Studio di funzione definita a tratti

Una funzione definita a tratti è descritta da espressioni diverse su intervalli diversi del dominio. Tutto lo studio standard — segno, limiti, derivate — si svolge separatamente su ciascun tratto con i metodi soliti; il cuore del problema è ciò che accade nei punti di giunzione, dove un’espressione lascia il posto all’altra.

In ogni punto di giunzione $x_0$ vanno verificate due proprietà, nell’ordine:

Continuità. La funzione è continua in $x_0$ se i due limiti laterali coincidono e sono uguali al valore della funzione:

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0).$

Se i limiti laterali sono finiti ma diversi, c’è una discontinuità di salto (prima specie).

Derivabilità. Se la funzione è continua in $x_0$ , si confrontano le derivate laterali (calcolate derivando ciascun ramo e valutando in $x_0$ ):

$f'_-(x_0)\stackrel{?}{=}f'_+(x_0).$

Se sono uguali, la funzione è derivabile (raccordo liscio); se sono finite e diverse, c’è un punto angoloso.

I quattro esercizi seguono lo schema generale graduando il raccordo: prima un caso liscio, poi la determinazione di parametri per imporre la derivabilità, quindi un raccordo angoloso e infine una discontinuità di salto.

Esercizio 1 — Raccordo liscio

Studiare la funzione

$f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{se } x\leq 1,\\ 2x-1 & \text{se } x>1.\end{cases}$

1. Dominio e giunzione

$D=\mathbb{R}$ . L’unico punto di giunzione è $x=1$ . Verifichiamo continuità:

$\lim_{x\to 1^-}x^2=1,\qquad \lim_{x\to 1^+}(2x-1)=1,\qquad f(1)=1^2=1.$

I tre valori coincidono: continua in $x=1$ . Derivabilità: derivando i due rami, $f'=2x$ a sinistra e $f'=2$ a destra,

$f'_-(1)=2\cdot 1=2,\qquad f'_+(1)=2.$

Uguali: la funzione è derivabile in $x=1$ , raccordo liscio. (Non è un caso: la retta $2x-1$ è proprio la tangente alla parabola $x^2$ nel punto $(1,1)$ .)

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=0$ (ramo $x^2$ ). Asse $x$ : sul ramo $x\leq1$ , $x^2=0$ in $x=0$ ; sul ramo $x>1$ , $2x-1=0$ in $x=\dfrac{1}{2}$ , che però non appartiene a quel ramo. Unico zero $x=0$ . Segno: $x^2\geq 0$ ovunque a sinistra; per $x>1$ , $2x-1>1>0$ . La funzione è $\geq 0$ , nulla solo in $x=0$ .

3. Limiti e asintoti

All’infinito:

\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(2x-1)=+\infty.

Nessun asintoto: a destra il grafico è la retta $2x-1$ , non vi tende soltanto.

4. Derivata prima

$f'(x)=\begin{cases} 2x & \text{se } x<1,\\ 2 & \text{se } x>1.\end{cases}$

A sinistra il segno è quello di $2x$ (negativo per $x<0$ ); a destra è sempre positivo:

Intervallo	$f'(x)$	Andamento
$(-\infty,0)$	$-$	decrescente
$(0,1)$	$+$	crescente
$(1,+\infty)$	$+$	crescente

In $x=0$ un minimo assoluto $(0,0)$ . Nel punto liscio $x=1$ nessun estremo (la derivata resta positiva).

5. Derivata seconda

$f''(x)=\begin{cases} 2 & \text{se } x<1,\\ 0 & \text{se } x>1.\end{cases}$

A sinistra concavità verso l’alto (la parabola); a destra il grafico è rettilineo ( $f''=0$ ). Nessun flesso.

6. Grafico

Parabola x² fino a x = 1, poi retta 2x − 1 (la tangente alla parabola in (1, 1)): raccordo liscio, derivabile. Minimo assoluto in (0, 0); nessun asintoto.

Esercizio 2 — Determinare i parametri per la derivabilità

Determinare $a$ e $b$ affinché la funzione

$f(x)=\begin{cases} x^2+a & \text{se } x\leq 2,\\ bx & \text{se } x>2,\end{cases}$

sia derivabile in $x=2$ , quindi studiarla.

1. Imposizione delle condizioni

La derivabilità richiede prima la continuità. Imponiamo l’uguaglianza dei limiti laterali in $x=2$ :

$\lim_{x\to 2^-}(x^2+a)=4+a,\qquad \lim_{x\to 2^+}(bx)=2b\quad\Longrightarrow\quad 4+a=2b.$

Poi imponiamo l’uguaglianza delle derivate laterali. Derivando, $f'=2x$ a sinistra e $f'=b$ a destra:

$f'_-(2)=2\cdot 2=4,\qquad f'_+(2)=b\quad\Longrightarrow\quad b=4.$

Sostituendo $b=4$ nella prima equazione: $4+a=8$ , da cui $a=4$ . I valori cercati sono

$\boxed{a=4,\qquad b=4,}$

e la funzione diventa

$f(x)=\begin{cases} x^2+4 & \text{se } x\leq 2,\\ 4x & \text{se } x>2.\end{cases}$

Verifica: $f(2)=8$ da entrambi i rami (continua) e $f'(2)=4$ da entrambi (derivabile). La retta $4x$ è la tangente alla parabola $x^2+4$ in $(2,8)$ .

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=4$ . Asse $x$ : $x^2+4=0$ è impossibile (sempre $\geq4$ ); $4x=0$ in $x=0$ , fuori dal ramo $x>2$ . Nessuno zero: la funzione è sempre positiva ( $x^2+4\geq4$ a sinistra, $4x>8$ a destra).

3. Limiti e asintoti

\lim_{x\to-\infty}(x^2+4)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}4x=+\infty.

Nessun asintoto.

4. Derivata prima

$f'(x)=\begin{cases} 2x & \text{se } x<2,\\ 4 & \text{se } x>2.\end{cases}$

Intervallo	$f'(x)$	Andamento
$(-\infty,0)$	$-$	decrescente
$(0,2)$	$+$	crescente
$(2,+\infty)$	$+$	crescente

In $x=0$ un minimo assoluto $(0,4)$ . In $x=2$ raccordo liscio, nessun estremo.

5. Derivata seconda

$f''(x)=\begin{cases} 2 & \text{se } x<2,\\ 0 & \text{se } x>2.\end{cases}$

Concavità verso l’alto sul tratto parabolico, grafico rettilineo dopo $x=2$ . Nessun flesso.

6. Grafico

Con a = b = 4: parabola x² + 4 fino a x = 2, poi retta 4x (tangente in (2, 8)). Raccordo derivabile; minimo assoluto in (0, 4); sempre positiva.

Esercizio 3 — Raccordo angoloso

Studiare la funzione

$f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{se } x\leq 1,\\ 2-x & \text{se } x>1.\end{cases}$

Stesso ramo sinistro dell’esercizio 1, ma un ramo destro diverso: il raccordo sarà continuo ma non derivabile.

1. Dominio e giunzione

$D=\mathbb{R}$ . In $x=1$ : continuità

$\lim_{x\to 1^-}x^2=1,\qquad \lim_{x\to 1^+}(2-x)=1,\qquad f(1)=1,$

continua. Derivabilità: $f'=2x$ a sinistra, $f'=-1$ a destra,

$f'_-(1)=2,\qquad f'_+(1)=-1.$

Derivate laterali finite e diverse ( $2\neq-1$ ): in $x=1$ c’è un punto angoloso. La funzione è continua ma non derivabile lì.

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=0$ . Asse $x$ : $x^2=0$ in $x=0$ (ramo $x\leq1$ ); $2-x=0$ in $x=2$ (ramo $x>1$ , valido). Zeri $x=0$ e $x=2$ . Segno: $x^2\geq0$ a sinistra; per $x>1$ , $2-x>0$ se $x<2$ , $\lt 0$ se $x>2$ . Dunque $f\geq0$ fino a $x=2$ , poi negativa.

3. Limiti e asintoti

\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(2-x)=-\infty.

Nessun asintoto.

4. Derivata prima e punto angoloso

$f'(x)=\begin{cases} 2x & \text{se } x<1,\\ -1 & \text{se } x>1.\end{cases}$

Intervallo	$f'(x)$	Andamento
$(-\infty,0)$	$-$	decrescente
$(0,1)$	$+$	crescente
$(1,+\infty)$	$-$	decrescente

In $x=0$ un minimo $(0,0)$ . Nel punto angoloso $x=1$ la derivata passa da $+2$ a $-1$ : la funzione cresce fino a $x=1$ e poi decresce, quindi $(1,1)$ è un massimo relativo, realizzato proprio sullo spigolo.

5. Derivata seconda

$f''(x)=\begin{cases} 2 & \text{se } x<1,\\ 0 & \text{se } x>1.\end{cases}$

Concavità verso l’alto sul tratto parabolico, grafico rettilineo dopo. Nessun flesso (la «svolta» in $x=1$ è il punto angoloso, non un flesso).

6. Grafico

Parabola x² fino a x = 1, poi retta decrescente 2 − x: raccordo continuo ma non derivabile. In (1, 1) un punto angoloso che è massimo relativo; minimo in (0, 0); zeri in 0 e 2.

Esercizio 4 — Discontinuità di salto

Studiare la funzione

$f(x)=\begin{cases} x+2 & \text{se } x<0,\\ x^2-1 & \text{se } x\geq 0.\end{cases}$

Qui il raccordo non è nemmeno continuo: i due rami «non si toccano».

1. Dominio e giunzione

$D=\mathbb{R}$ . In $x=0$ confrontiamo i limiti laterali:

$\lim_{x\to 0^-}(x+2)=2,\qquad \lim_{x\to 0^+}(x^2-1)=-1,\qquad f(0)=0^2-1=-1.$

I due limiti laterali sono finiti ma diversi ( $2\neq-1$ ): in $x=0$ c’è una discontinuità di salto (prima specie), di ampiezza $|2-(-1)|=3$ . La funzione vale $-1$ in $x=0$ (il ramo $x\geq0$ ); il valore $2$ è solo il limite da sinistra, non raggiunto. Non essendo continua, in $x=0$ non ha senso parlare di derivabilità.

2. Intersezioni e segno

Asse $y$ : $f(0)=-1$ . Asse $x$ : a sinistra $x+2=0$ in $x=-2$ (valido, $\lt 0$ ); a destra $x^2-1=0$ in $x=\pm1$ , di cui solo $x=1$ appartiene al ramo $x\geq0$ . Zeri $x=-2$ e $x=1$ .

Segno:

Intervallo	espressione	$f(x)$
$(-\infty,-2)$	$x+2$	$-$
$(-2,0)$	$x+2$	$+$
$[0,1)$	$x^2-1$	$-$
$(1,+\infty)$	$x^2-1$	$+$

3. Limiti e asintoti

\lim_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(x^2-1)=+\infty.

Nessun asintoto all’infinito. In $x=0$ il salto è una discontinuità di prima specie, non un asintoto verticale (limiti finiti).

4. Derivata prima

$f'(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x<0,\\ 2x & \text{se } x>0.\end{cases}$

A sinistra la funzione è la retta crescente $x+2$ ( $f'=1>0$ ). A destra, $f'=2x>0$ per $x>0$ : il ramo $x^2-1$ è crescente, con il suo punto più basso al bordo $x=0$ (vertice della parabola), dove vale $-1$ .

Intervallo	$f'(x)$	Andamento
$(-\infty,0)$	$+$	crescente
$(0,+\infty)$	$+$	crescente

Nessun estremo interno: entrambi i rami sono crescenti. Il minimo del ramo destro, $(0,-1)$ , è un minimo «di bordo».

5. Derivata seconda

$f''(x)=\begin{cases} 0 & \text{se } x<0,\\ 2 & \text{se } x>0.\end{cases}$

A sinistra grafico rettilineo; a destra concavità verso l’alto (parabola). Nessun flesso.

6. Grafico

Retta x + 2 per x < 0, parabola x² − 1 per x ≥ 0. In x = 0 discontinuità di salto: il limite da sinistra è 2 (cerchio vuoto, non raggiunto), ma f(0) = −1 (punto pieno). Salto di ampiezza 3; zeri in −2 e 1.

Sintesi: il metodo per i tratti

Per ogni funzione definita a tratti, in ciascun punto di giunzione $x_0$ si procede sempre nello stesso ordine:

Continuità. Calcolare i due limiti laterali e il valore nel punto:

\lim_{x\to x_0^-}f(x), \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x), \qquad f(x_0).

tutti uguali → continua, si passa al punto 2;
limiti laterali finiti e diversi → discontinuità di salto, lo studio prosegue ma il punto non è derivabile;
un limite infinito → asintoto verticale al raccordo.

Derivabilità (solo se continua). Calcolare le derivate laterali f'_-(x_0) e f'_+(x_0) derivando ciascun ramo.
- uguali → derivabile (raccordo liscio);
- finite e diverse → punto angoloso.
Studio dei rami. Segno, monotonia e concavità si determinano separatamente su ogni intervallo, ricordando che gli estremi possono cadere anche sui punti di giunzione (come il massimo angoloso dell’esercizio 3) o ai bordi di un ramo (come il minimo di bordo dell’esercizio 4).

Per i problemi con parametri, le condizioni «continua» e «derivabile» nel punto di giunzione si traducono in due equazioni (uguaglianza dei limiti e uguaglianza delle derivate laterali) nelle incognite-parametro: risolvendo il sistema si trovano i valori richiesti.