Classificazione delle discontinuità

Un punto $x_0$ è di discontinuità per una funzione quando, in quel punto, la funzione non è continua: o non è definita, o il suo valore non coincide con il limite. Saperle classificare è parte essenziale dello studio di funzione, perché ogni specie corrisponde a un comportamento grafico diverso. La classificazione si basa interamente sui due limiti laterali:

\ell^-=\lim_{x\to x_0^-}f(x), \qquad \ell^+=\lim_{x\to x_0^+}f(x).

Specie	Limiti laterali	Comportamento grafico
Eliminabile (terza specie)	$\ell^-=\ell^+$ finiti, ma $\neq f(x_0)$ (o $f(x_0)$ non esiste)	un «foro» nel grafico
Salto (prima specie)	$\ell^-,\ell^+$ finiti ma diversi	il grafico «salta» di colpo
Seconda specie	almeno uno dei due è infinito o non esiste	asintoto verticale, oppure oscillazione

I quattro esercizi mostrano un archetipo per ciascun caso (con la seconda specie sdoppiata nei suoi due sottotipi, infinito e oscillazione), seguendo lo schema generale per la parte di studio.

Esercizio 1 — Discontinuità eliminabile (terza specie)

Studiare la funzione

$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}.$

1. Dominio e classificazione in x = 2

Il denominatore si annulla in $x=2$ , quindi $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Scomponiamo il numeratore (differenza di quadrati) e semplifichiamo, per $x\neq 2$ :

$f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$

Il limite in $x=2$ esiste finito da entrambi i lati:

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x)=2+2=4.$

I due limiti laterali coincidono ( $=4$ ), ma $f(2)$ non esiste (punto escluso): è una discontinuità eliminabile (terza specie). Si «elimina» prolungando la funzione con $f(2)=4$ . Sul grafico è un foro nel punto $(2,4)$ .

2. Studio della funzione

Fuori da $x=2$ la funzione coincide con la retta $y=x+2$ : asse $y$ in $(0,2)$ , asse $x$ in $(-2,0)$ , sempre crescente con $f'(x)=1$ , nessun estremo, $f''(x)=0$ (rettilinea), nessun asintoto. L’unica particolarità è il foro in $(2,4)$ .

3. Grafico

La funzione coincide con la retta y = x + 2 ovunque tranne in x = 2, dove ha una discontinuità eliminabile: un foro (cerchio vuoto) in (2, 4). Prolungabile ponendo f(2) = 4.

Esercizio 2 — Discontinuità di salto (prima specie)

Studiare la funzione

$f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}.$

1. Dominio e classificazione in x = 1

Il denominatore impone $x\neq 1$ , quindi $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . Eliminiamo il valore assoluto secondo il segno di $x-1$ :

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x-1}{x-1}=1 & \text{se } x>1,\\[2mm] \dfrac{-(x-1)}{x-1}=-1 & \text{se } x<1.\end{cases}$

La funzione vale costantemente $+1$ a destra di $1$ e $-1$ a sinistra. I limiti laterali sono finiti ma diversi:

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+1.$

È una discontinuità di salto (prima specie), di ampiezza $|{+1}-({-1})|=2$ . Sul grafico la funzione «salta» da $-1$ a $+1$ attraversando $x=1$ .

2. Studio della funzione

La funzione è costante a tratti: nessuno zero (vale sempre $\pm1$ ), $f'(x)=0$ dove definita (nessun estremo), $f''(x)=0$ (nessun flesso). Le rette $y=\pm1$ non sono asintoti ma i valori effettivi dei due rami. È, di fatto, la funzione segno traslata in $x=1$ .

3. Grafico

Funzione costante a tratti: −1 per x < 1, +1 per x > 1. In x = 1 una discontinuità di salto di ampiezza 2 (cerchi vuoti: il punto x = 1 è escluso). Non è un asintoto verticale: i limiti laterali sono finiti.

Esercizio 3 — Seconda specie: il polo (limite infinito)

Studiare la funzione

$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}.$

1. Dominio e classificazione in x = 1

$D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . In $x=1$ il denominatore $(x-1)^2\to 0^+$ (un quadrato, sempre positivo), mentre il numeratore è $1$ :

$\lim_{x\to 1^-}\dfrac{1}{(x-1)^2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{1}{(x-1)^2}=+\infty.$

I limiti laterali sono infiniti: discontinuità di seconda specie. Poiché entrambi valgono $+\infty$ , la retta $x=1$ è un asintoto verticale (con il grafico che sale a $+\infty$ da entrambi i lati).

2. Studio della funzione

Simmetria: la funzione dipende da $(x-1)^2$ , quindi è simmetrica rispetto alla retta verticale $x=1$ . Segno: sempre positiva (rapporto di quantità positive). Asse $y$ : $\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{(-1)^2}=1$ . Nessuno zero.

Limiti all’infinito: $\displaystyle \dfrac{1}{(x-1)^2}\to 0^+$ per $x\to\pm\infty$ , quindi $y=0$ è asintoto orizzontale bilatero.

Derivata prima: $f(x)=(x-1)^{-2}$ , quindi $f'(x)=-2(x-1)^{-3}=\dfrac{-2}{(x-1)^3}$ . Il segno è opposto a quello di $(x-1)^3$ : $f'>0$ per $x<1$ (crescente) e $f'<0$ per $x>1$ (decrescente). Nessun estremo (la derivata non si annulla mai); i due rami salgono entrambi verso l’asintoto verticale.

Derivata seconda: $f''(x)=6(x-1)^{-4}=\dfrac{6}{(x-1)^4}>0$ ovunque: concavità sempre verso l’alto, nessun flesso.

3. Grafico

Discontinuità di seconda specie in x = 1: limiti laterali entrambi +∞, quindi asintoto verticale. Funzione sempre positiva, simmetrica rispetto a x = 1, con asintoto orizzontale y = 0; nessun estremo né flesso.

Esercizio 4 — Seconda specie: l’oscillazione

Studiare la funzione

$f(x)=\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).$

Il caso più «patologico»: una discontinuità di seconda specie in cui il limite non esiste affatto, per oscillazione.

1. Dominio e classificazione in x = 0

L’argomento $\dfrac{1}{x}$ richiede $x\neq 0$ , quindi $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Avvicinandosi a $0$ , l’argomento $\dfrac{1}{x}$ tende a $\pm\infty$ , e $\sin$ di un argomento che diverge continua a oscillare tra $-1$ e $+1$ senza stabilizzarsi:

$\lim_{x\to 0^+}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\ \text{non esiste},\qquad \lim_{x\to 0^-}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\ \text{non esiste}.$

I limiti laterali non esistono (non sono né finiti né infiniti): è una discontinuità di seconda specie del sottotipo oscillante. Più ci si avvicina a $0$ , più le oscillazioni si infittiscono.

2. Studio della funzione

La funzione è dispari:

\sin\!\left(\dfrac{1}{-x}\right)=\sin\!\left(-\dfrac{1}{x}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).

È limitata: $-1\leq f(x)\leq 1$ .

Zeri: $\sin\dfrac{1}{x}=0$ dove $\dfrac{1}{x}=k\pi$ , cioè $x=\dfrac{1}{k\pi}$ (per ogni intero $k\neq 0$ ). Sono infiniti zeri, che si accumulano verso l’origine: $\displaystyle \dfrac{1}{\pi},\dfrac{1}{2\pi},\dfrac{1}{3\pi},\dots\to 0$ .

Limiti all’infinito: per $x\to\pm\infty$ , $\dfrac{1}{x}\to 0$ e quindi $\sin\dfrac{1}{x}\to\sin 0=0$ . La retta $y=0$ è asintoto orizzontale bilatero: lontano dall’origine la funzione si calma e tende a $0$ .

Derivata: con la regola della catena,

f'(x)=\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right) =-\dfrac{\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x^2}.

Vicino a $0$ il fattore $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}$ esplode e il coseno oscilla: la funzione ha infiniti massimi e minimi (tutti a quota $\pm1$ ) che si addensano verso l’origine. Lontano dall’origine, invece, $f'$ tende a $0$ e le oscillazioni si spengono.

3. Grafico

Discontinuità di seconda specie oscillante in x = 0: il limite non esiste perché la funzione oscilla tra −1 e +1 con frequenza che cresce illimitatamente. Dispari, limitata; infiniti zeri accumulati nell'origine; asintoto orizzontale y = 0 all'infinito. (Vicino a 0 il grafico è solo indicativo: le oscillazioni reali sono infinitamente più fitte.)

Sintesi: l’albero decisionale

Davanti a un punto sospetto $x_0$ , la classificazione segue sempre lo stesso albero, basato sui limiti laterali $\ell^-$ e $\ell^+$ :

Entrambi finiti?

Sì, e $\ell^-=\ell^+$ : se questo valore comune è diverso da $f(x_0)$ (o $f(x_0)$ non esiste) → eliminabile (terza specie); se è uguale → la funzione è continua, nessuna discontinuità.
Sì, ma $\ell^-\neq\ell^+$ : → salto (prima specie). L’ampiezza del salto è $|\ell^+-\ell^-|$ .

Almeno uno infinito o inesistente? → seconda specie:
- limite infinito → asintoto verticale (sottotipo «polo», come $\displaystyle \dfrac{1}{(x-1)^2}$ );
- limite che non esiste per oscillazione → sottotipo oscillante (come $\sin\dfrac{1}{x}$ ).

L’errore tipico è confondere il salto (prima specie, limiti finiti) con un asintoto verticale (seconda specie, limite infinito): sono comportamenti diversi che la sola lettura dei limiti laterali distingue senza ambiguità.