica con due asintoti orizzontali distinti.
Esercizio 1 — Prodotto polinomio per esponenziale
Studiare la funzione
f(x)=x\,e^{-x}.
1. Dominio e simmetrie
Prodotto di un polinomio e di un’esponenziale, entrambi definiti ovunque: D=\mathbb{R}. Calcolando f(-x)=-x\,e^{x}, non si ottiene né f(x) né -f(x): né pari né dispari.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=0\cdot e^{0}=0, l’origine.
Asse x: x\,e^{-x}=0 solo dove si annulla il fattore x (l’esponenziale non è mai nulla), quindi unico zero x=0. Poiché e^{-x}>0 sempre, il segno di f è quello di x: negativa per x<0, positiva per x>0.
3. Limiti e asintoti
Per x\to+\infty usiamo la gerarchia degli infiniti (x^1e^{-x}\to0):
\lim_{x\to+\infty}x\,e^{-x}=0^+,
con avvicinamento da sopra perché lì f>0. La retta y=0 è asintoto orizzontale a +\infty.
Per x\to-\infty il fattore x tende a -\infty e e^{-x}=e^{|x|}\to+\infty: entrambi spingono verso -\infty,
\lim_{x\to-\infty}x\,e^{-x}=-\infty.
A sinistra non c’è asintoto orizzontale: la funzione precipita. Nessun asintoto verticale (dominio reale) né obliquo (l’esponenziale cresce più di una retta).
4. Derivata prima
Regola del prodotto, con \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}:
f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x).
Il fattore e^{-x} è sempre positivo, quindi il segno di f' è quello di 1-x:
| Intervallo | 1-x | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|---|
| (-\infty,1) | + | + | crescente |
| (1,+\infty) | - | - | decrescente |
In x=1 la derivata passa da + a -: massimo relativo (e assoluto, dato che a +\infty la funzione tende a 0 da sopra e a -\infty va a -\infty). Il valore:
f(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}368.
Massimo M\left(1,\dfrac{1}{e}\right).
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=e^{-x}(1-x), di nuovo col prodotto:
f''(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}\big[-(1-x)-1\big]=e^{-x}(x-2).
Segno dato da x-2:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,2) | - | verso il basso |
| (2,+\infty) | + | verso l’alto |
In x=2 un flesso: f(2)=2e^{-2}\approx 0{,}271, quindi F\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right). Oltre il flesso la curva, pur decrescendo, volge la concavità verso l’alto mentre si appiattisce sull’asintoto y=0.
6. Grafico
Esercizio 2 — La gaussiana
Studiare la funzione
f(x)=e^{-x^2}.
È la celebre «campana» di Gauss, base della statistica. Mostriamo come tutte le sue proprietà discendano dallo studio standard.
1. Dominio e simmetrie
D=\mathbb{R}. L’esponente -x^2 dipende solo da x^2, quindi f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x): la funzione è pari, simmetrica rispetto all’asse y.
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=e^{0}=1, punto (0,1).
Asse x: l’esponenziale non è mai nulla, quindi nessuna intersezione: la funzione è sempre positiva.
3. Limiti e asintoti
Per x\to\pm\infty l’esponente -x^2\to-\infty, dunque
\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=0^+.
La retta y=0 è asintoto orizzontale bilatero. Nessun asintoto verticale né obliquo.
4. Derivata prima
Regola della catena, \dfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u' con u=-x^2 e u'=-2x:
f'(x)=e^{-x^2}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^2}.
Il fattore e^{-x^2} è positivo: il segno di f' è quello di -2x (positivo per x<0):
| Intervallo | f'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,0) | + | crescente |
| (0,+\infty) | - | decrescente |
In x=0 un massimo relativo e assoluto, M(0,1): il picco della campana.
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=-2x\,e^{-x^2} col prodotto (e la catena sull’esponenziale):
f''(x)=-2\,e^{-x^2}+(-2x)\big(-2x\,e^{-x^2}\big)=e^{-x^2}\big(-2+4x^2\big)=2\,e^{-x^2}(2x^2-1).
Segno dato da 2x^2-1, che si annulla in x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}\approx\pm0{,}71 ed è positivo all’esterno:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| \displaystyle (-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt2}) | + | verso l’alto |
| \displaystyle (-\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}) | - | verso il basso |
| \displaystyle (\dfrac{1}{\sqrt2},+\infty) | + | verso l’alto |
Due flessi in \displaystyle x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}, di ordinata
f\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt2}\right)=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt e}\approx 0{,}607.
I flessi segnano il passaggio dalla «cupola» centrale (concava verso il basso) alle due code (concave verso l’alto): in statistica corrispondono ai punti a distanza di una deviazione standard dal centro.
6. Grafico
Esercizio 3 — Esponenziale di reciproco e discontinuità essenziale
Studiare la funzione
f(x)=e^{1/x}.
Questo esercizio introduce un fenomeno nuovo: una discontinuità di seconda specie (essenziale), in cui i due limiti laterali nello stesso punto sono completamente diversi.
1. Dominio e simmetrie
L’esponente 1/x richiede x\neq 0, quindi
D=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
f(-x)=e^{-1/x} non è né f(x) né -f(x): nessuna simmetria.
2. Intersezioni e segno
Asse y: escluso (x=0 non nel dominio). Asse x: l’esponenziale non è mai nulla, nessuna intersezione. La funzione è sempre positiva.
3. Limiti e asintoti
All’infinito, 1/x\to 0, quindi f\to e^0=1:
\lim_{x\to+\infty}e^{1/x}=1^+,\qquad \lim_{x\to-\infty}e^{1/x}=1^-.
(da sopra a destra, dove 1/x>0; da sotto a sinistra, dove 1/x<0). La retta y=1 è asintoto orizzontale bilatero.
Nel punto escluso x=0 i due limiti laterali divergono in modo opposto:
\lim_{x\to 0^+}e^{1/x}=e^{+\infty}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^-}e^{1/x}=e^{-\infty}=0^+.
A destra dello zero la funzione esplode a +\infty, a sinistra tende a 0. Non è un asintoto verticale «ordinario» (che richiederebbe \pm\infty da entrambi i lati): è una discontinuità essenziale. C’è asintoto verticale x=0 solo per il ramo destro; il ramo sinistro arriva nell’origine appiattendosi sull’asse x.
4. Derivata prima
Catena, con \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^2}:
f'(x)=e^{1/x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{e^{1/x}}{x^2}.
Sia e^{1/x} sia x^2 sono positivi, quindi f'(x)<0 per ogni x\neq 0: la funzione è decrescente su entrambi i rami, senza massimi né minimi.
5. Derivata seconda
Deriviamo f'(x)=-x^{-2}e^{1/x} col prodotto (e la catena):
f''(x)=2x^{-3}e^{1/x}+(-x^{-2})\,e^{1/x}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=e^{1/x}\big(2x^{-3}+x^{-4}\big)=\dfrac{e^{1/x}}{x^4}\,(2x+1).
Il fattore \dfrac{e^{1/x}}{x^4} è sempre positivo, quindi il segno di f'' è quello di 2x+1, che si annulla in x=-\dfrac{1}{2}:
| Intervallo | f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| (-\infty,-\dfrac{1}{2}) | - | verso il basso |
| (-\dfrac{1}{2},0) | + | verso l’alto |
| (0,+\infty) | + | verso l’alto |
C’è un flesso in x=-\dfrac{1}{2}, di ordinata f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=e^{-2}\approx 0{,}135. Sul ramo destro (x>0) la concavità è sempre verso l’alto, coerente con la risalita verso +\infty.
6. Grafico
Esercizio 4 — La sigmoide logistica
Studiare la funzione
f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}.
È la funzione logistica, onnipresente in statistica, reti neurali e modelli di crescita. Ha due asintoti orizzontali diversi e una simmetria di tipo nuovo.
1. Dominio e simmetrie
Il denominatore 1+e^{-x} è somma di 1 e di una quantità positiva, quindi vale sempre almeno 1 e non si annulla mai: D=\mathbb{R}, nessun asintoto verticale.
La funzione non è pari né dispari, ma gode di una simmetria centrale. Calcoliamo f(x)+f(-x):
f(-x)=\dfrac{1}{1+e^{x}},\qquad f(x)+f(-x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}+\dfrac{1}{1+e^{x}}.
Portando la prima frazione nella forma \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1} (moltiplicando sopra e sotto per e^{x}):
f(x)+f(-x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}+\dfrac{1}{1+e^{x}}=\dfrac{1+e^{x}}{1+e^{x}}=1.
Quindi f(-x)=1-f(x): il grafico è simmetrico rispetto al punto \left(0,\dfrac{1}{2}\right).
2. Intersezioni e segno
Asse y: f(0)=\dfrac{1}{1+e^{0}}=\dfrac{1}{2}, punto \left(0,\dfrac{1}{2}\right).
Asse x: il numeratore è la costante 1, mai nulla: nessuna intersezione. La funzione è sempre positiva e, anzi, sempre compresa tra 0 e 1 (perché il denominatore è \gt 1): 0<f(x)<1.
3. Limiti e asintoti
Per x\to+\infty, e^{-x}\to 0 e quindi f\to\dfrac{1}{1+0}=1. Per x\to-\infty, e^{-x}\to+\infty e quindi f\to\dfrac{1}{+\infty}=0:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=0^+,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1^-.
Ci sono due asintoti orizzontali distinti: y=0 a sinistra e y=1 a destra. Tra di essi la curva sale in modo monotòno: è il profilo «a S» da cui il nome sigmoide.
4. Derivata prima
Scriviamo f(x)=(1+e^{-x})^{-1} e deriviamo con la catena (la derivata di 1+e^{-x} è -e^{-x}):
f'(x)=-(1+e^{-x})^{-2}\cdot(-e^{-x})=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}.
Numeratore e denominatore sono entrambi positivi, quindi f'(x)>0 per ogni x: la funzione è sempre crescente, senza estremi.
Identità utile. Con un po’ d’algebra si verifica la relazione f'(x)=f(x)\big(1-f(x)\big), molto usata nelle reti neurali: la derivata della sigmoide si esprime tramite la sigmoide stessa. La useremo per la derivata seconda.
5. Derivata seconda
Derivando l’identità f'=f(1-f)=f-f^2 rispetto a x (regola della catena, ricordando che f dipende da x):
f''=f'-2f f'=f'(1-2f).
Poiché f'>0 sempre, il segno di f'' è quello di 1-2f, che si annulla quando f=\dfrac{1}{2}, cioè in x=0:
| f | 1-2f | f'' | Concavità | |
|---|---|---|---|---|
| x<0 | \lt \dfrac{1}{2} | + | + | verso l’alto |
| x>0 | \gt \dfrac{1}{2} | - | - | verso il basso |
C’è un flesso in x=0, nel punto \left(0,\dfrac{1}{2}\right) — lo stesso centro di simmetria trovato al passo 1. È il punto di massima pendenza della sigmoide: prima sale «accelerando» (concava verso l’alto), dopo sale «decelerando» (concava verso il basso) avvicinandosi all’asintoto y=1.
6. Grafico
Sintesi: i riflessi da automatizzare
Gli esponenziali rendono alcuni passi quasi meccanici, una volta interiorizzate poche regole:
- Dominio: e^{g(x)} esiste dove esiste g(x). Per e^{1/x} il vincolo è x\neq 0; per e^{-x^2} è tutto \mathbb{R}.
- Segno: l’esponenziale è sempre positiva. Il segno di p(x)e^{g(x)} è quello di p(x); e^{g(x)} da sola non ha zeri.
- Limiti: all’infinito decide la gerarchia (esponenziale batte potenza); e^{g}\to 0^+ se g\to-\infty, \to+\infty se g\to+\infty, \to e^{L} se g\to L finito.
- Derivate: \big(e^{g}\big)'=g'\,e^{g}. Il fattore e^{g}, sempre positivo, non cambia mai il segno della derivata: estremi e flessi dipendono solo dagli altri fattori.
- Discontinuità essenziale: compare quando l’esponente diverge (come 1/x in 0), dando limiti laterali +\infty e 0 — comportamento impossibile per polinomi e frazioni.