Lo studio con parametro è uno dei temi d’esame più frequenti, e mette alla prova la comprensione di tutto lo studio di funzione. Si presenta in due forme principali:
- Discussione di una famiglia f_k(x): la funzione dipende da un parametro k, e si chiede come cambiano dominio, asintoti, estremi e flessi al variare di k. La risposta non è un singolo grafico, ma una classificazione per casi.
- Numero di soluzioni di f(x)=k: si chiede quante soluzioni ha l’equazione a seconda di k. La chiave è leggere k come una retta orizzontale y=k e contare le sue intersezioni con il grafico (fisso) di f.
In entrambi i casi lo strumento è sempre lo studio di funzione dello schema generale: si studia la funzione trattando k come una costante, e si discute dove i risultati cambiano qualità (un estremo che compare o sparisce, un asintoto che cambia, una retta che diventa tangente).
Esercizio 1 — Numero di soluzioni per via grafica
Discutere, al variare di k\in\mathbb{R}, il numero di soluzioni dell’equazione
x^3-3x=k.
1. Strategia
Invece di risolvere l’equazione cubica (difficile), la leggiamo come intersezione tra il grafico fisso della funzione g(x)=x^3-3x e la retta orizzontale y=k (mobile). Il numero di soluzioni dell’equazione è il numero di punti in cui la retta taglia il grafico.
2. Studio della funzione di riferimento
La cubica g(x)=x^3-3x è già nota (vedi funzioni polinomiali): dispari, con massimo relativo M(-1,2) e minimo relativo m(1,-2), e g\to\pm\infty agli estremi. I valori chiave per la discussione sono le quote degli estremi: y=2 e y=-2.
3. Discussione
Facciamo scorrere la retta y=k dall’alto verso il basso e contiamo le intersezioni:
| Valore di k | Numero di soluzioni | Descrizione |
|---|---|---|
| k>2 | 1 | la retta taglia solo il ramo destro crescente |
| k=2 | 2 | la retta è tangente al massimo (-1,2) + taglia il ramo destro |
| -2<k<2 | 3 | la retta attraversa entrambe le «gobbe»: tre intersezioni |
| k=-2 | 2 | tangente al minimo (1,-2) + taglia il ramo sinistro |
| k<-2 | 1 | la retta taglia solo il ramo sinistro |
I valori critici sono esattamente le quote degli estremi relativi: lì il numero di soluzioni cambia, perché la retta passa da secante a tangente.
4. Grafico
Esercizio 2 — Famiglia di parabole
Studiare la famiglia di funzioni
f_k(x)=x^2+kx+1,\qquad k\in\mathbb{R},
discutendo zeri e vertice al variare di k, e trovando il luogo dei vertici.
1. Caratteristiche comuni a tutta la famiglia
Per ogni k si tratta di una parabola con concavità verso l’alto. Tutte passano per lo stesso punto: ponendo x=0, f_k(0)=1 indipendentemente da k. Il punto (0,1) è comune a tutte le parabole della famiglia (un «fascio» di parabole per (0,1)).
2. Discussione degli zeri
Gli zeri risolvono x^2+kx+1=0, con discriminante \Delta=k^2-4:
| Valore di k | \Delta | Zeri reali |
|---|---|---|
| \lvert k\rvert>2 | \gt 0 | due zeri distinti |
| k=\pm2 | =0 | uno zero doppio (parabola tangente all’asse x) |
| \lvert k\rvert<2 | \lt 0 | nessuno zero (parabola tutta sopra l’asse x) |
3. Vertice e suo luogo
Il vertice ha ascissa x_V=-\dfrac{k}{2} e ordinata
y_V=f_k(x_V)=1-\dfrac{k^2}{4}.
Al variare di k il vertice si sposta. Per trovare il luogo dei vertici eliminiamo il parametro: da \displaystyle x_V=-\dfrac{k}{2} ricaviamo k=-2x_V, e sostituiamo in y_V:
y_V=1-\dfrac{(-2x_V)^2}{4}=1-\dfrac{4x_V^2}{4}=1-x_V^2.
I vertici di tutte le parabole della famiglia giacciono sulla parabola y=1-x^2 (concavità verso il basso). Coerenza con il punto 2: il vertice tocca l’asse x (y_V=0) quando 1-x_V^2=0, cioè x_V=\pm1, corrispondenti a k=\mp2 — esattamente i casi di zero doppio.
4. Grafico
Esercizio 3 — Discussione di asintoti ed estremi al variare di k
Studiare la famiglia
f_k(x)=\dfrac{x}{x^2+k},\qquad k\in\mathbb{R},
discutendo come cambiano dominio, asintoti ed estremi al variare di k.
1. Dominio secondo il segno di k
Il denominatore si annulla dove x^2=-k. Distinguiamo:
- k>0: x^2=-k<0 è impossibile, denominatore mai nullo → D=\mathbb{R};
- k=0: f_0(x)=\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{1}{x}, iperbole equilatera → D=\mathbb{R}\setminus\{0\};
- k<0: x^2=-k>0 ha due soluzioni x=\pm\sqrt{-k} → D=\mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt{-k}\}, con due asintoti verticali.
Il segno di k cambia dunque la struttura stessa del dominio. In tutti i casi la funzione è dispari (numeratore dispari, denominatore pari).
2. Asintoti orizzontali (validi per ogni k)
Per x\to\pm\infty il denominatore (grado 2) batte il numeratore (grado 1):
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2+k}=0.
La retta y=0 è asintoto orizzontale per ogni valore di k.
3. Estremi: il caso k > 0
Concentriamoci sul caso più regolare, k>0 (dominio \mathbb{R}). Derivata col quoziente:
f_k'(x)=\dfrac{(x^2+k)-x\cdot 2x}{(x^2+k)^2}=\dfrac{k-x^2}{(x^2+k)^2}.
Il denominatore è positivo; il segno è quello di k-x^2, che (essendo k>0) si annulla in x=\pm\sqrt{k}:
| Intervallo | f_k'(x) | Andamento |
|---|---|---|
| (-\infty,-\sqrt{k}) | - | decrescente |
| (-\sqrt{k},\sqrt{k}) | + | crescente |
| (\sqrt{k},+\infty) | - | decrescente |
In x=\sqrt{k} un massimo, in x=-\sqrt{k} un minimo, di valore
f_k(\sqrt{k})=\dfrac{\sqrt{k}}{k+k}=\dfrac{\sqrt{k}}{2k}=\dfrac{1}{2\sqrt{k}},\qquad f_k(-\sqrt{k})=-\dfrac{1}{2\sqrt{k}}.
Si nota che più k cresce, più gli estremi si allontanano dall’origine (in \pm\sqrt k) e più si abbassano (a \displaystyle \pm\dfrac{1}{2\sqrt k}\to 0).
4. Quadro riassuntivo
| Caso | Dominio | Asintoti | Estremi |
|---|---|---|---|
| k>0 | \mathbb{R} | orizzontale y=0 | max \displaystyle \left(\sqrt k,\dfrac{1}{2\sqrt k}\right), min \displaystyle \left(-\sqrt k,-\dfrac{1}{2\sqrt k}\right) |
| k=0 | \mathbb{R}\setminus\{0\} | y=0 e x=0 | nessuno (iperbole 1/x) |
| k<0 | \mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt{-k}\} | y=0 e x=\pm\sqrt{-k} | nessuno |
5. Grafico (caso k = 1)
Esercizio 4 — Numero di zeri di una funzione trascendente
Discutere, al variare di k\in\mathbb{R}, il numero di soluzioni dell’equazione
e^x=kx,
equivalente a studiare gli zeri della famiglia f_k(x)=e^x-kx.
1. Strategia
Studiamo direttamente f_k(x)=e^x-kx e contiamo i suoi zeri (i punti in cui il grafico taglia l’asse x), discutendo al variare di k. Notiamo subito che f_k(0)=e^0-0=1>0 per ogni k: tutte le curve della famiglia partono al di sopra dell’asse x in x=0.
2. Derivata e ruolo del segno di k
f_k'(x)=e^x-k.
Se k\leq 0: poiché e^x>0\geq k, si ha f_k'(x)>0 sempre. Per k<0 la funzione è monotòna crescente e
Poiché tende poi a +\infty, una funzione continua e strettamente crescente ha esattamente un zero. (Per k=0, invece, f_0=e^x>0 non ha alcuno zero.)
Se k>0: f_k'(x)=0 in x=\ln k, con minimo (la derivata passa da - a +). Il valore minimo è
f_k(\ln k)=e^{\ln k}-k\ln k=k-k\ln k=k\,(1-\ln k).
3. Discussione per k > 0 tramite il minimo
Il numero di zeri dipende dal segno del minimo k(1-\ln k) (con k>0, il segno è quello di 1-\ln k):
| Posizione del minimo | Condizione | Numero di zeri |
|---|---|---|
| minimo \gt 0 | 1-\ln k>0\iff k<e | 0 |
| minimo =0 | k=e | 1 (la retta è tangente alla curva e^x) |
| minimo \lt 0 | k>e | 2 |
4. Quadro completo
| Valore di k | Numero di soluzioni di e^x=kx |
|---|---|
| k<0 | 1 |
| k=0 | 0 |
| 0<k<e | 0 |
| k=e | 1 (tangenza) |
| k>e | 2 |
Il valore critico k=e è quello per cui la retta y=kx è tangente alla curva y=e^x: è il caso-soglia che separa «nessuna intersezione» da «due intersezioni».
5. Grafico (caso critico k = e)
Sintesi: il metodo per i parametri
Due schemi coprono la maggior parte degli esercizi con parametro:
Discussione di una famiglia f_k. Si studia f_k trattando k come costante e si individuano i valori critici di k in cui cambia la qualità del grafico:
- dominio (un denominatore che si annulla solo per certi k, come in \displaystyle \dfrac{x}{x^2+k});
- esistenza di estremi (una derivata che ha zeri reali solo per certi k);
- comparsa/sparizione di asintoti. Spesso si chiede anche il luogo geometrico di un punto notevole (vertice, estremo): si esprime il punto in funzione di k e si elimina il parametro.
Numero di soluzioni di f(x)=k. Si studia una sola volta il grafico fisso di f e si fa scorrere la retta orizzontale y=k: il numero di soluzioni è il numero di intersezioni, e i valori critici di k sono le quote degli estremi (dove la retta passa da secante a tangente). La variante f(x)=g_k(x) con una famiglia di rette (come e^x=kx) si tratta studiando la differenza f-g_k e i suoi zeri, cercando il k di tangenza.